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1. 如图,点$O$是$△ ABC$的内心,也是$△ DBC$的外心.若$∠ A=84°$,则$∠ D$的度数为 （
A.$42°$
B.$66°$
C.$76°$
D.$82°$
B
）A.$42°$
B.$66°$
C.$76°$
D.$82°$
答案
连接OB,OC.
∵ 点O是△ABC的内心,∠A=84°,
∴ BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
∴ ∠OBC=
$\frac{1}{2} ∠ABC,∠OCB = \frac{1}{2} ∠ACB. ∴ ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = 180° - \frac{1}{2}(180°-∠A) = 90° + \frac{1}{2} ∠A = 132°. ∵ 点O也是△DBC的外心,∴ ∠D = \frac{1}{2} ∠BOC = 66°.$
∵ 点O是△ABC的内心,∠A=84°,
∴ BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
∴ ∠OBC=
$\frac{1}{2} ∠ABC,∠OCB = \frac{1}{2} ∠ACB. ∴ ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = 180° - \frac{1}{2}(180°-∠A) = 90° + \frac{1}{2} ∠A = 132°. ∵ 点O也是△DBC的外心,∴ ∠D = \frac{1}{2} ∠BOC = 66°.$
解析
【分析】
解题思路：我们可以结合点O的两个特殊身份的性质分步推导：第一步，先利用三角形内心的定义，内心是三角形内角角平分线的交点，推导出∠BOC和已知∠A的数量关系，算出∠BOC的具体度数；第二步，再利用点O是△DBC外心的性质，外心是三角形外接圆的圆心，此时B、C、D三点在以O为圆心的同一个圆上，根据圆周角定理，同弧对应的圆周角是圆心角的一半，∠D是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此∠D等于∠BOC的一半，代入数值即可得到最终结果。
【解析】
解：连接OB、OC，
1. 结合△ABC的内心性质计算∠BOC：
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
即 $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，已知$∠ A=84°$，
在△BOC中计算得：
$\begin{aligned}∠ BOC&=180° - (∠ OBC + ∠ OCB)\\&=180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)\\&=180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A)\\&=90° + \frac{1}{2}∠ A\\&=90° + 42° = 132°\end{aligned}$
2. 结合△DBC的外心性质计算∠D：
∵ 点O是△DBC的外心，
∴ D、B、C三点在以O为圆心的同一外接圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠D是弧BC对应的圆周角，
由圆周角定理可得：$∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×132° = 66°$。
【答案】
B.$66°$
【知识点】
三角形内心性质，三角形外心性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，核心是要熟练掌握由内心性质推导得到的常用结论$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，再结合外心对应的外接圆的圆周角定理即可快速求解，连接辅助线OB、OC是搭建两个性质关联的关键步骤。
【难度系数】
0.6
解题思路：我们可以结合点O的两个特殊身份的性质分步推导：第一步，先利用三角形内心的定义，内心是三角形内角角平分线的交点，推导出∠BOC和已知∠A的数量关系，算出∠BOC的具体度数；第二步，再利用点O是△DBC外心的性质，外心是三角形外接圆的圆心，此时B、C、D三点在以O为圆心的同一个圆上，根据圆周角定理，同弧对应的圆周角是圆心角的一半，∠D是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此∠D等于∠BOC的一半，代入数值即可得到最终结果。
【解析】
解：连接OB、OC，
1. 结合△ABC的内心性质计算∠BOC：
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
即 $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，已知$∠ A=84°$，
在△BOC中计算得：
$\begin{aligned}∠ BOC&=180° - (∠ OBC + ∠ OCB)\\&=180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)\\&=180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A)\\&=90° + \frac{1}{2}∠ A\\&=90° + 42° = 132°\end{aligned}$
2. 结合△DBC的外心性质计算∠D：
∵ 点O是△DBC的外心，
∴ D、B、C三点在以O为圆心的同一外接圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠D是弧BC对应的圆周角，
由圆周角定理可得：$∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×132° = 66°$。
【答案】
B.$66°$
【知识点】
三角形内心性质，三角形外心性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，核心是要熟练掌握由内心性质推导得到的常用结论$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，再结合外心对应的外接圆的圆周角定理即可快速求解，连接辅助线OB、OC是搭建两个性质关联的关键步骤。
【难度系数】
0.6
2. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点 $I$ 是$△ ABC$ 的内心,点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上,$∠ CDE=78^{\circ },$则$∠ AIC$ 的度数为
