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11. 把方程 $(2x + 1)(x - 2)= 5 + 3x$ 整理成一般形式后,得______.
答案
$2x^{2}-6x-7=0$
解析
$(2x + 1)(x - 2)= 5 + 3x$
$2x^{2}-4x+x-2=5+3x$
$2x^{2}-3x-2=5+3x$
$2x^{2}-3x-2-5-3x=0$
$2x^{2}-6x-7=0$
$2x^{2}-4x+x-2=5+3x$
$2x^{2}-3x-2=5+3x$
$2x^{2}-3x-2-5-3x=0$
$2x^{2}-6x-7=0$
12. 已知方程 $3x^{2}-4x - 4 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $______.
答案
$\frac{4}{3}$
解析
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$3x^{2}-4x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b=-4$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}$。
$\frac{4}{3}$
在方程$3x^{2}-4x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b=-4$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}$。
$\frac{4}{3}$
13. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx - 2 = 0(a,b$ 是常数,且 $a \neq 0)$ 的根,则 $2a + 2b= $______.
答案
4
解析
因为$x = 1$是一元二次方程$ax^{2}+bx - 2 = 0$的根，所以将$x = 1$代入方程可得：$a×1^{2}+b×1 - 2 = 0$，即$a + b - 2 = 0$，所以$a + b = 2$。则$2a + 2b = 2(a + b) = 2×2 = 4$。
4
4
14. 若 $a + b + c = 0$ 且 $a \neq 0$,则一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 必有一个根是______.
答案
$x=1$
解析
当$x = 1$时，代入方程$ax^{2}+bx + c$得：$a×1^{2}+b×1 + c = a + b + c$。
因为$a + b + c = 0$，所以$ax^{2}+bx + c = 0$，即$x = 1$是方程的一个根。
$x=1$
因为$a + b + c = 0$，所以$ax^{2}+bx + c = 0$，即$x = 1$是方程的一个根。
$x=1$
15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + b - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $b= $______.
答案
2
解析
解：对于一元二次方程$x^{2}+bx + b - 1 = 0$，$a=1$，$b=b$，$c=b - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^{2}-4ac = 0$。
即$b^{2}-4×1×(b - 1)=0$，
$b^{2}-4b + 4 = 0$，
$(b - 2)^{2}=0$，
解得$b = 2$。
$2$
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^{2}-4ac = 0$。
即$b^{2}-4×1×(b - 1)=0$，
$b^{2}-4b + 4 = 0$，
$(b - 2)^{2}=0$，
解得$b = 2$。
$2$
16. 已知 $3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m + 1)x + 2m = 0$ 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 $\triangle ABC$ 的两条边长,则 $\triangle ABC$ 的周长为______.
答案
10或11
解析
将$x=3$代入方程$x^{2}-(m + 1)x + 2m = 0$，得$3^{2}-3(m + 1)+2m=0$，解得$m=6$。
方程为$x^{2}-7x + 12 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x - 4)=0$，方程的两个根为$x_{1}=3$，$x_{2}=4$。
情况一：等腰$\triangle ABC$的腰长为$3$，底边长为$4$。
$3 + 3＞4$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 4=10$。
情况二：等腰$\triangle ABC$的腰长为$4$，底边长为$3$。
$4 + 4＞3$，能构成三角形，周长为$4 + 4 + 3=11$。
$\triangle ABC$的周长为$10$或$11$。
方程为$x^{2}-7x + 12 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x - 4)=0$，方程的两个根为$x_{1}=3$，$x_{2}=4$。
情况一：等腰$\triangle ABC$的腰长为$3$，底边长为$4$。
$3 + 3＞4$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 4=10$。
情况二：等腰$\triangle ABC$的腰长为$4$，底边长为$3$。
$4 + 4＞3$，能构成三角形，周长为$4 + 4 + 3=11$。
$\triangle ABC$的周长为$10$或$11$。
17. 已知 $x^{2}+3xy - 4y^{2}= 0(y \neq 0)$,则 $\frac{x - y}{x + y}= $______.
