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14.规定用符号$[m]$表示一个实数$m$的整数部分，例如$[\dfrac{2}{3}]=0$，$[3.14]=3$，则$[\sqrt{10}]$的值为
3
。答案
14.3
解析
【分析】
解题时首先要理解新定义符号$[m]$的含义：$[m]$表示的是小于等于实数$m$的最大整数，也就是$m$的整数部分。要求$[\sqrt{10}]$，首先需要估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻的整数之间，再结合新定义就能求出结果。
【解析】
首先找与10相邻的两个完全平方数：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore$ 对三个数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
根据$[m]$的定义，$\sqrt{10}$的整数部分为3，因此$[\sqrt{10}]=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、无理数的估算、算术平方根的性质
【点评】
本题考查对新定义的理解和基础运算能力，解题核心是用夹逼法确定无理数的取值范围，再结合新定义规则求解，是对基础概念的灵活考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解新定义符号$[m]$的含义：$[m]$表示的是小于等于实数$m$的最大整数，也就是$m$的整数部分。要求$[\sqrt{10}]$，首先需要估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻的整数之间，再结合新定义就能求出结果。
【解析】
首先找与10相邻的两个完全平方数：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore$ 对三个数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
根据$[m]$的定义，$\sqrt{10}$的整数部分为3，因此$[\sqrt{10}]=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、无理数的估算、算术平方根的性质
【点评】
本题考查对新定义的理解和基础运算能力，解题核心是用夹逼法确定无理数的取值范围，再结合新定义规则求解，是对基础概念的灵活考查。
【难度系数】
0.8
15.某正数的两个不相等的平方根分别是$a-2$和$18+a$,则$a$为
-8
.答案
15.-8
解析
【分析】
解题的核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0，因此我们可以根据这个性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵ 正数的两个不相等的平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$(a-2)+(18+a)=0$
去括号得：$a-2+18+a=0$
合并同类项得：$2a+16=0$
移项得：$2a=-16$
系数化为1得：$a=-8$
【答案】
-8
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，只要熟练掌握正数平方根的性质，就能快速建立方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0，因此我们可以根据这个性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵ 正数的两个不相等的平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$(a-2)+(18+a)=0$
去括号得：$a-2+18+a=0$
合并同类项得：$2a+16=0$
移项得：$2a=-16$
系数化为1得：$a=-8$
【答案】
-8
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，只要熟练掌握正数平方根的性质，就能快速建立方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
三、综合运用
16.(1)已知一个正数的两个平方根是$m+3$和$2m-15$，这个正数是多少？
(2)实数$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{3}$，求代数式$x^2 + \sqrt{a+b+4} - \sqrt[3]{27cd}$的值。
16.(1)已知一个正数的两个平方根是$m+3$和$2m-15$，这个正数是多少？
(2)实数$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{3}$，求代数式$x^2 + \sqrt{a+b+4} - \sqrt[3]{27cd}$的值。
答案
解:(1)
∵ m+3 和 2m-15 是同一个正数的两个平方根，
∴ (m+3)+(2m-15)=0,解得 m=4，
∴ 这个正数是$(m+3)^2=49$.
(2)由题意可得 a+b=0,cd=1,x=±√3，
则原式=3+2-3=2.
∵ m+3 和 2m-15 是同一个正数的两个平方根，
∴ (m+3)+(2m-15)=0,解得 m=4，
∴ 这个正数是$(m+3)^2=49$.
