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4. 设函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=3x-6$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}$的值是
-3
.答案
4. -3 解析:把(a,b)代入$y=\dfrac{2}{x}$,得ab=2.把(a,b)代入y=3x-6,得b-3a=-6,所以$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}=\dfrac{b-3a}{ab}=\dfrac{-6}{2}=-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，将交点$(a,b)$代入两个函数可得到关于$a$、$b$的关系式；再对所求代数式通分变形，采用整体代入法计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
因为点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=3x-6$图象的交点，所以：
1. 将$(a,b)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$b=\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
2. 将$(a,b)$代入$y=3x-6$，得$b=3a-6$，移项得$b-3a=-6$；
对代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}$通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}=\dfrac{b - 3a}{ab}$
把$ab=2$、$b-3a=-6$代入上式：
$\dfrac{-6}{2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
函数交点的意义；代数式的整体代入求值
【点评】
本题考查函数交点的性质及代数式的整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到关系式，通过变形所求代数式，整体代入简化计算，避免求解复杂的交点坐标，是代数与函数结合的基础题型，需掌握整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，将交点$(a,b)$代入两个函数可得到关于$a$、$b$的关系式；再对所求代数式通分变形，采用整体代入法计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
因为点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=3x-6$图象的交点，所以：
1. 将$(a,b)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$b=\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
2. 将$(a,b)$代入$y=3x-6$，得$b=3a-6$，移项得$b-3a=-6$；
对代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}$通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}=\dfrac{b - 3a}{ab}$
把$ab=2$、$b-3a=-6$代入上式：
$\dfrac{-6}{2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
函数交点的意义；代数式的整体代入求值
【点评】
本题考查函数交点的性质及代数式的整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到关系式，通过变形所求代数式，整体代入简化计算，避免求解复杂的交点坐标，是代数与函数结合的基础题型，需掌握整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.6
5. 在平面直角坐标系中, 函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 与 $y=x-1$ 的图象交于点 $P(m,n)$, 且 $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{4}$,则 $k$ 的值为
4
.答案
5. 4 解析:把P(m,n)分别代入$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$、y=x-1,得k=mn,n=m-1,即m-n=1.
∵$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-n}{mn}=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{4}$,
∴k=4.
∵$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-n}{mn}=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{4}$,
∴k=4.
解析
【分析】
要解决本题，需利用交点坐标同时满足两个函数解析式的性质，先得到m、n与k的关系；再对已知的分式式子通分变形，结合已得的m-n和mn的关系，即可求出k的值。
【解析】
因为点P(m,n)是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的交点，将P(m,n)分别代入两个函数解析式：
1. 代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$n=\dfrac{k}{m}$，整理得$k=mn$；
2. 代入$y=x-1$，得$n=m-1$，整理得$m-n=1$。
对已知条件$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{4}$通分，可得：
$\dfrac{m-n}{mn}=\dfrac{1}{4}$。
将$m-n=1$、$mn=k$代入上式，得：
$\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{4}$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点，分式的运算
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数交点的性质，核心是利用交点坐标满足函数解析式，结合分式通分变形求解参数，属于基础题型，解题关键是将已知分式转化为含mn和m-n的形式，进而关联到k的值。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用交点坐标同时满足两个函数解析式的性质，先得到m、n与k的关系；再对已知的分式式子通分变形，结合已得的m-n和mn的关系，即可求出k的值。
【解析】
因为点P(m,n)是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的交点，将P(m,n)分别代入两个函数解析式：
1. 代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$n=\dfrac{k}{m}$，整理得$k=mn$；
2. 代入$y=x-1$，得$n=m-1$，整理得$m-n=1$。
对已知条件$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{4}$通分，可得：
$\dfrac{m-n}{mn}=\dfrac{1}{4}$。
将$m-n=1$、$mn=k$代入上式，得：
$\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{4}$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点，分式的运算
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数交点的性质，核心是利用交点坐标满足函数解析式，结合分式通分变形求解参数，属于基础题型，解题关键是将已知分式转化为含mn和m-n的形式，进而关联到k的值。
【难度系数】
0.6
6. 已知直线 $y=(k^{2}+1)x$ 与反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象交于 $A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$ 两点，则 $3x_{1}y_{2}-5x_{2}y_{1}$ 的值为
6
.答案
6. 6 解析:根据题意,有$x_1=-x_2,y_1=-y_2$,并且$x_1y_1=x_2y_2=3$,
∴$x_1y_2=-x_1y_1$,$x_2y_1=-x_1y_1$,
∴$3x_1y_2-5x_2y_1=-3x_1y_1+5x_1y_1=2x_1y_1=2×3=6$.
