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8. [2025 绵阳中考]如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 $y=mx\ (m≠0)$ 的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于 $A(-2,m-9),B$ 两点,点 $C$ 在反比例函数的图象上,且在第一象限内点 $B$ 的右侧,连接 $BC,OC,△ BOC$ 的面积为 $5$.
(1) 求点 $A,B$ 的坐标及反比例函数的表达式.
(2) 探究在 $x$ 轴上是否存在点 $M$,使得以点 $O,C,M,N$ 为顶点的四边形为菱形? 若存在,请求出点 $N$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求点 $A,B$ 的坐标及反比例函数的表达式.
(2) 探究在 $x$ 轴上是否存在点 $M$,使得以点 $O,C,M,N$ 为顶点的四边形为菱形? 若存在,请求出点 $N$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
8.（1）$\because$ 点 $A(-2,m-9)$ 在正比例函数 $y=mx$ 的图象上,$\therefore m-9=-2m$,解得 $m=3$. $\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=3x$,$A(-2,-6)$. 又$\because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=-2×(-6)=12$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$. $\because$ 点 $A,B$ 关于原点对称,$\therefore B(2,6)$. 综上所述,$A(-2,-6)$,$B(2,6)$,反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$. （2）存在. 如图①,过点 $C$ 作 $CG// x$ 轴,交 $AB$ 于点 $G$. 设 $C(c,\dfrac{12}{c})$,则 $G(\dfrac{4}{c},\dfrac{12}{c})$, $\therefore CG=c-\dfrac{4}{c}$. $\therefore S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}CG·(y_B-y_O)=\dfrac{1}{2}×(c-\dfrac{4}{c})×6=5$,解得 $c=3$ 或 $c=-\dfrac{4}{3}$(不合题意,舍去). $\therefore C(3,4)$,则 $OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 当 $OC$ 为菱形的边时,有如下三种情况: ① 如图②,点 $N$ 在点 $C$ 左侧,此时 $CN// x$ 轴,且 $CN=5$, $\therefore N(-2,4)$. ② 如图③,点 $N$ 在点 $C$ 右侧,此时 $CN// x$ 轴,且 $CN=5$,$\therefore N(8,4)$. ③ 如图④,$OM$,$CN$ 为对角线,此时点 $C$ 与点 $N$ 关于 $x$ 轴对称,则 $N(3,-4)$. 当 $OC$ 为菱形的对角线时,如图⑤,过点 $C$ 作 $CL⊥ x$ 轴于点 $L$,设 $OM=a$,则 $CM=a$,$ML=a-3$. 在 $\mathrm{Rt}△ CLM$ 中,$ML^2+CL^2=CM^2$,即 $(a-3)^2+4^2=a^2$,解得 $a=\dfrac{25}{6}$. $\therefore CN=\dfrac{25}{6}$. $\therefore N(-\dfrac{7}{6},4)$. 综上所述,点 $N$ 的坐标为 $(-2,4)$或$(8,4)$或$(3,-4)$或$(-\dfrac{7}{6},4)$.