答案
0或$\frac{5}{3}$
解析
$\because y\neq 0$，方程两边同除以$y^{2}$得$\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+3\left(\frac{x}{y}\right)-4=0$，
设$t=\frac{x}{y}$，则$t^{2}+3t - 4=0$，
因式分解得$(t + 4)(t - 1)=0$，
解得$t=-4$或$t=1$，即$\frac{x}{y}=-4$或$\frac{x}{y}=1$，
当$\frac{x}{y}=1$时，$x=y$，$\frac{x - y}{x + y}=\frac{0}{2y}=0$；
当$\frac{x}{y}=-4$时，$x=-4y$，$\frac{x - y}{x + y}=\frac{-4y - y}{-4y + y}=\frac{-5y}{-3y}=\frac{5}{3}$，
$\frac{x - y}{x + y}=0$或$\frac{5}{3}$
设$t=\frac{x}{y}$，则$t^{2}+3t - 4=0$，
因式分解得$(t + 4)(t - 1)=0$，
解得$t=-4$或$t=1$，即$\frac{x}{y}=-4$或$\frac{x}{y}=1$，
当$\frac{x}{y}=1$时，$x=y$，$\frac{x - y}{x + y}=\frac{0}{2y}=0$；
当$\frac{x}{y}=-4$时，$x=-4y$，$\frac{x - y}{x + y}=\frac{-4y - y}{-4y + y}=\frac{-5y}{-3y}=\frac{5}{3}$，
$\frac{x - y}{x + y}=0$或$\frac{5}{3}$
18. 若一元二次方程 $x^{2}-2x - m = 0$ 无实数根,则一次函数 $y= (m + 1)x + m - 1$ 的图象不经过第______象限.
答案
一
解析
一元二次方程$x^{2}-2x - m = 0$无实数根，所以判别式$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-m)=4 + 4m＜0$，解得$m＜-1$。
则$m + 1＜0$，$m - 1＜0$，所以一次函数$y=(m + 1)x + m - 1$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
一
则$m + 1＜0$，$m - 1＜0$，所以一次函数$y=(m + 1)x + m - 1$的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
一
19. (12 分)解下列方程:
(1) $x^{2}-2x = 0$;
(2) $(x + 2)(x - 5)= 8$;
(3) $x^{2}-3x = 1$;
(4) $25(2x - 5)^{2}-9(x + 4)^{2}= 0$.
(1) $x^{2}-2x = 0$;
(2) $(x + 2)(x - 5)= 8$;
(3) $x^{2}-3x = 1$;
(4) $25(2x - 5)^{2}-9(x + 4)^{2}= 0$.
答案
（1）$x_{1}=0$,$x_{2}=2$；（2）$x_{1}=6$,$x_{2}=-3$；（3）$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；（4）$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{37}{7}$
解析
(1)解：$x(x - 2) = 0$
$x = 0$或$x - 2 = 0$
$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$
(2)解：$x^{2}-3x - 10 = 8$
$x^{2}-3x - 18 = 0$
$(x - 6)(x + 3) = 0$
$x - 6 = 0$或$x + 3 = 0$
$x_{1} = 6$，$x_{2} = -3$
(3)解：$x^{2}-3x - 1 = 0$
$a = 1$，$b = -3$，$c = -1$
$\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×1×(-1) = 13$
$x = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
$x_{1} = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2} = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$
(4)解：$[5(2x - 5)]^{2}-[3(x + 4)]^{2} = 0$
$(10x - 25 + 3x + 12)(10x - 25 - 3x - 12) = 0$
$(13x - 13)(7x - 37) = 0$
$13x - 13 = 0$或$7x - 37 = 0$
$x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{37}{7}$
20. (6 分)关于 $x$ 的方程 $(a^{2}+1)x^{2}-2(a + b)x + b^{2}+1 = 0$.
(1) 若 $b = 2$,且 $2$ 是此方程的根,求 $a$ 的值;
(2) 若此方程有实数根,当 $-3 \lt a \lt -1$ 时,求 $b$ 的取值范围.