∴$x_1y_2=-x_1y_1$,$x_2y_1=-x_1y_1$,
∴$3x_1y_2-5x_2y_1=-3x_1y_1+5x_1y_1=2x_1y_1=2×3=6$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确正比例函数与反比例函数交点的对称性：直线$y=(k^2+1)x$是过原点的正比例函数，且$k^2+1＞0$，它与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的交点$A$、$B$关于原点对称，因此$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$；再结合反比例函数的性质，交点在反比例函数上满足$x_1y_1=3$，最后将所求代数式用上述关系转化后代入计算即可。
【解析】
1. 确定交点对称性：因为$k^2≥0$，所以$k^2+1＞0$，直线$y=(k^2+1)x$是过原点且斜率为正的正比例函数，它与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，故$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$；
2. 利用反比例函数性质：点$A$在$y=\frac{3}{x}$上，因此$x_1y_1=3$；
3. 转化并计算所求式：
$x_1y_2 = x_1·(-y_1) = -x_1y_1$，
$x_2y_1 = (-x_1)· y_1 = -x_1y_1$，
代入$3x_1y_2 -5x_2y_1$得：
$3·(-x_1y_1) -5·(-x_1y_1) = (-3 +5)x_1y_1 = 2×3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数图象性质、代数式求值
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数交点的对称性，无需联立方程求交点坐标，利用对称性转化代数式即可简化计算，属于基础题型，重点考查对函数图象性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确正比例函数与反比例函数交点的对称性：直线$y=(k^2+1)x$是过原点的正比例函数，且$k^2+1＞0$，它与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的交点$A$、$B$关于原点对称，因此$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$；再结合反比例函数的性质，交点在反比例函数上满足$x_1y_1=3$，最后将所求代数式用上述关系转化后代入计算即可。
【解析】
1. 确定交点对称性：因为$k^2≥0$，所以$k^2+1＞0$，直线$y=(k^2+1)x$是过原点且斜率为正的正比例函数，它与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，故$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$；
2. 利用反比例函数性质：点$A$在$y=\frac{3}{x}$上，因此$x_1y_1=3$；
3. 转化并计算所求式：
$x_1y_2 = x_1·(-y_1) = -x_1y_1$，
$x_2y_1 = (-x_1)· y_1 = -x_1y_1$，
代入$3x_1y_2 -5x_2y_1$得：
$3·(-x_1y_1) -5·(-x_1y_1) = (-3 +5)x_1y_1 = 2×3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数图象性质、代数式求值
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数交点的对称性，无需联立方程求交点坐标，利用对称性转化代数式即可简化计算，属于基础题型，重点考查对函数图象性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
7. 如图,一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$($k$ 为常数,且 $k≠0$)的图象交于 $A(-1,a)$、$B(b,1)$ 两点,与 $x$ 轴交于点 $C$.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若点 $P$ 在 $x$ 轴上,且 $S_{△ ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△ AOB}$,求点 $P$ 的坐标.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若点 $P$ 在 $x$ 轴上,且 $S_{△ ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△ AOB}$,求点 $P$ 的坐标.
答案
7. (1)把A(-1,a)代入y=x+5,得a=4,
∴A(-1,4).
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$(k为常数,且k≠0)的图象经过点A,
∴k=-1×4=-4,
∴反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$.
(2)把B(b,1)代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$,解得b=-4,
∴B(-4,1).令y=x+5=0,得x=-5,
∴C(-5,0).设点P的坐标为(t,0).
∵$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×5×4-\dfrac{1}{2}×5×1=\dfrac{15}{2}$,$S_{△ ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△ AOB}$,
∴$\dfrac{1}{2}×4×|t-(-5)|=\dfrac{2}{5}×\dfrac{15}{2}$,解得$t_1=-6.5$,$t_2=-3.5$,
∴点P的坐标为(-6.5,0)或(-3.5,0).
∴A(-1,4).
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$(k为常数,且k≠0)的图象经过点A,
∴k=-1×4=-4,
∴反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$.
(2)把B(b,1)代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$,解得b=-4,
∴B(-4,1).令y=x+5=0,得x=-5,
∴C(-5,0).设点P的坐标为(t,0).
∵$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×5×4-\dfrac{1}{2}×5×1=\dfrac{15}{2}$,$S_{△ ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△ AOB}$,
∴$\dfrac{1}{2}×4×|t-(-5)|=\dfrac{2}{5}×\dfrac{15}{2}$,解得$t_1=-6.5$,$t_2=-3.5$,
∴点P的坐标为(-6.5,0)或(-3.5,0).