[图2]
[图2]
解析
【分析】
这道题可以分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：已知点A在正比例函数y=mx上，直接将A的坐标代入解析式，就能得到关于m的一元一次方程，解出m后即可得到正比例函数解析式，同时得到点A的完整坐标。再把A点坐标代入反比例函数解析式，就能求出k值，得到反比例函数表达式。最后利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点中心对称的性质，直接由A点坐标得到对称点B的坐标，无需额外联立方程，简化计算过程。
2. 第(2)问：首先用水平割补法求点C的坐标，过C作平行于x轴的直线交AB于G，把△BOC的面积转化为以CG为底、B点纵坐标为高的三角形面积，代入已知面积为5列方程，求解得到C点坐标，算出OC的长度为5。接下来分类讨论菱形的构成：分OC为菱形的边、OC为菱形的对角线两大类别，结合菱形对边平行且相等、四条边长度相等的性质，逐一推导不同情况下点N的坐标，注意不要遗漏符合条件的所有情况。
【解析】
(1) 已知点$A(-2, m-9)$在正比例函数$y=mx$的图象上，将坐标代入解析式：
$m - 9 = -2m$
解得$m=3$，因此正比例函数表达式为$y=3x$，点A的坐标为$(-2, -6)$。
将$A(-2,-6)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$k = (-2)×(-6) = 12$
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
由于正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点中心对称，由$A(-2,-6)$可得点B的坐标为$(2,6)$。
(2) 先求点C的坐标：
设点$C(c, \dfrac{12}{c})$，过点C作$CG// x$轴，交直线$AB$于点G，G点纵坐标与C相同为$\dfrac{12}{c}$，代入$y=3x$得G点横坐标为$\dfrac{4}{c}$，即$G(\dfrac{4}{c},\dfrac{12}{c})$。
线段$CG$的长度为$c-\dfrac{4}{c}$，由$S_{△ BOC}=5$得：
$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× CG × y_B=\dfrac{1}{2}×(c-\dfrac{4}{c})×6=5$
整理得$3c^2-5c-12=0$，解得$c=3$或$c=-\dfrac{4}{3}$，因为点C在第一象限B点右侧，舍去负根，得$C(3,4)$。
计算得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，接下来分情况讨论菱形：
① 当OC为菱形的边，点N在C左侧时，$CN// x$轴且$CN=OC=5$，得$N(-2,4)$；
② 当OC为菱形的边，点N在C右侧时，$CN// x$轴且$CN=OC=5$，得$N(8,4)$；
③ 当OC为菱形的边，点C与N关于x轴对称时，四边形OCMN为菱形，得$N(3,-4)$；
④ 当OC为菱形的对角线时，设$OM=a$，则$CM=a$，在$\mathrm{Rt}△ CLM$中由勾股定理得$(a-3)^2+4^2=a^2$，解得$a=\dfrac{25}{6}$，$CN=OM=\dfrac{25}{6}$，得$N(-\dfrac{7}{6},4)$。
【答案】
(1) $A(-2,-6)$，$B(2,6)$，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$；
(2) 存在，点N的坐标为$(-2,4)$或$(8,4)$或$(3,-4)$或$(-\dfrac{7}{6},4)$
【知识点】
正反比例交点性质；割补法求面积；菱形性质判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合考题，第一问属于基础考点，利用点在函数图象上的代入性质、正反比例交点的中心对称性质即可快速求解；第二问需要先通过面积条件求出C点坐标，再对菱形的构成进行完整分类讨论，很容易出现漏解，重点考察分类讨论的数学思想，对学生思维的全面性和坐标运算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
这道题可以分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：已知点A在正比例函数y=mx上，直接将A的坐标代入解析式，就能得到关于m的一元一次方程，解出m后即可得到正比例函数解析式，同时得到点A的完整坐标。再把A点坐标代入反比例函数解析式，就能求出k值，得到反比例函数表达式。最后利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点中心对称的性质，直接由A点坐标得到对称点B的坐标，无需额外联立方程，简化计算过程。
2. 第(2)问：首先用水平割补法求点C的坐标，过C作平行于x轴的直线交AB于G，把△BOC的面积转化为以CG为底、B点纵坐标为高的三角形面积，代入已知面积为5列方程，求解得到C点坐标，算出OC的长度为5。接下来分类讨论菱形的构成：分OC为菱形的边、OC为菱形的对角线两大类别，结合菱形对边平行且相等、四条边长度相等的性质，逐一推导不同情况下点N的坐标，注意不要遗漏符合条件的所有情况。
【解析】
(1) 已知点$A(-2, m-9)$在正比例函数$y=mx$的图象上，将坐标代入解析式：