(2)由题意可得 a+b=0,cd=1,x=±√3，
则原式=3+2-3=2.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0。先根据两个平方根的和为0列方程求出m的值，再将m代入任意一个平方根，将结果平方即可得到这个正数。
(2) 解题思路：先根据对应概念提取数量关系：互为相反数的两个数和为0，因此a+b=0；互为倒数的两个数乘积为1，因此cd=1；绝对值为√3的数x，平方后等于(√3)²=3。再将这些值整体代入代数式，按照先乘方、开方，后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1)
∵ m+3 和 2m-15 是同一个正数的两个平方根，
∴ 二者互为相反数，即$(m+3)+(2m-15)=0$，
整理得$3m-12=0$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$m+3$得其中一个平方根为$4+3=7$，
∴ 这个正数是$7^2=49$。
(2) 由题意可得：
∵ a，b互为相反数，
∴ $a+b=0$，
∵ c，d互为倒数，
∴ $cd=1$，
∵ x的绝对值为$\sqrt{3}$，
∴ $x^2=(\pm\sqrt{3})^2=3$，
将上述值代入代数式：
原式$=3+\sqrt{0+4}-\sqrt[3]{27×1}$
$=3+\sqrt{4}-\sqrt[3]{27}$
$=3+2-3$
$=2$
【答案】
(1) 49；(2) 2
【知识点】
平方根的性质；相反数与倒数的性质；实数的混合运算
【点评】
本题侧重基础概念的理解与应用，解题核心是熟练掌握平方根、相反数、倒数、绝对值的相关性质，计算时运用整体代入的思路可简化运算过程，是对基础代数概念的常规考察。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先明确正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0。先根据两个平方根的和为0列方程求出m的值，再将m代入任意一个平方根，将结果平方即可得到这个正数。
(2) 解题思路：先根据对应概念提取数量关系：互为相反数的两个数和为0，因此a+b=0；互为倒数的两个数乘积为1，因此cd=1；绝对值为√3的数x，平方后等于(√3)²=3。再将这些值整体代入代数式，按照先乘方、开方，后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1)
∵ m+3 和 2m-15 是同一个正数的两个平方根，
∴ 二者互为相反数，即$(m+3)+(2m-15)=0$，
整理得$3m-12=0$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$m+3$得其中一个平方根为$4+3=7$，
∴ 这个正数是$7^2=49$。
(2) 由题意可得：
∵ a，b互为相反数，
∴ $a+b=0$，
∵ c，d互为倒数，
∴ $cd=1$，
∵ x的绝对值为$\sqrt{3}$，
∴ $x^2=(\pm\sqrt{3})^2=3$，
将上述值代入代数式：
原式$=3+\sqrt{0+4}-\sqrt[3]{27×1}$
$=3+\sqrt{4}-\sqrt[3]{27}$
$=3+2-3$
$=2$
【答案】
(1) 49；(2) 2
【知识点】
平方根的性质；相反数与倒数的性质；实数的混合运算
【点评】
本题侧重基础概念的理解与应用，解题核心是熟练掌握平方根、相反数、倒数、绝对值的相关性质，计算时运用整体代入的思路可简化运算过程，是对基础代数概念的常规考察。
【难度系数】
0.8
17.计算：
(1)$\sqrt{2}(3-\sqrt{2})+\sqrt{2^2}$；
(2)$\sqrt{9}-\sqrt[3]{64}+|\sqrt{2}-3|$；
(3)
(1)$\sqrt{2}(3-\sqrt{2})+\sqrt{2^2}$；
(2)$\sqrt{9}-\sqrt[3]{64}+|\sqrt{2}-3|$；
(3)
答案
解:(1)原式=$3\sqrt{2}-2+2=3\sqrt{2}$.
(2)原式=3-4+(3-√2)
=3-4+3-√2
=2-√2.
(3)原式=$-5-\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{1}{64}}+\frac{2}{3}$
=$-5-\frac{5}{3}+\frac{1}{8}+\frac{2}{3}$
=$-6\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=-\frac{47}{8}$.
(2)原式=3-4+(3-√2)
=3-4+3-√2
=2-√2.
(3)原式=$-5-\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{1}{64}}+\frac{2}{3}$
=$-5-\frac{5}{3}+\frac{1}{8}+\frac{2}{3}$
=$-6\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=-\frac{47}{8}$.
解析
【分析】
本题为实数的混合运算题，解题遵循“先化简各运算项，再按四则运算顺序计算”的思路：
1. 先单独处理每一项的运算：包括二次根式乘法、算术平方根化简、立方根化简、去绝对值符号，去绝对值前需先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；
2. 所有项化简完成后，再合并同类项或进行分数加减运算，运算过程中注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先利用乘法分配律展开，再化简算术平方根：
原式=$3\sqrt{2} - \sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2^2}$
=$3\sqrt{2} -2 +2$
=$3\sqrt{2}$
(2) 分别化简算术平方根、立方根，再去绝对值：
因为$\sqrt{2}＜3$，所以$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$
原式=$3 - 4 + (3-\sqrt{2})$
=$3-4+3-\sqrt{2}$
=$2-\sqrt{2}$
(3) 分别化简立方根、算术平方根：
$\sqrt[3]{-125}=-5$，$\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$，$\sqrt{(\frac{1}{4})^3}=\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}$，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$
原式=$-5 - \frac{5}{3} + \frac{1}{8} + \frac{2}{3}$
=$-5 + (-\frac{5}{3}+\frac{2}{3}) + \frac{1}{8}$
=$-5 -1 + \frac{1}{8}$
=$-6 + \frac{1}{8}$
=$-\frac{48}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{47}{8}$
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$2-\sqrt{2}$；(3)$-\dfrac{47}{8}$