解析
【分析】要解决本题，第一问需先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式求出k，从而得到反比例函数表达式；第二问需先求出点B、C的坐标，再通过坐标计算△AOB的面积，结合面积关系求出△ACP的面积，最后利用三角形面积公式及绝对值的性质求出点P的坐标。
【解析】(1) 把A(-1,a)代入一次函数y=x+5，得a=-1+5=4，
∴A(-1,4)。
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点A，
∴k=(-1)×4=-4，
∴该反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
(2) 把B(b,1)代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得$1=\dfrac{-4}{b}$，解得b=-4，
∴B(-4,1)。
令一次函数y=x+5中y=0，得0=x+5，解得x=-5，
∴C(-5,0)。
计算△AOB的面积：$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}×OC×|y_A|-\dfrac{1}{2}×OC×|y_B|=\dfrac{1}{2}×5×4-\dfrac{1}{2}×5×1=10-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$。
由题意，$S_{△ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△AOB}=\dfrac{2}{5}×\dfrac{15}{2}=3$。
设点P的坐标为(t,0)，则CP的长度为$|t-(-5)|=|t+5|$，△ACP中以CP为底，高为A点纵坐标的绝对值4，
∴$S_{△ACP}=\dfrac{1}{2}×|t+5|×4=2|t+5|$，
∴$2|t+5|=3$，即$|t+5|=1.5$，
解得$t+5=1.5$或$t+5=-1.5$，即t=-3.5或t=-6.5。
∴点P的坐标为(-6.5,0)或(-3.5,0)。
【答案】(1)$y=-\dfrac{4}{x}$；(2)(-6.5,0)或(-3.5,0)
【知识点】反比例函数表达式、一次函数与反比例函数交点、三角形面积计算
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、反比例函数解析式的求法、三角形面积的计算，解题关键是利用坐标求面积，注意绝对值的应用避免漏解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 把A(-1,a)代入一次函数y=x+5，得a=-1+5=4，
∴A(-1,4)。
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点A，
∴k=(-1)×4=-4，
∴该反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
(2) 把B(b,1)代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得$1=\dfrac{-4}{b}$，解得b=-4，
∴B(-4,1)。
令一次函数y=x+5中y=0，得0=x+5，解得x=-5，
∴C(-5,0)。
计算△AOB的面积：$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}×OC×|y_A|-\dfrac{1}{2}×OC×|y_B|=\dfrac{1}{2}×5×4-\dfrac{1}{2}×5×1=10-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$。
由题意，$S_{△ACP}=\dfrac{2}{5}S_{△AOB}=\dfrac{2}{5}×\dfrac{15}{2}=3$。
设点P的坐标为(t,0)，则CP的长度为$|t-(-5)|=|t+5|$，△ACP中以CP为底，高为A点纵坐标的绝对值4，
∴$S_{△ACP}=\dfrac{1}{2}×|t+5|×4=2|t+5|$，
∴$2|t+5|=3$，即$|t+5|=1.5$，
解得$t+5=1.5$或$t+5=-1.5$，即t=-3.5或t=-6.5。
∴点P的坐标为(-6.5,0)或(-3.5,0)。
【答案】(1)$y=-\dfrac{4}{x}$；(2)(-6.5,0)或(-3.5,0)
【知识点】反比例函数表达式、一次函数与反比例函数交点、三角形面积计算
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、反比例函数解析式的求法、三角形面积的计算，解题关键是利用坐标求面积，注意绝对值的应用避免漏解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
8. 如图,在平面直角坐标系中,矩形$OABC$的两边$OC$、$OA$在坐标轴上,且$OA=2,OC=4$,连接$OB$.反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(x＞0)$的图象经过线段$OB$的中点$D$,并与$AB$、$BC$分别交于点$E$、$F$,一次函数$y=k_2x+b$的图象经过$E$、$F$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)$P$是$x$轴上一动点,当$PE+PF$的值最小时,点$P$的坐标为
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)$P$是$x$轴上一动点,当$PE+PF$的值最小时,点$P$的坐标为
$(\dfrac{17}{5},0)$
.答案
8. (1)
∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,
∴B(4,2).由中点坐标公式可得点D的坐标为(2,1).
∵反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(x＞0)$的图象经过点D,
∴$k_1=2×1=2$,
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$.令y=2,得x=1;令x=4,得$y=\dfrac{1}{2}$,
∴E(1,2),$F(4,\dfrac{1}{2})$.把E(1,2)、$F(4,\dfrac{1}{2})$代入$y=k_2x+b$,得$\begin{cases}k_2+b=2,\\4k_2+b=\dfrac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{5}{2},\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$. (2)$(\dfrac{17}{5},0)$ 解析:如图,作点E关于x轴对称的点E',连接E'F交x轴于点P,则此时PE+PF的值最小.由点E的坐标可得对称点E'的坐标为(1,-2).设直线E'F的函数表达式为y=mx+n,代入点E'、F的坐标,得$\begin{cases}m+n=-2,\\4m+n=\dfrac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{5}{6},\\n=-\dfrac{17}{6},\end{cases}$
∴直线E'F的函数表达式为$y=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{17}{6}$.令y=0,得$x=\dfrac{17}{5}$,
∴点P的坐标为$(\dfrac{17}{5},0)$.