129°
.答案
$\because ∠CDE=78°,∴ ∠ADC=180°−∠CDE=180°−78°=102°.∵ 四边形ABCD内接于⊙O,∴ ∠B=180°−∠ADC=180°−102°=78°. ∴ ∠BAC+∠BCA=180°−∠B=180°−78°=102°. ∵ 点I是△ABC的内心,∴ IA,IC分别平分∠BAC,∠BCA. ∴ ∠IAC+∠ICA=\frac{1}{2}∠BAC + \frac{1}{2}∠BCA = \frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA) = \frac{1}{2} ×102°=51°. ∴ ∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA)=180°−51°=129°.$
解析
【分析】
解题思路梳理：1. 首先从已知条件∠CDE=78°入手，∠CDE和∠ADC是邻补角，先求出∠ADC的度数；2. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出△ABC的内角∠B的度数，也可以利用圆内接四边形的外角等于内对角，直接得到∠B=∠CDE=78°，简化计算；3. 点I是△ABC的内心，也就是三角形三个内角角平分线的交点，因此IA平分∠BAC，IC平分∠BCA，可得∠IAC+∠ICA等于(∠BAC+∠BCA)的一半；4. 结合△ABC的内角和定理，先算出∠BAC+∠BCA的度数，再代入△AIC的内角和公式，就能求出∠AIC的度数。
【解析】
1. 计算∠ADC的度数
已知∠CDE=78°，∠ADC与∠CDE互为邻补角：
$∠ ADC = 180° - ∠ CDE = 180° -78° = 102°$
2. 利用圆内接四边形性质求∠B
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ B + ∠ ADC = 180°$
$\therefore ∠ B = 180° - ∠ ADC = 180° - 102° =78°$
3. 计算△ABC中两个内角的和
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ B = 180° -78° = 102°$
4. 结合内心性质求∠IAC+∠ICA
∵ 点I是△ABC的内心，IA、IC分别平分∠BAC、∠BCA：
$\therefore ∠ IAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA = \frac{1}{2}∠ BCA$
因此$∠ IAC + ∠ ICA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2} × 102° = 51°$
5. 计算∠AIC
在△AIC中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ AIC = 180° - (∠ IAC + ∠ ICA) = 180° -51° =129°$
【答案】
$129°$
【知识点】
圆内接四边形性质，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形内心结合的基础题型，解题时可以利用两个常用结论简化步骤：一是圆内接四边形的外角等于它的内对角，可直接跳过计算∠ADC的步骤快速得到∠B的度数；二是三角形内心对应的夹角公式$∠ AIC=90°+\frac{1}{2}∠ B$，代入∠B的数值可直接得到结果，注意不要混淆内心、外心的定义性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
解题思路梳理：1. 首先从已知条件∠CDE=78°入手，∠CDE和∠ADC是邻补角，先求出∠ADC的度数；2. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出△ABC的内角∠B的度数，也可以利用圆内接四边形的外角等于内对角，直接得到∠B=∠CDE=78°，简化计算；3. 点I是△ABC的内心，也就是三角形三个内角角平分线的交点，因此IA平分∠BAC，IC平分∠BCA，可得∠IAC+∠ICA等于(∠BAC+∠BCA)的一半；4. 结合△ABC的内角和定理，先算出∠BAC+∠BCA的度数，再代入△AIC的内角和公式，就能求出∠AIC的度数。
【解析】
1. 计算∠ADC的度数
已知∠CDE=78°，∠ADC与∠CDE互为邻补角：
$∠ ADC = 180° - ∠ CDE = 180° -78° = 102°$
2. 利用圆内接四边形性质求∠B
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ B + ∠ ADC = 180°$
$\therefore ∠ B = 180° - ∠ ADC = 180° - 102° =78°$
3. 计算△ABC中两个内角的和
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ B = 180° -78° = 102°$
4. 结合内心性质求∠IAC+∠ICA
∵ 点I是△ABC的内心，IA、IC分别平分∠BAC、∠BCA：
$\therefore ∠ IAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA = \frac{1}{2}∠ BCA$
因此$∠ IAC + ∠ ICA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2} × 102° = 51°$
5. 计算∠AIC
在△AIC中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ AIC = 180° - (∠ IAC + ∠ ICA) = 180° -51° =129°$
【答案】
$129°$
【知识点】
圆内接四边形性质，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形内心结合的基础题型，解题时可以利用两个常用结论简化步骤：一是圆内接四边形的外角等于它的内对角，可直接跳过计算∠ADC的步骤快速得到∠B的度数；二是三角形内心对应的夹角公式$∠ AIC=90°+\frac{1}{2}∠ B$，代入∠B的数值可直接得到结果，注意不要混淆内心、外心的定义性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
3. 如图①②,在$6 × 6$的正方形网格中,有部分网格线被擦去,点$A,B,C$在格点(正方形网格的交点)上.