$m - 9 = -2m$
解得$m=3$，因此正比例函数表达式为$y=3x$，点A的坐标为$(-2, -6)$。
将$A(-2,-6)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$k = (-2)×(-6) = 12$
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
由于正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点中心对称，由$A(-2,-6)$可得点B的坐标为$(2,6)$。
(2) 先求点C的坐标：
设点$C(c, \dfrac{12}{c})$，过点C作$CG// x$轴，交直线$AB$于点G，G点纵坐标与C相同为$\dfrac{12}{c}$，代入$y=3x$得G点横坐标为$\dfrac{4}{c}$，即$G(\dfrac{4}{c},\dfrac{12}{c})$。
线段$CG$的长度为$c-\dfrac{4}{c}$，由$S_{△ BOC}=5$得：
$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× CG × y_B=\dfrac{1}{2}×(c-\dfrac{4}{c})×6=5$
整理得$3c^2-5c-12=0$，解得$c=3$或$c=-\dfrac{4}{3}$，因为点C在第一象限B点右侧，舍去负根，得$C(3,4)$。
计算得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，接下来分情况讨论菱形：
① 当OC为菱形的边，点N在C左侧时，$CN// x$轴且$CN=OC=5$，得$N(-2,4)$；
② 当OC为菱形的边，点N在C右侧时，$CN// x$轴且$CN=OC=5$，得$N(8,4)$；
③ 当OC为菱形的边，点C与N关于x轴对称时，四边形OCMN为菱形，得$N(3,-4)$；
④ 当OC为菱形的对角线时，设$OM=a$，则$CM=a$，在$\mathrm{Rt}△ CLM$中由勾股定理得$(a-3)^2+4^2=a^2$，解得$a=\dfrac{25}{6}$，$CN=OM=\dfrac{25}{6}$，得$N(-\dfrac{7}{6},4)$。
【答案】
(1) $A(-2,-6)$，$B(2,6)$，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$；
(2) 存在，点N的坐标为$(-2,4)$或$(8,4)$或$(3,-4)$或$(-\dfrac{7}{6},4)$
【知识点】
正反比例交点性质；割补法求面积；菱形性质判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合考题，第一问属于基础考点，利用点在函数图象上的代入性质、正反比例交点的中心对称性质即可快速求解；第二问需要先通过面积条件求出C点坐标，再对菱形的构成进行完整分类讨论，很容易出现漏解，重点考察分类讨论的数学思想，对学生思维的全面性和坐标运算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
9. [2025 湖北中考]已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流$I(\mathrm{A})$与电阻$R(\Omega)$是反比例函数关系,其图象如图所示.当电阻大于$9\ \Omega$时,电流可能是（
A.$3\ \mathrm{A}$
B.$4\ \mathrm{A}$
C.$5\ \mathrm{A}$
D.$6\ \mathrm{A}$
A
）A.$3\ \mathrm{A}$
B.$4\ \mathrm{A}$
C.$5\ \mathrm{A}$
D.$6\ \mathrm{A}$
答案
9. A 根据图象可知,当 $R＞9$ 时,$I＜4$,$\therefore$ 当电阻大于 $9\ \Omega$ 时,电流可能是 $3\ \mathrm{A}$.
解析
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10. [2025 长春中考]在功$W(\mathrm{J})$一定的条件下,功率$P(\mathrm{W})$与做功时间$t(\mathrm{s})$成反比例,$P(\mathrm{W})$与$t(\mathrm{s})$之间的函数关系如图所示.当$25 ≤ t ≤ 40$时,$P$的值可以为（
A.24
B.27
C.45
D.50
C
）A.24
B.27
C.45
D.50
答案
10. C 设功率 $P(\mathrm{W})$ 与做功的时间 $t(\mathrm{s})$ 的函数表达式为 $P=\dfrac{W}{t}(W≠0)$. 把 $t=60$,$P=20$ 代入表达式,得 $20=\dfrac{W}{60}$,解得 $W=1\ 200$. $\therefore$ 功率 $P(\mathrm{W})$ 与做功的时间 $t(\mathrm{s})$ 的函数表达式为 $P=\dfrac{1200}{t}$. $\because$ 反比例函数的图象在第一象限内,$P$ 随 $t$ 的增大而减小,且当 $t=25$ 时,$P=\dfrac{1200}{25}=48$,当 $t=40$ 时,$P=\dfrac{1200}{40}=30$,$\therefore 30≤ P≤48$. $\therefore P$ 的值可以为 45.
