6. (2025 青海)活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间. 这是数学中的密铺(或镶嵌)问题. 平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？

(1) 请补全上述表格：①；②；③；④.
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为 $1$，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为 $1$ 时，比较正三角形、正方形和正六边形周长的大小.
观察图 1，发现 $\odot O$ 是正三角形 $ABC$ 的内切圆，与 $AC$ 切于点 $D$，$OD ⊥ AD$，$\angle OAD = 30^{\circ}$，$OD = 1$，在 $Rt \triangle ADO$ 中，$AD = \sqrt{3}$，则 $\triangle ABC$ 的周长为 $6\sqrt{3}$.
(2) 如图 2，正方形 $ABCD$ 的周长为；
(3) 如图 3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
(4) 若正多边形的周长都为 $12$，则正三角形的面积为；正方形的面积为；正六边形的面积为.
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.

(1)①90°；②360°÷90°=4；③360°÷135°=8/3；④不能
(2)8
(3)4√3
(4)4√3；9；6√3

(1)①正方形每个内角为90°；②360°÷90°=4；③正八边形360°÷135°=8/3；④不能密铺。
(2)正方形内切圆半径为1，边长=2×1=2，周长=4×2=8。
(3)正六边形内切圆半径为边心距r=1，边心距r=(√3/2)×边长a，得a=2/√3，周长=6×2/√3=4√3。
(4)正三角形周长12，边长4，面积=(√3/4)×4²=4√3；正方形边长3，面积=3²=9；正六边形边长2，面积=6×(√3/4)×2²=6√3。