(1) 请用无刻度的直尺在图①中找到$△ ABC$的外心$P$.
(2) 请用无刻度的直尺在图②中找到$△ ABC$的内心$Q$.
(1) 请用无刻度的直尺在图①中找到$△ ABC$的外心$P$.
(2) 请用无刻度的直尺在图②中找到$△ ABC$的内心$Q$.
答案
3. (1) 如图①,点 P 即为所求. (2) 如图②,点 Q 即为所求.
（第3题图：网格图①标注点P，网格图②标注点Q）
（第3题图：网格图①标注点P，网格图②标注点Q）
解析
【分析】
要解决这道网格无刻度直尺作图题，首先要紧扣两个核心概念的定义：三角形外心是三边垂直平分线的交点，三角形内心是三个内角角平分线的交点。
第(1)问：先观察△ABC的边的特征，AB是水平线段，BC是竖直线段，我们可以先分别构造出AB的垂直平分线、BC的垂直平分线，两条线的交点自然就是外心。利用网格自带的等距、直角属性，不需要测量长度，仅通过连接对应格点就能画出两条垂直平分线，得到交点P。
第(2)问：首先∠ABC是直角，它的角平分线是和AB、BC夹角都为45°的线段，沿网格对角线方向就能画出这条角平分线；再利用网格的等距性质构造出∠BAC的角平分线，两条角平分线的交点就是内心Q。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 利用网格格点连线，找到水平线段AB的中点，画出过该中点的竖直线，也就是AB的垂直平分线；
② 利用网格格点连线，找到竖直线段BC的中点，画出过该中点的水平线，也就是BC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心，标注该点为P即可。
(2) 作图步骤：
① 从点B出发，沿网格对角线方向连线，得到直角∠ABC的45°角平分线；
② 利用网格构造等距线段，画出∠BAC的角平分线；
③ 两条角平分线的交点就是△ABC的内心，标注该点为Q即可。
【答案】
(1) 图①中两条边垂直平分线的交点P即为所求外心；(2) 图②中两条内角角平分线的交点Q即为所求内心，标注位置符合几何定义要求即可。
【知识点】
三角形外心，三角形内心，网格无刻度作图
【点评】
本题是典型的网格几何作图题，不需要进行长度测量，仅依托网格自带的平行、等距、直角属性，结合外心、内心的定义完成作图，既考察了学生对两个特殊点的概念本质的理解，也锻炼了学生利用网格特征构造几何线的作图技巧。
【难度系数】
0.4
要解决这道网格无刻度直尺作图题，首先要紧扣两个核心概念的定义：三角形外心是三边垂直平分线的交点，三角形内心是三个内角角平分线的交点。
第(1)问：先观察△ABC的边的特征，AB是水平线段，BC是竖直线段，我们可以先分别构造出AB的垂直平分线、BC的垂直平分线，两条线的交点自然就是外心。利用网格自带的等距、直角属性，不需要测量长度，仅通过连接对应格点就能画出两条垂直平分线，得到交点P。
第(2)问：首先∠ABC是直角，它的角平分线是和AB、BC夹角都为45°的线段，沿网格对角线方向就能画出这条角平分线；再利用网格的等距性质构造出∠BAC的角平分线，两条角平分线的交点就是内心Q。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 利用网格格点连线，找到水平线段AB的中点，画出过该中点的竖直线，也就是AB的垂直平分线；
② 利用网格格点连线，找到竖直线段BC的中点，画出过该中点的水平线，也就是BC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心，标注该点为P即可。
(2) 作图步骤：
① 从点B出发，沿网格对角线方向连线，得到直角∠ABC的45°角平分线；
② 利用网格构造等距线段，画出∠BAC的角平分线；
③ 两条角平分线的交点就是△ABC的内心，标注该点为Q即可。
【答案】
(1) 图①中两条边垂直平分线的交点P即为所求外心；(2) 图②中两条内角角平分线的交点Q即为所求内心，标注位置符合几何定义要求即可。
【知识点】
三角形外心，三角形内心，网格无刻度作图
【点评】
本题是典型的网格几何作图题，不需要进行长度测量，仅依托网格自带的平行、等距、直角属性，结合外心、内心的定义完成作图，既考察了学生对两个特殊点的概念本质的理解，也锻炼了学生利用网格特征构造几何线的作图技巧。
【难度系数】
0.4
4. 易错题 已知$△ ABC$的外心为点$O$,内心为点$I$,$∠ BOC=120^{ \circ }$,则$∠ BIC$的度数为 （
A.$120^{ \circ }$
B.$130^{ \circ }$
C.$120^{ \circ }$或$150^{ \circ }$
D.$130^{ \circ }$或$150^{ \circ }$
C
）A.$120^{ \circ }$
B.$130^{ \circ }$
C.$120^{ \circ }$或$150^{ \circ }$
D.$130^{ \circ }$或$150^{ \circ }$
答案
如图①,当∠A是锐角时,
∵ 点O为△ABC的外心,∠BOC=120°,
∴ 易得∠A=60°.
∴ ∠ABC+∠ACB=120°.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ 易得∠IBC+∠ICB=60°.
∴ ∠BIC=120°.如图②,当∠A是钝角时,
∵ ∠BOC=120°,
∴ 易得∠A=120°.
∴ ∠ABC+∠ACB=60°.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ 易得∠IBC+∠ICB=30°.
∴ ∠BIC=150°.综上所述,∠BIC的度数为120°或150°.
∵ 点O为△ABC的外心,∠BOC=120°,
∴ 易得∠A=60°.
∴ ∠ABC+∠ACB=120°.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ 易得∠IBC+∠ICB=60°.
∴ ∠BIC=120°.如图②,当∠A是钝角时,
∵ ∠BOC=120°,
∴ 易得∠A=120°.
∴ ∠ABC+∠ACB=60°.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ 易得∠IBC+∠ICB=30°.