解析
【分析】
首先根据题意，功W一定时功率P和时间t成反比例，因此先设反比例函数的解析式为$P=\frac{W}{t}$，再结合图像给出的已知点$(60,20)$代入解析式，即可求出定值W，得到完整的函数表达式。由于该反比例函数图像在第一象限，P随t的增大而减小，因此将t的取值区间的两个端点25和40分别代入解析式，就能算出对应的P的取值范围，最后对照选项，找出落在该范围内的数值即可得到正确答案。
【解析】
1. 设函数表达式：根据反比例关系，设功率P与做功时间t的函数表达式为$P=\frac{W}{t} \ (W≠0, t＞0)$。
2. 代入已知点求W：将图像上的点$t=60$，$P=20$代入表达式，得$20=\frac{W}{60}$，解得$W=1200$，因此函数表达式为$P=\frac{1200}{t} \ (t＞0)$。
3. 利用反比例函数性质求P的范围：该反比例函数图像位于第一象限，P随t的增大而减小。
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因此当$25≤ t≤40$时，对应的P的取值范围是$30≤ P≤48$。
4. 匹配选项：观察四个选项，只有45落在30到48的区间内，因此选C。
【答案】C
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，功与功率关系
【点评】
本题是数学反比例函数与物理功率公式结合的跨学科基础应用题，解题核心是先通过图像已知点求出反比例函数解析式，再利用反比例函数在第一象限的递减特性，推导出自变量指定区间对应的函数值范围，易错点是容易搞反增减性得到错误的P的范围，整体思路常规，属于中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题意，功W一定时功率P和时间t成反比例，因此先设反比例函数的解析式为$P=\frac{W}{t}$，再结合图像给出的已知点$(60,20)$代入解析式，即可求出定值W，得到完整的函数表达式。由于该反比例函数图像在第一象限，P随t的增大而减小，因此将t的取值区间的两个端点25和40分别代入解析式，就能算出对应的P的取值范围，最后对照选项，找出落在该范围内的数值即可得到正确答案。
【解析】
1. 设函数表达式：根据反比例关系，设功率P与做功时间t的函数表达式为$P=\frac{W}{t} \ (W≠0, t＞0)$。
2. 代入已知点求W：将图像上的点$t=60$，$P=20$代入表达式，得$20=\frac{W}{60}$，解得$W=1200$，因此函数表达式为$P=\frac{1200}{t} \ (t＞0)$。
3. 利用反比例函数性质求P的范围：该反比例函数图像位于第一象限，P随t的增大而减小。
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因此当$25≤ t≤40$时，对应的P的取值范围是$30≤ P≤48$。
4. 匹配选项：观察四个选项，只有45落在30到48的区间内，因此选C。
【答案】C
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，功与功率关系
【点评】
本题是数学反比例函数与物理功率公式结合的跨学科基础应用题，解题核心是先通过图像已知点求出反比例函数解析式，再利用反比例函数在第一象限的递减特性，推导出自变量指定区间对应的函数值范围，易错点是容易搞反增减性得到错误的P的范围，整体思路常规，属于中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
11. [2025 连云港中考]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p(\mathrm{Pa})$是气球体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数. 当$V=1.2$时，$p=20\ 000$，则当$V=1.5$时，$p=$
16000
.答案
11. 16 000 设 $p$ 与 $V$ 之间的函数表达式为 $p=\dfrac{k}{V}$($k$ 为常数,且 $k≠0$). 将 $V=1.2$,$p=20\ 000$ 代入 $p=\dfrac{k}{V}$,得 $20\ 000=\dfrac{k}{1.2}$,解得 $k=24\ 000$,$\therefore p$ 与 $V$ 之间的函数表达式为 $p=\dfrac{24000}{V}$. 当 $V=1.5$ 时,$p=\dfrac{24000}{1.5}=16\ 000$.