解析
【分析】
要解决本题，需分步骤处理：
1. 先根据矩形边长确定各顶点坐标，利用中点坐标公式找到OB中点D，代入反比例函数求表达式；
2. 确定E、F点坐标（E在AB上，AB为y=2；F在BC上，BC为x=4），代入反比例函数求解；
3. 利用E、F两点坐标，用待定系数法求一次函数表达式；
4. 对于第二问，利用“轴对称求最短路径”原理，作E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于P，此时PE+PF最小，再求直线E'F与x轴交点坐标。
【解析】
(1) 因为四边形OABC是矩形，OA=2，OC=4，所以各顶点坐标为：O(0,0)，A(0,2)，B(4,2)，C(4,0)。
OB的中点D，由中点坐标公式得D的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$过点D，代入得$k_1=2×1=2$，故反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$。
AB边的直线方程为y=2，代入反比例函数得$2=\frac{2}{x}$，解得x=1，所以E(1,2)；
BC边的直线方程为x=4，代入反比例函数得$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以F(4,$\frac{1}{2}$)。
将E(1,2)、F(4,$\frac{1}{2}$)代入一次函数$y=k_2x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_2 + b = 2 \\4k_2 + b = \frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{2} \\b=\frac{5}{2}\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 作点E关于x轴的对称点E'，则E'的坐标为(1,-2)。连接E'F，交x轴于点P，此时PE+PF=PE'+PF=E'F，根据两点之间线段最短，此时PE+PF最小。
设直线E'F的表达式为$y=mx+n$，代入E'(1,-2)和F(4,$\frac{1}{2}$)，得：
$\begin{cases}m + n = -2 \\4m + n = \frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{6} \\n=-\frac{17}{6}\end{cases}$，故直线E'F的表达式为$y=\frac{5}{6}x - \frac{17}{6}$。
令y=0，得$\frac{5}{6}x - \frac{17}{6}=0$，解得$x=\frac{17}{5}$，所以点P的坐标为$(\frac{17}{5},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(2) $(\frac{17}{5},0)$
【知识点】
反比例函数、一次函数、轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查矩形性质、函数表达式求解及轴对称最短路径，需掌握坐标与函数的关系、待定系数法，难度中等。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分步骤处理：
1. 先根据矩形边长确定各顶点坐标，利用中点坐标公式找到OB中点D，代入反比例函数求表达式；
2. 确定E、F点坐标（E在AB上，AB为y=2；F在BC上，BC为x=4），代入反比例函数求解；
3. 利用E、F两点坐标，用待定系数法求一次函数表达式；
4. 对于第二问，利用“轴对称求最短路径”原理，作E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于P，此时PE+PF最小，再求直线E'F与x轴交点坐标。
【解析】
(1) 因为四边形OABC是矩形，OA=2，OC=4，所以各顶点坐标为：O(0,0)，A(0,2)，B(4,2)，C(4,0)。
OB的中点D，由中点坐标公式得D的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$过点D，代入得$k_1=2×1=2$，故反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$。
AB边的直线方程为y=2，代入反比例函数得$2=\frac{2}{x}$，解得x=1，所以E(1,2)；
BC边的直线方程为x=4，代入反比例函数得$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以F(4,$\frac{1}{2}$)。
将E(1,2)、F(4,$\frac{1}{2}$)代入一次函数$y=k_2x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_2 + b = 2 \\4k_2 + b = \frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{2} \\b=\frac{5}{2}\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 作点E关于x轴的对称点E'，则E'的坐标为(1,-2)。连接E'F，交x轴于点P，此时PE+PF=PE'+PF=E'F，根据两点之间线段最短，此时PE+PF最小。
设直线E'F的表达式为$y=mx+n$，代入E'(1,-2)和F(4,$\frac{1}{2}$)，得：
$\begin{cases}m + n = -2 \\4m + n = \frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{6} \\n=-\frac{17}{6}\end{cases}$，故直线E'F的表达式为$y=\frac{5}{6}x - \frac{17}{6}$。
令y=0，得$\frac{5}{6}x - \frac{17}{6}=0$，解得$x=\frac{17}{5}$，所以点P的坐标为$(\frac{17}{5},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(2) $(\frac{17}{5},0)$
【知识点】
反比例函数、一次函数、轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查矩形性质、函数表达式求解及轴对称最短路径，需掌握坐标与函数的关系、待定系数法，难度中等。
【难度系数】
0.6