∴ ∠BIC=150°.综上所述,∠BIC的度数为120°或150°.
解析
$＜[MASK_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[bou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD54_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOGP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜doubao_withdraw＞＜[PLHD67_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD97_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD93_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SEP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD65_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD88_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD86_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|FCResponseEnd|$＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD76_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[bou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD88_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜doubaothinking_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜/RichMediaShow＞＜[PLHD65_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD70_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD62_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SOGP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/think_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[bou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD76_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/answer_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜/parameter_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD88_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[botu_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD65_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜hiddenthink＞＜[PLHD62_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD79_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD57_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD92_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜hiddenthink＞＜[audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD82_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$
5. 如图,点$I$为$△ ABC$的内心,连接$AI$并延长,交$△ ABC$的外接圆于点$D$,$AI=2CD$,$E$为$AC$的中点,连接$EI$,$IC$.若$IC=6$,$ID=5$,则$IE$的长为
4
.答案
如图,延长ID至点M,使DM=ID,连接CM,则IM=2ID=10.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ ∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵ $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠BAD=∠BCD,即∠IAB=∠BCD.
∴ ∠IAC=∠IAB=∠BCD.
∵ ∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,
∴ ∠DIC=∠DCI.
∴ ID=CD.
∵ DM=ID,
∴ ID=CD=DM=5.
∴ 易得∠ICM=90°.
∴ $CM=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∵ AI=2CD,
∴ AI=10.