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先题目已经明确说明压强p是体积V的反比例函数，我们可以直接用待定系数法求解。第一步先设出反比例函数的标准形式$p=\dfrac{k}{V}$（k为非零常数）；第二步把题目给出的已知对应值$V=1.2$、$p=20000$代入所设函数式，计算出常数k的具体数值，得到p和V之间完整的函数关系式；第三步再把待求的$V=1.5$代入已经得到的函数关系式，直接计算就能得到对应的p的结果。
【解析】
解：设p与V之间的函数表达式为$p=\dfrac{k}{V}$（k为常数，且$k≠0$）。
将已知条件$V=1.2$，$p=20\ 000$代入上述表达式，可得：
$20\ 000=\dfrac{k}{1.2}$
解得$k=20\ 000×1.2=24\ 000$，因此p与V的函数表达式为$p=\dfrac{24000}{V}$。
再将$V=1.5$代入该函数表达式，计算得：
$p=\dfrac{24000}{1.5}=16\ 000$
【答案】
16 000
【知识点】
待定系数法求反比例函数、反比例函数实际应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础实际应用题，结合了物理中恒温下气体压强与体积的反比关系作为背景，考点完全围绕待定系数法展开，计算量小，只要掌握反比例函数的基本定义和形式就能顺利求解，是中考中典型的低难度送分题型。
【难度系数】
0.9
这道题的解题思路非常清晰：首先题目已经明确说明压强p是体积V的反比例函数，我们可以直接用待定系数法求解。第一步先设出反比例函数的标准形式$p=\dfrac{k}{V}$（k为非零常数）；第二步把题目给出的已知对应值$V=1.2$、$p=20000$代入所设函数式，计算出常数k的具体数值，得到p和V之间完整的函数关系式；第三步再把待求的$V=1.5$代入已经得到的函数关系式，直接计算就能得到对应的p的结果。
【解析】
解：设p与V之间的函数表达式为$p=\dfrac{k}{V}$（k为常数，且$k≠0$）。
将已知条件$V=1.2$，$p=20\ 000$代入上述表达式，可得：
$20\ 000=\dfrac{k}{1.2}$
解得$k=20\ 000×1.2=24\ 000$，因此p与V的函数表达式为$p=\dfrac{24000}{V}$。
再将$V=1.5$代入该函数表达式，计算得：
$p=\dfrac{24000}{1.5}=16\ 000$
【答案】
16 000
【知识点】
待定系数法求反比例函数、反比例函数实际应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础实际应用题，结合了物理中恒温下气体压强与体积的反比关系作为背景，考点完全围绕待定系数法展开，计算量小，只要掌握反比例函数的基本定义和形式就能顺利求解，是中考中典型的低难度送分题型。
【难度系数】
0.9
12. [2025 北京中考] 如图,$\odot O$ 是地球的示意图,其中 $AB$ 表示赤道,$CD$,$EF$ 分别表示北回归线和南回归线,$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$. 夏至日正午时,太阳光线 $GD$ 所在直线经过地心 $O$,此时点$F$ 处的太阳高度角 $∠ IFH$ (即平行于 $GD$ 的光线 $HF$ 与 $\odot O$ 的切线 $FI$ 所成的锐角) 的大小为 $\_\_\_\_\_\_°$.
答案
12. 43 $\because ∠ DOB=∠ FOB=23.5°$,$\therefore ∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=47°$. $\because GD// HF$,$\therefore ∠ OFH=180°-∠ DOF=180°-47°=133°$. $\because FI$ 是 $\odot O$ 的切线,$\therefore OF⊥ FI$. $\therefore ∠ OFI=90°$. $\therefore ∠ IFH=∠ OFH-∠ OFI=133°-90°=43°$.
