1 [2025 江西九江期中，中]$ 2^{202} × 4^{203} × 8^{204} $ 的个位数字是()

A.2
B.4
C.8
D.6

1. D 【解析】$2^{202}×4^{203}×8^{204}=2^{202}×4^{406}×2^{612}=2^{1220}$.因为$2^{1}$的个位数字是$2$，$2^{2}$的个位数字是$4$，$2^{3}$的个位数字是$8$，$2^{4}$的个位数字是$6$，$2^{5}$的个位数字是$2$，…，所以$2^{n}$（$n$为正整数）的个位数字以$2$，$4$，$8$，$6$为一组不断循环.因为$1220÷4=305$，所以$2^{1220}$的个位数字是$6$，即$2^{202}×4^{203}×8^{204}$的个位数字是$6$，故选D.

2 [2025 吉林省吉林市一模，中]计算 $ 333^{3}+444^{3}+555^{3} $ 的结果是()

A.$ 666^{3} $
B.$ 777^{3} $
C.$ 888^{3} $
D.$ 999^{3} $

2. A 【解析】$333^{3}+444^{3}+555^{3}=(3×111)^{3}+(4×111)^{3}+(5×111)^{3}=3^{3}×111^{3}+4^{3}×111^{3}+5^{3}×111^{3}=(3^{3}+4^{3}+5^{3})×111^{3}=216×111^{3}=6^{3}×111^{3}=(6×111)^{3}=666^{3}$.故选A.

3 [2025 重庆北碚区期中，较难]$ \{a,b,c,d\} $ 表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为 $ \{ab,bc,cd,da\} $(相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘)，第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推。记 $ T_{0}=abcd $，$ T_{1}=ab · bc · cd · da $，…，第 $ n $ 个新数组的四数之积为 $ T_{n} $($ n $ 为正整数)。现对于任意正整数 $ m $，$ n $ 有下列说法：
① $ T_{n} · T_{m}=T_{n+m} $；
②当 $ a=1 $，$ b=2 $，$ c=3 $，$ d=4 $ 时，在 $ T_{1} $ 的所有因数中，能被 4 整除但不能被 8 整除的共有 6 个；
③若 $ T_{n}=T_{0}^{k} $，$ k $ 是大于 2000 的整数，则满足条件的 $ n $ 的最小值为 11。
其中正确的有()

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

3. B 【解析】因为$T_{0}=abcd$，$T_{1}=ab· bc· cd· da$，所以$T_{1}=(abcd)^{2}=T_{0}^{2}$.由题意易得$T_{2}=T_{1}^{2}=T_{0}^{4}=T_{0}^{2^{2}}$，$T_{3}=T_{2}^{2}=T_{0}^{8}=T_{0}^{2^{3}}$，…，以此类推，$T_{n}=T_{0}^{2^{n}}$.假设$T_{n}· T_{m}=T_{n+m}$，则$T_{0}^{2^{n}}· T_{0}^{2^{m}}=T_{0}^{2^{m+n}}$，所以$T_{0}^{2^{n}+2^{m}}=T_{0}^{2^{m+n}}$，所以$2^{n}+2^{m}=2^{m+n}$.当$n=1$，$m=2$时，左边$=2^{1}+2^{2}=6$，右边$=2^{1+2}=8$，所以左边≠右边，所以假设不成立，故①错误.因为$a=1$，$b=2$，$c=3$，$d=4$，所以$T_{0}=abcd=1×2×3×4=24$，所以$T_{1}=T_{0}^{2}=24^{2}=(8×3)^{2}=2^{6}×3^{2}=2^{2}×2^{2}×2^{2}×3^{2}$，所以能被$4$整除但不能被$8$整除的因数有$2^{2}=4$，$2^{2}×3=12$，$2^{2}×3^{2}=36$，共有$3$个，故②错误.因为$T_{n}=T_{0}^{k}$，$T_{n}=T_{0}^{2^{n}}$，所以$2^{n}=k$.又因为$k$是大于$2000$的整数，所以$2^{n}＞2000$.因为$2^{10}=1024＜2000$，$2^{11}=2048＞2000$，所以$n$的最小值为$11$，故③正确.故选B.

