【例题】“今有物不知其数，三三数剩二，五五数剩三，七七数剩二，问物几何？”意思是有一堆物品，三个三个地数剩下两个，五个五个地数剩下三个，七个七个地数剩下两个。问：这堆物品最少有多少个？
【分析】
设最少有 $ a $ 个物品，$ a ÷ 3 = b ··· ··· 2 $；$ a ÷ 5 = c ··· ··· 3 $；$ a ÷ 7 = d ··· ··· 2 $，分析可以得到 3 个 3 个地数和 7 个 7 个地数余下的数是一样的，所以可以求 3 和 7 的最小公倍数为 21。则 $ a ÷ 21 = e ··· ··· 2 $；$ a ÷ 5 = c ··· ··· 3 $，两个算式之间没有关联，就要优先满足除数较大的算式（列出符合条件的数），$ a ÷ 21 = e ··· ··· 2 $，得 $ a = 23 $、44、65……同时满足两个算式的数为 $ a = 23 + [5, 21] × k (k = 0、1、2、···) $，要求 $ a $ 最小的数，则 $ k = 0 $。
【解答】

$a÷ 3 = b······ 2$；$a÷ 5 = c······ 3$；$a÷ 7 = d······ 2$
$a = 23 + [5, 21]× k(k = 0、1、2、···)$，当$k = 0$时，$a = 23$。

1. 甲、乙、丙三人有相同数量的糖果，甲把 6 个糖果放一堆，多出若干个；乙把 7 个糖果放一堆，多出若干个；丙把 8 个糖果放一堆，多出若干个；三人多出的糖果和是 18 个。每人拥有的糖果数最少是多少？

1. 设每人拥有$a$个糖果。
$18 = 5 + 6 + 7$
$6 - 5 = 7 - 6 = 8 - 7 = 1$
$a + 1 = [6, 7, 8]× k(k = 1、2、3、···)$
$a = [6, 7, 8]× k - 1(k = 1、2、3、···)$
$a = 168× 1 - 1 = 167$
答：每人拥有的糖果数最少是 167 个。

2. 小海同学打算在假期里做完一本有 150 多道题的练习册，如果每天做 7 道题，最后一天剩 3 道题；如果每天做 9 道题，最后一天剩 1 道题。请问这本练习册一共有多少道题？

2. 设这本练习册有$a$道题。
$a÷ 7 = b······ 3$，$a÷ 9 = c······ 1$，可变为$a÷ 7 = b - 1······ 10$，$a÷ 9 = c - 1······ 10$，此时余数相同，可以转化为同余问题：$(a - 10)÷ 7 = b - 1$，
$(a - 10)÷ 9 = c - 1$，$a - 10 = [7, 9]× k(k = 0、1、2、···)$，则$a = [7, 9]× k + 10(k = 0、1、2、···)$，已知练习册有 150 多道题，所以$150 ＜ a ＜ 200$，得到$a = 63× 3 + 10 = 199$。
答：这本练习册一共有 199 道题。

3. 小钱买了一堆饼干（多于 20 块），如果她每天吃 5 块，最后一天还剩下 1 块；如果她每天吃 9 块，最后一天还剩下 2 块。每块饼干 2 元，小钱至少花了多少钱？

3. 设小钱买了$a$块饼干。
$5 + 5 + 1 = 9 + 2 = 11$
$a - 11 = [5, 9]× k(k = 0、1、2、···)$
$a = [5, 9]× k + 11(k = 0、1、2、···)$
$a ＞ 20\quad a = 45× 1 + 11 = 56$
$2× 56 = 112$（元）
答：小钱至少花了 112 元。
提示：设小钱买了$a$块饼干，$a÷ 5 = b······ 1$，$a÷ 9 = c······ 2$，这两个除法算式看似没有关联，但将$a÷ 5 = b······ 1$变为$a÷ 5 = b - 1······ 6$后可以发现两个算式除数和余数加起来都是 11，再让余数都转化为 11，则$a - 11$是 5 和 9 的公倍数，$a = [5, 9]× k + 11(k = 0、1、2、···)$。因为$a ＞ 20$且要最小，所以$k = 1$，得到$a = 45× 1 + 11 = 56$，小钱至少花了$2× 56 = 112$（元）。

4. 一个数除以 7 余 1，除以 8 余 3，除以 9 余 5。这个数最小是多少？

4. 设这个数是$a$。
$a÷ 7 = b······ 1\quad a÷ 8 = c······ 3\quad a÷ 9 = d······ 5$
$7 + 6 = 8 + 5 = 9 + 4 = 13$
$a + 13 = [7, 8, 9]× k(k = 1、2、···)$
$a = [7, 8, 9]× k - 13(k = 1、2、···)$
$k = 1$时，$a = 504 - 13 = 491$。
答：这个数最小是 491。
提示：设这个数是$a$，如图：

3 个算式看似没有关联，但它们的除数与余数的差加上除数都是 13，被除数加上 13 就能被整除，则$a + 13$是 7、8、9 的公倍数，$a = [7, 8, 9]× k - 13(k = 1、2、···)$。当$k = 1$时，得到$a$的最小值为$504 - 13 = 491$。