∴ AI=IM.又
∵ E为AC的中点,
∴ IE为△ACM的中位线.
∴ $IE=\frac{1}{2}CM=4$.
∵ 点I为△ABC的内心,
∴ ∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵ $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠BAD=∠BCD,即∠IAB=∠BCD.
∴ ∠IAC=∠IAB=∠BCD.
∵ ∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,
∴ ∠DIC=∠DCI.
∴ ID=CD.
∵ DM=ID,
∴ ID=CD=DM=5.
∴ 易得∠ICM=90°.
∴ $CM=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∵ AI=2CD,
∴ AI=10.
∴ AI=IM.又
∵ E为AC的中点,
∴ IE为△ACM的中位线.
∴ $IE=\frac{1}{2}CM=4$.
解析
【分析】
这道题的解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先看到点I是△ABC的内心，立刻联想到内心是三角形三条角平分线的交点，可得AI平分∠BAC，CI平分∠ACB。
2. 要推导线段的等量关系，结合AD是外接圆的弦，利用同弧所对的圆周角相等，将∠BAD转化为∠BCD，通过角的和差推导∠DIC=∠DCI，得到ID=CD这个经典结论，这是解题的关键第一步。
3. 结合已知条件AI=2CD，代入CD=ID=5，可算出AI=10，发现AI=2ID，此时想到构造辅助线：延长ID到M使DM=ID，得到IM=10=AI，同时因为CD=ID=DM，可推出△ICM是直角三角形，用勾股定理算出CM的长度。
4. 最后结合E是AC中点，I是AM中点，直接利用三角形中位线的性质，得到IE是△ACM的中位线，即可求出IE的长度。
【解析】
延长ID至点M，使DM=ID，连接CM：
① 由点I为△ABC的内心，可得：
∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB。
② 根据同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆周角∠BAD=∠BCD，即∠IAB=∠BCD，因此∠IAC=∠BCD。
③ 由角的和差关系：
∠DIC = ∠IAC + ∠ICA，
∠DCI = ∠BCD + ∠ICB，
代入等量关系可得∠DIC=∠DCI，因此ID=CD。
已知ID=5，故CD=5，又DM=ID，因此ID=CD=DM=5，IM=ID+DM=10。
④ 根据直角三角形的判定：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形，CD是IM边上的中线且CD=$\frac{1}{2}$IM，因此∠ICM=90°。
在Rt△ICM中，IC=6，IM=10，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{IM^2 - IC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
⑤ 已知AI=2CD，代入CD=5得AI=10，因此AI=IM=10，即I是AM的中点。
又E为AC的中点，因此IE是△ACM的中位线，根据中位线性质：
$IE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形内心与外接圆结合的经典几何综合题，核心考点是内心相关的DB=DI=DC的常用结论，通过倍长线段构造中位线实现线段的转化，既考察了角的等量推导能力，也考察了辅助线构造的几何转化思维，是填空类几何压轴的典型题型。
【难度系数】
0.3
这道题的解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先看到点I是△ABC的内心，立刻联想到内心是三角形三条角平分线的交点，可得AI平分∠BAC，CI平分∠ACB。
2. 要推导线段的等量关系，结合AD是外接圆的弦，利用同弧所对的圆周角相等，将∠BAD转化为∠BCD，通过角的和差推导∠DIC=∠DCI，得到ID=CD这个经典结论，这是解题的关键第一步。
3. 结合已知条件AI=2CD，代入CD=ID=5，可算出AI=10，发现AI=2ID，此时想到构造辅助线：延长ID到M使DM=ID，得到IM=10=AI，同时因为CD=ID=DM，可推出△ICM是直角三角形，用勾股定理算出CM的长度。
4. 最后结合E是AC中点，I是AM中点，直接利用三角形中位线的性质，得到IE是△ACM的中位线，即可求出IE的长度。
【解析】
延长ID至点M，使DM=ID，连接CM：
① 由点I为△ABC的内心，可得：
∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB。
② 根据同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆周角∠BAD=∠BCD，即∠IAB=∠BCD，因此∠IAC=∠BCD。
③ 由角的和差关系：
∠DIC = ∠IAC + ∠ICA，
∠DCI = ∠BCD + ∠ICB，
代入等量关系可得∠DIC=∠DCI，因此ID=CD。
已知ID=5，故CD=5，又DM=ID，因此ID=CD=DM=5，IM=ID+DM=10。
④ 根据直角三角形的判定：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形，CD是IM边上的中线且CD=$\frac{1}{2}$IM，因此∠ICM=90°。
在Rt△ICM中，IC=6，IM=10，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{IM^2 - IC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
⑤ 已知AI=2CD，代入CD=5得AI=10，因此AI=IM=10，即I是AM的中点。
又E为AC的中点，因此IE是△ACM的中位线，根据中位线性质：
$IE=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形内心与外接圆结合的经典几何综合题，核心考点是内心相关的DB=DI=DC的常用结论，通过倍长线段构造中位线实现线段的转化，既考察了角的等量推导能力，也考察了辅助线构造的几何转化思维，是填空类几何压轴的典型题型。
【难度系数】
0.3
6. ⭐ 如图,在等腰三角形 $ABC$ 中, $AC=BC$, $AD$ 是边 $BC$ 上的高, $\odot E$ 是 $△ ACD$ 的内切圆,分别与边 $AD,CD,AC$ 相切于点 $F,G,I$.