4 [2024 浙江金华金东区期中，中]若 $ 17^{x}=2023 $，$ 119^{y}=2023 $，则代数式 $ xy $ 与 $ x+y $ 之间的数量关系是。

4. $xy=x+y$ 【解析】因为$17^{x}=2023$，$119^{y}=2023$，所以$(17^{x})^{y}=2023^{y}$，$(119^{y})^{x}=2023^{x}$，所以$(17^{x})^{y}· (119^{y})^{x}=17^{xy}· 119^{xy}=(17×119)^{xy}=2023^{xy}$.因为$2023^{y}· 2023^{x}=2023^{x+y}$，所以$2023^{xy}=2023^{x+y}$，所以$xy=x+y$.故答案为$xy=x+y$.

5 [2024 江苏盐城大丰区调研，中]小明做了这样一道题，他的方法如下：
$ 3^{10} × (\frac{1}{3})^{11}=3^{10} × (\frac{1}{3})^{10} × \frac{1}{3}=(3 × \frac{1}{3})^{10} × \frac{1}{3}=1 × \frac{1}{3}=\frac{1}{3} $。
请你用他的方法解下面题目。
设 $ M=(-\frac{1}{2013})^{2014} × 2013^{2015} $，$ N=(-5)^{10} × (-6)^{11} × (-\frac{1}{30})^{10}-2008 $，求 $ (M+N)^{2021} $ 的值。

5. 【解】因为$M=(-\frac {1}{2013})^{2014}×2013^{2015}=(-\frac {1}{2013}×2013)^{2014}×2013=2013$，$N=(-5)^{10}×(-6)^{11}×(-\frac {1}{30})^{10}-2008=[(-5)×(-6)×(-\frac {1}{30})]^{10}×(-6)-2008=-6-2008=-2014$，所以$(M+N)^{2021}=(2013-2014)^{2021}=-1$.

6 [2025 江苏盐城期中，中]解决下列问题：
（1）已知 $ (2a^{n})^{3}=40 $，求 $ a^{6n} $ 的值；
（2）已知 $ n $ 为正整数，且 $ x^{2n}=7 $，求 $ (3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n} $ 的值。

6. 【解】(1)因为$(2a^{n})^{3}=40$，所以$8a^{3n}=40$，所以$a^{3n}=5$，所以$a^{6n}=(a^{3n})^{2}=5^{2}=25$.
(2)$(3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}=9x^{6n}-4x^{4n}=9(x^{2n})^{3}-4(x^{2n})^{2}$，当$x^{2n}=7$时，原式$=9×7^{3}-4×7^{2}=9×343-4×49=3087-196=2891$.

7 核心素养 运算能力 [2024 江苏南通期末，较难]阅读材料，回答下列问题：
材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 $ (ab)^{n}=a^{n}b^{n} $($ n $ 为正整数)。
材料二：等式 $ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+··· +n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $，$ n(n+1)=n^{2}+n $ 成立。
试求：(1)$ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+··· +10^{2}= $。
(2)$ 1 × 2+2 × 3+3 × 4+··· +99 × 100= $。

7. (1)$220$ (2)$333300$ 【解析】(1)因为$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，所以$2^{2}+4^{2}+6^{2}+... +10^{2}=(2×1)^{2}+(2×2)^{2}+(2×3)^{2}+... +(2×5)^{2}=2^{2}×1^{2}+2^{2}×2^{2}+2^{2}×3^{2}+... +2^{2}×5^{2}=2^{2}×(1^{2}+2^{2}+3^{2}+... +5^{2})$.因为$1^{2}+2^{2}+3^{2}+... +n^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$，所以原式$=4×\frac {5×(5+1)×(2×5+1)}{6}=220$，故答案为$220$.
(2)因为$n(n+1)=n^{2}+n$，所以$1×2+2×3+3×4+... +99×100=1×(1+1)+2×(2+1)+3×(3+1)+... +99×(99+1)=1^{2}+1+2^{2}+2+3^{2}+3+... +99^{2}+99=1^{2}+2^{2}+3^{2}+... +99^{2}+1+2+3+... +99$.因为$1^{2}+2^{2}+3^{2}+... +n^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$，所以原式$=\frac {99×(99+1)×(2×99+1)}{6}+\frac {99×(99+1)}{2}=328350+4950=333300$，故答案为$333300$.