教材溯源→1.（人教九上 P102）如图，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$AD$和过点$C$的切线互相垂直，垂足为$D$. 求证：$AC$平分$\angle DAB$.

证明：
连接$OC$。
因为$CD$是$O$的切线，
所以$OC⊥ CD$。
又因为$AD⊥ CD$，
根据平行线的判定同，垂直于同一条直线的两条直线平行，
所以$AD// OC$，
所以$\angle DAC = \angle ACO$。
因为$OA = OC$，
所以$\angle ACO = \angle CAO$，
所以$\angle DAC = \angle CAO$，
即$AC$平分$\angle DAB$。

母题变式→2. 如图 1，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$AD⊥ CD$于点$D$，$AC$平分$\angle DAB$.
(1)求证：$DC$是$\odot O$的切线.
(2)如图 2，延长$AB$交直线$DC$于点$E$，连接$BC$. 若$AB=10$，$AD=8$，求$\triangle CBE$的面积.

(1) 证明见上；(2)$\frac{20}{3}$。

(1) 连接 OC。
∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA。
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD。
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD。
∵OC 是⊙O 半径，
∴DC 是⊙O 的切线。
(2)
∵AB=10，
∴OA=OC=5。设 EO=x，
∵OC//AD，
∴△EOC∽△EAD。
∴$\frac{OC}{AD}=\frac{EO}{EA}$，即$\frac{5}{8}=\frac{x}{x+5}$，解得$x=\frac{25}{3}$。
∴EO=$\frac{25}{3}$，EB=EO - OB=$\frac{25}{3}-5=\frac{10}{3}$。
在 Rt△EOC 中，EC=$\sqrt{EO^2 - OC^2}=\sqrt{(\frac{25}{3})^2 - 5^2}=\frac{20}{3}$。
在 Rt△ADE 中，AE=EO + OA=$\frac{40}{3}$，DE=$\sqrt{AE^2 - AD^2}=\sqrt{(\frac{40}{3})^2 - 8^2}=\frac{32}{3}$。
∴DC=DE - EC=$\frac{32}{3}-\frac{20}{3}=4$。
∵OC⊥EC，OC=5，EC=$\frac{20}{3}$，
∴△EOC 面积=$\frac{1}{2}×5×\frac{20}{3}=\frac{50}{3}$。
设点 C 到 BE 的距离为 h，△EOC 面积=$\frac{1}{2}×EO×h=\frac{50}{3}$，即$\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×h=\frac{50}{3}$，解得 h=4。
∴△CBE 面积=$\frac{1}{2}×EB×h=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}×4=\frac{20}{3}$。