(1) 求证:$AF=BG$.
(2) 过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于点 $H$,试探究 $EH$ 与 $AB$ 之间的数量关系,并说明理由.
(1) 求证:$AF=BG$.
(2) 过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于点 $H$,试探究 $EH$ 与 $AB$ 之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1)
∵ ⊙E是△ACD的内切圆,F,G,I是切点,
∴ CI=CG,AI=AF.
∵ AC=BC,
∴ AC−CI=BC−CG,即AI=BG.
∴ AF=BG.
(2) $EH=\frac{1}{2}AB$. 理由:如图,连接AE,BE,CE.
∵ ⊙E是△ACD的内切圆,
∴ CE平分∠ACD.
∴ ∠ACE=∠DCE,即∠ACE=∠BCE. 在△ACE 和 △BCE 中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCE,\\CE=CE,\end{cases}$
∴ △ACE≌△BCE(SAS).
∴ ∠AEC=∠BEC,AE=BE.
∵ ⊙E是△ACD的内切圆,
∴ $∠ACE=∠DCE=\frac{1}{2}∠ACD,∠CAE=∠FAE=\frac{1}{2}∠CAD$.
∴ $∠AEC=180°-(∠ACE+∠CAE)=180°-\frac{1}{2}(∠ACD+∠CAD).$
∵ ∠ACD+∠CAD=180°−∠ADC,∠ADC=90°,
∴ $∠AEC=180°-\frac{1}{2}×(180°-90°)=135°$.
∴ ∠BEC=135°.
∴ ∠AEB=360°−∠AEC−∠BEC=360°−135°−135°=90°.
又
∵ AE=BE,
∴ △ABE为等腰直角三角形.
∵ EH⊥AB,
∴ AH=BH.即H为AB的中点.
∴ $EH=\frac{1}{2}AB$.