解析
【分析】
解题时首先要把实际的太阳高度角问题转化为平面几何问题：第一步先根据已知的∠DOB和∠FOB的度数，相加得到∠DOF的总度数；第二步利用GD和HF平行的条件，根据平行线同旁内角互补的性质，求出∠OFH的度数；第三步根据圆的切线性质，得到半径OF和切线FI垂直，即∠OFI=90°；最后通过角度的差运算，用∠OFH减去90°就能得到所求的∠IFH的度数，整个过程对应已知条件逐步推导即可，逻辑清晰不易出错。
【解析】
解：
1. 计算∠DOF的度数：
已知∠DOB=∠FOB=23.5°，因此$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
2. 利用平行线性质求∠OFH：
因为$GD// HF$，直线OF截这两条平行线，同旁内角互补，因此$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$，代入∠DOF=47°，可得$∠ OFH=180°-47°=133°$。
3. 利用切线性质得到垂直关系：
因为FI是$\odot O$在点F处的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
4. 计算所求角度∠IFH：
$∠ IFH = ∠ OFH - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
43
【知识点】
平行线性质，切线的性质，角度和差运算
【点评】
本题是跨学科融合的几何应用题，结合地理太阳高度角的实际情境设计考点，核心考查平行线性质、圆的切线性质的综合应用，解题的关键是把实际场景的条件转化为常规几何关系，理清各角度的和差逻辑即可顺利求解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
解题时首先要把实际的太阳高度角问题转化为平面几何问题：第一步先根据已知的∠DOB和∠FOB的度数，相加得到∠DOF的总度数；第二步利用GD和HF平行的条件，根据平行线同旁内角互补的性质，求出∠OFH的度数；第三步根据圆的切线性质，得到半径OF和切线FI垂直，即∠OFI=90°；最后通过角度的差运算，用∠OFH减去90°就能得到所求的∠IFH的度数，整个过程对应已知条件逐步推导即可，逻辑清晰不易出错。
【解析】
解：
1. 计算∠DOF的度数：
已知∠DOB=∠FOB=23.5°，因此$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
2. 利用平行线性质求∠OFH：
因为$GD// HF$，直线OF截这两条平行线，同旁内角互补，因此$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$，代入∠DOF=47°，可得$∠ OFH=180°-47°=133°$。
3. 利用切线性质得到垂直关系：
因为FI是$\odot O$在点F处的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
4. 计算所求角度∠IFH：
$∠ IFH = ∠ OFH - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
43
【知识点】
平行线性质，切线的性质，角度和差运算
【点评】
本题是跨学科融合的几何应用题，结合地理太阳高度角的实际情境设计考点，核心考查平行线性质、圆的切线性质的综合应用，解题的关键是把实际场景的条件转化为常规几何关系，理清各角度的和差逻辑即可顺利求解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
13. [2025 安徽中考]在一个平衡的天平左、右两端托盘上分别放置质量为 20 g 和 70 g 的物品后,天平倾斜(如图).现从质量为 10 g,20 g,30 g,40 g 的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
13. $\dfrac{1}{3}$ 由题意可知,$20+50=70(\mathrm{g})$,$10+40=20+30=50(\mathrm{g})$. 把质量为 10 g,20 g,30 g,40 g 的四件物品分别记为 1,2,3,4,画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“天平恢复平衡”包含 4 种等可能结果,$\therefore$ 天平恢复平衡的概率为$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
[图3]
[图3]
解析
【分析】
首先先明确天平恢复平衡的前提条件：当前天平右端总质量为70g，左端已有20g物品，因此需要额外放到左端的两件物品总质量需要达到70-20=50g，才能让左右两端质量相等恢复平衡。接下来我们只需要统计从4件物品中随机选两件的所有等可能结果总数，再统计其中两件总质量为50g的符合条件的结果数，最后用概率公式即可算出所求概率。思考时先把实际的天平场景转化为数学的求和问题，再用列举法枚举所有选取情况即可。
【解析】
1. 推导平衡条件：已知右端托盘物品质量为70g，左端托盘已有物品质量为20g，若要天平恢复平衡，放入左端的两件物品总质量需要满足：
$20 + m_{\mathrm{两件}} = 70$，解得需要两件物品总质量$m_{\mathrm{两件}}=50\ \mathrm{g}$。
2. 枚举所有等可能结果：将质量为10g、20g、30g、40g的四件物品分别记为1、2、3、4，不放回随机选取两件的所有等可能结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共12种。
3. 统计符合条件的结果：其中两件总质量为50g的结果为：(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)，共4种。