(1) 若 $b = 2$,且 $2$ 是此方程的根,求 $a$ 的值;
(2) 若此方程有实数根,当 $-3 \lt a \lt -1$ 时,求 $b$ 的取值范围.
答案
（1）把$b=2$,$x=2$代入原方程，得$a=\frac{1}{2}$.（2）
∵方程有实数根.
∴$\Delta=4(a+b)^{2}-4(a^{2}+1)(b^{2}+1)\geq0$,$a^{2}b^{2}-2ab+1\leq0$,$(ab-1)^{2}\leq0$,又$(ab-1)^{2}\geq0$,
∴$(ab-1)^{2}=0$,$ab=1$,$a=\frac{1}{b}$.
∵$-3\lt a\lt-1$,
∴$-3\lt\frac{1}{b}\lt-1$,
∴$-1\lt b\lt-\frac{1}{3}$
∵方程有实数根.
∴$\Delta=4(a+b)^{2}-4(a^{2}+1)(b^{2}+1)\geq0$,$a^{2}b^{2}-2ab+1\leq0$,$(ab-1)^{2}\leq0$,又$(ab-1)^{2}\geq0$,
∴$(ab-1)^{2}=0$,$ab=1$,$a=\frac{1}{b}$.
∵$-3\lt a\lt-1$,
∴$-3\lt\frac{1}{b}\lt-1$,
∴$-1\lt b\lt-\frac{1}{3}$
21. (6 分)我们知道:对于任何实数 $x$,
① 因为 $x^{2} \geqslant 0$,所以 $x^{2}+1 \gt 0$;
② 因为 $(x-\frac{1}{3})^{2} \geqslant 0$,所以 $(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2} \gt 0$. 模仿上述方法求证:
(1) 对于任何实数 $x$,均有 $2x^{2}+4x + 3 \gt 0$;
(2) 对于任何实数 $x$,多项式 $3x^{2}-5x - 1$ 的值总大于 $2x^{2}-4x - 2$ 的值.
① 因为 $x^{2} \geqslant 0$,所以 $x^{2}+1 \gt 0$;
② 因为 $(x-\frac{1}{3})^{2} \geqslant 0$,所以 $(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2} \gt 0$. 模仿上述方法求证:
(1) 对于任何实数 $x$,均有 $2x^{2}+4x + 3 \gt 0$;
(2) 对于任何实数 $x$,多项式 $3x^{2}-5x - 1$ 的值总大于 $2x^{2}-4x - 2$ 的值.
答案
（1）$2x^{2}+4x+3=2(x+1)^{2}+1\gt0$；（2）$3x^{2}-5x-1-(2x^{2}-4x-2)=x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\gt0$
解析
（1）证明：$2x^{2}+4x+3=2(x^{2}+2x)+3=2(x^{2}+2x+1-1)+3=2(x+1)^{2}-2+3=2(x+1)^{2}+1$，因为$(x+1)^{2}\geq0$，所以$2(x+1)^{2}+1\geq1\gt0$，即对于任何实数$x$，均有$2x^{2}+4x + 3 \gt 0$；
（2）证明：$3x^{2}-5x-1-(2x^{2}-4x-2)=3x^{2}-5x-1-2x^{2}+4x+2=x^{2}-x+1=x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，因为$(x-\frac{1}{2})^{2}\geq0$，所以$(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}\gt0$，即对于任何实数$x$，多项式$3x^{2}-5x - 1$的值总大于$2x^{2}-4x - 2$的值。
（2）证明：$3x^{2}-5x-1-(2x^{2}-4x-2)=3x^{2}-5x-1-2x^{2}+4x+2=x^{2}-x+1=x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，因为$(x-\frac{1}{2})^{2}\geq0$，所以$(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}\gt0$，即对于任何实数$x$，多项式$3x^{2}-5x - 1$的值总大于$2x^{2}-4x - 2$的值。