解析
【分析】
(1) 要证明AF=BG，可利用三角形内切圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。已知⊙E是△ACD的内切圆，可直接得到AF=AI、CI=CG，再结合已知AC=BC，对两条边同时减去相等的线段CI、CG，即可推出AI=BG，通过等量代换就能得到AF=BG。
(2) 探究EH和AB的数量关系，首先连接AE、BE、CE，利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点的性质，得到CE平分∠ACB，结合AC=BC、公共边CE，用SAS证明△ACE≌△BCE，得到AE=BE且∠AEC=∠BEC；接下来在Rt△ACD中，∠ADC=90°，可得∠ACD+∠CAD=90°，结合E是内心，CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，可算出∠AEC=135°，进而得到∠BEC=135°，推出∠AEB=90°，即△ABE是等腰直角三角形，EH是斜边AB上的高，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即可得到EH和AB的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ ⊙E是△ACD的内切圆，F、G、I是切点，
∴ 由切线长定理可得：CI=CG，AI=AF。
又
∵ AC=BC，
∴ AC - CI = BC - CG，即AI = BG，
∴ AF = BG。
(2) 解：$EH=\frac{1}{2}AB$，理由如下：
连接AE、BE、CE，
∵ ⊙E是△ACD的内切圆，
∴ E是△ACD的内心，CE平分∠ACD，即∠ACE=∠DCE。
在△ACE和△BCE中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACE=∠BCE \\CE=CE\end{cases}$
∴ △ACE≌△BCE(SAS)，
∴ ∠AEC=∠BEC，AE=BE。
∵ E是△ACD的内心，
∴ ∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴ ∠AEC = 180° - (∠ACE + ∠CAE) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠CAD)。
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD + ∠CAD = 180° - ∠ADC = 90°，
代入得：∠AEC = 180° - $\frac{1}{2}×90°$ = 135°，
∴ ∠BEC = ∠AEC = 135°，
∴ ∠AEB = 360° - ∠AEC - ∠BEC = 360° - 135° - 135° = 90°，
又
∵ AE=BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∵ EH⊥AB，由等腰三角形三线合一可知H是AB中点，
∴ EH是等腰直角△ABE斜边AB上的中线，
∴ $EH=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $EH=\frac{1}{2}AB$，理由如上。
【知识点】
切线长定理，全等三角形SAS判定，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是三角形内切圆与等腰三角形结合的几何综合题，第一问难度较低，直接利用切线长定理即可完成等量代换证明结论；第二问需要主动构造辅助线，活用三角形内心是内角平分线交点的性质，通过全等推导角度得到等腰直角三角形，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求，能有效考察学生对多个几何核心知识点的串联运用能力。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明AF=BG，可利用三角形内切圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。已知⊙E是△ACD的内切圆，可直接得到AF=AI、CI=CG，再结合已知AC=BC，对两条边同时减去相等的线段CI、CG，即可推出AI=BG，通过等量代换就能得到AF=BG。
(2) 探究EH和AB的数量关系，首先连接AE、BE、CE，利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点的性质，得到CE平分∠ACB，结合AC=BC、公共边CE，用SAS证明△ACE≌△BCE，得到AE=BE且∠AEC=∠BEC；接下来在Rt△ACD中，∠ADC=90°，可得∠ACD+∠CAD=90°，结合E是内心，CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，可算出∠AEC=135°，进而得到∠BEC=135°，推出∠AEB=90°，即△ABE是等腰直角三角形，EH是斜边AB上的高，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即可得到EH和AB的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ ⊙E是△ACD的内切圆，F、G、I是切点，
∴ 由切线长定理可得：CI=CG，AI=AF。
又
∵ AC=BC，
∴ AC - CI = BC - CG，即AI = BG，
∴ AF = BG。
(2) 解：$EH=\frac{1}{2}AB$，理由如下：
连接AE、BE、CE，
∵ ⊙E是△ACD的内切圆，
∴ E是△ACD的内心，CE平分∠ACD，即∠ACE=∠DCE。
在△ACE和△BCE中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACE=∠BCE \\CE=CE\end{cases}$
∴ △ACE≌△BCE(SAS)，
∴ ∠AEC=∠BEC，AE=BE。
∵ E是△ACD的内心，
∴ ∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴ ∠AEC = 180° - (∠ACE + ∠CAE) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠CAD)。
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD + ∠CAD = 180° - ∠ADC = 90°，
代入得：∠AEC = 180° - $\frac{1}{2}×90°$ = 135°，
∴ ∠BEC = ∠AEC = 135°，
∴ ∠AEB = 360° - ∠AEC - ∠BEC = 360° - 135° - 135° = 90°，
又
∵ AE=BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∵ EH⊥AB，由等腰三角形三线合一可知H是AB中点，
∴ EH是等腰直角△ABE斜边AB上的中线，
∴ $EH=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $EH=\frac{1}{2}AB$，理由如上。
【知识点】
切线长定理，全等三角形SAS判定，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是三角形内切圆与等腰三角形结合的几何综合题，第一问难度较低，直接利用切线长定理即可完成等量代换证明结论；第二问需要主动构造辅助线，活用三角形内心是内角平分线交点的性质，通过全等推导角度得到等腰直角三角形，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求，能有效考察学生对多个几何核心知识点的串联运用能力。
【难度系数】
0.4