4. 计算概率：根据古典概型概率公式，天平恢复平衡的概率$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合天平的实际场景考查古典概型，解题的关键是先将天平平衡的实际要求转化为“所选两件物品总质量为50g”的数学条件，再通过树状图/列举法统计所有等可能结果，本题难度不大，注意选取两件是不放回抽取，不要重复或遗漏枚举结果即可。
【难度系数】
0.6
首先先明确天平恢复平衡的前提条件：当前天平右端总质量为70g，左端已有20g物品，因此需要额外放到左端的两件物品总质量需要达到70-20=50g，才能让左右两端质量相等恢复平衡。接下来我们只需要统计从4件物品中随机选两件的所有等可能结果总数，再统计其中两件总质量为50g的符合条件的结果数，最后用概率公式即可算出所求概率。思考时先把实际的天平场景转化为数学的求和问题，再用列举法枚举所有选取情况即可。
【解析】
1. 推导平衡条件：已知右端托盘物品质量为70g，左端托盘已有物品质量为20g，若要天平恢复平衡，放入左端的两件物品总质量需要满足：
$20 + m_{\mathrm{两件}} = 70$，解得需要两件物品总质量$m_{\mathrm{两件}}=50\ \mathrm{g}$。
2. 枚举所有等可能结果：将质量为10g、20g、30g、40g的四件物品分别记为1、2、3、4，不放回随机选取两件的所有等可能结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共12种。
3. 统计符合条件的结果：其中两件总质量为50g的结果为：(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)，共4种。
4. 计算概率：根据古典概型概率公式，天平恢复平衡的概率$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合天平的实际场景考查古典概型，解题的关键是先将天平平衡的实际要求转化为“所选两件物品总质量为50g”的数学条件，再通过树状图/列举法统计所有等可能结果，本题难度不大，注意选取两件是不放回抽取，不要重复或遗漏枚举结果即可。
【难度系数】
0.6
14. [2025 滨州中考]在一次试验中,每个电子元件 有通电或断电两种状态,并且这两种状态的可能性相等. 如图,在一定时间段内,A,B 之间电流能够正常通过的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.答案
14. $\dfrac{1}{4}$ 将左右两个元件分别记为元件 1、元件 2. 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 4 种等可能的结果,事件“在一定时间段内,A,B之间电流能够正常通过”包含 1 种等可能结果,$\therefore$ 在一定时间段内,A,B 之间电流能够正常通过的概率为$\dfrac{1}{4}$.
[图4]
[图4]
解析
【分析】
解题思路：首先观察电路可知两个电子元件为串联连接，电流要从A到B正常通过，必须两个元件同时处于通电状态。接下来我们可以将两个元件分别标记为元件1、元件2，已知每个元件都有通电、断电两种等可能的状态，我们可以通过画树状图或者直接枚举的方式列出所有等可能的状态组合，统计出全部结果总数，再筛选出满足电流正常通过的结果数量，最后根据古典概型的概率计算公式即可求出最终概率。
【解析】
解：将两个串联的电子元件分别记为元件1、元件2：
1. 枚举所有等可能的状态组合：
元件1有通电、断电2种状态，对应元件2也各有通电、断电2种状态，所有等可能的结果为：(通电,通电)、(通电,断电)、(断电,通电)、(断电,断电)，总计4种。
2. 电流正常通过的条件：由于两个元件串联，只有两个元件同时通电时，A、B之间的电流才能正常通过，满足该条件的结果只有1种。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得A、B之间电流能够正常通过的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
树状图求概率，古典概型，串联电路特性
【点评】
本题结合基础电路常识考查概率计算，易错点是误将串联电路当成并联电路，错误认为只要至少一个元件通电电流就可导通，解题时先明确串联电路的导通条件是两个元件同时通电，再枚举所有状态即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察电路可知两个电子元件为串联连接，电流要从A到B正常通过，必须两个元件同时处于通电状态。接下来我们可以将两个元件分别标记为元件1、元件2，已知每个元件都有通电、断电两种等可能的状态，我们可以通过画树状图或者直接枚举的方式列出所有等可能的状态组合，统计出全部结果总数，再筛选出满足电流正常通过的结果数量，最后根据古典概型的概率计算公式即可求出最终概率。
【解析】
解：将两个串联的电子元件分别记为元件1、元件2：
1. 枚举所有等可能的状态组合：
元件1有通电、断电2种状态，对应元件2也各有通电、断电2种状态，所有等可能的结果为：(通电,通电)、(通电,断电)、(断电,通电)、(断电,断电)，总计4种。
2. 电流正常通过的条件：由于两个元件串联，只有两个元件同时通电时，A、B之间的电流才能正常通过，满足该条件的结果只有1种。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得A、B之间电流能够正常通过的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
树状图求概率，古典概型，串联电路特性
【点评】
本题结合基础电路常识考查概率计算，易错点是误将串联电路当成并联电路，错误认为只要至少一个元件通电电流就可导通，解题时先明确串联电路的导通条件是两个元件同时通电，再枚举所有状态即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