【知识点】
实数运算；二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查各类根式的化简规则、去绝对值的方法，计算时要注意符号判断，尤其是立方根的正负性、绝对值去符号时的变形，分数运算要注意通分合并，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
本题为实数的混合运算题，解题遵循“先化简各运算项，再按四则运算顺序计算”的思路：
1. 先单独处理每一项的运算：包括二次根式乘法、算术平方根化简、立方根化简、去绝对值符号，去绝对值前需先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；
2. 所有项化简完成后，再合并同类项或进行分数加减运算，运算过程中注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先利用乘法分配律展开，再化简算术平方根：
原式=$3\sqrt{2} - \sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2^2}$
=$3\sqrt{2} -2 +2$
=$3\sqrt{2}$
(2) 分别化简算术平方根、立方根，再去绝对值：
因为$\sqrt{2}＜3$，所以$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$
原式=$3 - 4 + (3-\sqrt{2})$
=$3-4+3-\sqrt{2}$
=$2-\sqrt{2}$
(3) 分别化简立方根、算术平方根：
$\sqrt[3]{-125}=-5$，$\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$，$\sqrt{(\frac{1}{4})^3}=\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}$，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$
原式=$-5 - \frac{5}{3} + \frac{1}{8} + \frac{2}{3}$
=$-5 + (-\frac{5}{3}+\frac{2}{3}) + \frac{1}{8}$
=$-5 -1 + \frac{1}{8}$
=$-6 + \frac{1}{8}$
=$-\frac{48}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{47}{8}$
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$2-\sqrt{2}$；(3)$-\dfrac{47}{8}$
【知识点】
实数运算；二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查各类根式的化简规则、去绝对值的方法，计算时要注意符号判断，尤其是立方根的正负性、绝对值去符号时的变形，分数运算要注意通分合并，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
18.求$x$的值:
(1)$4x^2 -49=0(x＜0)$;
(2)$(3x-2)^3=-216$.
(1)$4x^2 -49=0(x＜0)$;
(2)$(3x-2)^3=-216$.
答案
解:(1)原方程移项可得 $4x^2=49,x^2=\frac{49}{4}$,
$x=±\frac{7}{2}$,由于 x＜0,则 $x=-\frac{7}{2}$.
(2)原方程变形可得$(3x-2)^3=(-6)^3$,
则 3x-2=-6，
移项、合并同类项得 3x=-4，
系数化为 1,得 $x=-\frac{4}{3}$.
$x=±\frac{7}{2}$,由于 x＜0,则 $x=-\frac{7}{2}$.
(2)原方程变形可得$(3x-2)^3=(-6)^3$,
则 3x-2=-6，
移项、合并同类项得 3x=-4，
系数化为 1,得 $x=-\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
第(1)题是含平方的一元二次方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1得到$x^2$的取值，再根据平方根的定义求出x的所有可能值，最后结合$x＜0$的限制条件筛选出符合要求的解；第(2)题是含立方的方程，根据立方根唯一的性质，直接对等式两边开立方，将方程转化为常见的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
(1) 对原方程移项可得：$4x^2=49$，
系数化为1得：$x^2=\frac{49}{4}$，
根据平方根的定义，$x=\pm\frac{7}{2}$，
由于题目要求$x＜0$，因此舍去正根，得$x=-\frac{7}{2}$。
(2) 因为$-216=(-6)^3$，原方程可变形为：$(3x-2)^3=(-6)^3$，
根据立方根的唯一性，两边同时开立方得：$3x-2=-6$，
移项、合并同类项得：$3x=-4$，
系数化为1得：$x=-\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$x=-\frac{7}{2}$；(2)$x=-\frac{4}{3}$
【知识点】
平方根运算、立方根性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于解方程类基础题，核心考察平方根、立方根的性质应用，解题时要注意平方根有两个互为相反数的结果，需结合题干限制条件取舍，立方根结果唯一，开立方后直接转化为一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
第(1)题是含平方的一元二次方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1得到$x^2$的取值，再根据平方根的定义求出x的所有可能值，最后结合$x＜0$的限制条件筛选出符合要求的解；第(2)题是含立方的方程，根据立方根唯一的性质，直接对等式两边开立方，将方程转化为常见的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
(1) 对原方程移项可得：$4x^2=49$，
系数化为1得：$x^2=\frac{49}{4}$，
根据平方根的定义，$x=\pm\frac{7}{2}$，
由于题目要求$x＜0$，因此舍去正根，得$x=-\frac{7}{2}$。
(2) 因为$-216=(-6)^3$，原方程可变形为：$(3x-2)^3=(-6)^3$，
根据立方根的唯一性，两边同时开立方得：$3x-2=-6$，
移项、合并同类项得：$3x=-4$，
系数化为1得：$x=-\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$x=-\frac{7}{2}$；(2)$x=-\frac{4}{3}$
【知识点】
平方根运算、立方根性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于解方程类基础题，核心考察平方根、立方根的性质应用，解题时要注意平方根有两个互为相反数的结果，需结合题干限制条件取舍，立方根结果唯一，开立方后直接转化为一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
