3. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上.请按下列要求完成作图：

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A₁B₁C₁；
(2)画出△ABC关于直线MN对称得到的△A₂B₂C₂；
(3)画出△ABC绕点C旋转180°得到的△A₃B₃C.

一题多问 例1 如图1,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,点A,B,C的对应点分别是点D,E,F.
(1)若∠DAC=62°,则∠F=；

(2)若BC=6,当AD=2EC时,AD=；

(3)如图2,以点B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,已知点A,C的坐标分别为(3,2),(5,0),若BF=8,则DF=,点D的坐标为.

1. （1）
因为$\triangle ABC$沿射线$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，所以$AD// CF$，$AC// DF$。
由$AD// CF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ACB=\angle DAC = 62^{\circ}$。
又因为$AC// DF$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle F=\angle ACB$。
故$\angle F = 62^{\circ}$。
2. （2）
因为$\triangle ABC$沿射线$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，所以$AD = BE=CF$。
设$AD = x$，则$BE = CF=x$，因为$BC = 6$，所以$EC=6 - x$。
已知$AD = 2EC$，即$x = 2(6 - x)$。
展开方程得$x = 12-2x$。
移项可得$x + 2x=12$，即$3x = 12$。
解得$x = 4$，所以$AD = 4$。
3. （3）
因为$\triangle ABC$沿射线$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，所以$DF = AC$。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，已知$A(3,2)$，$C(5,0)$，则$AC=\sqrt{(5 - 3)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以$DF = 2\sqrt{2}$。
因为$BF = 8$，$BC = 5$（$C$点坐标$(5,0)$，$B$点坐标$(0,0)$），所以平移的距离$BE=CF=BF - BC=8 - 5 = 3$。
因为$A(3,2)$，$\triangle ABC$向右平移$3$个单位得到$\triangle DEF$，根据平移规律“右加左减，上加下减”，点$D$的横坐标为$3 + 3=6$，纵坐标不变为$2$，所以$D(6,2)$。
综上，答案依次为：（1）$62^{\circ}$；（2）$4$；（3）$2\sqrt{2}$，$(6,2)$。

一题多问 例2 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC.
(1)如图1,此时DE//AC,若∠A=35°,则∠BCD的度数为.
(2)如图2,若点A的对应点D落在边CB的延长线上,且AB=8,BC=6,连接AD,求AD的长.


(3)如图3,连接AD和BE,若BC=4,DE=6,求$\frac{AD}{BE}$的值.

$(1)$ 求$\angle BCD$的度数
- 因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle A=35^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A - \angle ABC=180^{\circ}-35^{\circ}-90^{\circ}=55^{\circ}$。
- 由旋转的性质可知$\angle DCE=\angle ACB = 55^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 90^{\circ}$。
- 因为$DE// AC$，所以$\angle ECA=\angle E = 90^{\circ}$。
- 那么$\angle BCD=\angle ECA-\angle ACB-\angle DCE=90^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=20^{\circ}$。
$(2)$ 求$AD$的长
- 解：在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = 6$，$b = 8$），可得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
- 由旋转的性质可知$CD = AC = 10$，所以$BD=CD - BC=10 - 6 = 4$。
- 在$Rt\triangle ABD$中，再根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64 + 16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
$(3)$ 求$\frac{AD}{BE}$的值
- 解：由旋转的性质可知$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，所以$AC = DC$，$BC = EC$，$\angle ACB=\angle DCE$。
- 则$\angle ACB+\angle ACD=\angle DCE+\angle ACD$，即$\angle BCE=\angle ACD$。
- 所以$\triangle ACD∼\triangle BCE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
- 根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$。
- 因为$DE = AB = 6$，$BC = 4$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{36 + 16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
- 所以$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{20^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$；$(3)$$\boldsymbol{\frac{\sqrt{13}}{2}}$。