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1. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3 cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积为$ 300 cm^3,$则原铁皮的边长为( )
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
答案
D
解析
设原正方形铁皮的边长为$x\ cm$。
剪去四角小正方形后，盒子底面边长为$(x - 2×3)\ cm=(x - 6)\ cm$，高为$3\ cm$。
盒子容积为$300\ cm^3$，根据长方体体积公式可得：
$3(x - 6)^2 = 300$
两边同时除以$3$：
$(x - 6)^2 = 100$
开平方得：
$x - 6 = \pm10$
解得$x_1 = 16$，$x_2 = -4$（边长不能为负，舍去）。
原铁皮的边长为$16\ cm$。
D
剪去四角小正方形后，盒子底面边长为$(x - 2×3)\ cm=(x - 6)\ cm$，高为$3\ cm$。
盒子容积为$300\ cm^3$，根据长方体体积公式可得：
$3(x - 6)^2 = 300$
两边同时除以$3$：
$(x - 6)^2 = 100$
开平方得：
$x - 6 = \pm10$
解得$x_1 = 16$，$x_2 = -4$（边长不能为负，舍去）。
原铁皮的边长为$16\ cm$。
D
2. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一,奠定了我国传统数学的基本框架. 《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门,它的高比宽多 6 尺 8 寸,它的对角线长 1 丈,问它的高与宽各是多少？利用方程思想,设矩形门宽为$x$尺,则依题意所列方程为(1 丈 = 10 尺,1 尺 = 10 寸)( )
A.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
C.$x(x + 6.8) = 10^2$
D.$x(x - 6.8) = 10^2$
A.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
C.$x(x + 6.8) = 10^2$
D.$x(x - 6.8) = 10^2$
答案
A
解析
设矩形门宽为$x$尺，因为高比宽多6尺8寸，6尺8寸即$6.8$尺，所以高为$(x + 6.8)$尺。矩形对角线长1丈，1丈即10尺，根据勾股定理，宽的平方加高的平方等于对角线的平方，所列方程为$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$。
A
A
3. 一块面积为$ 600 m^2$的矩形田地,若长比宽多 10 m,则此矩形田地的长为_________m,宽为_________m.
答案
30,20
解析
设矩形田地的宽为$x\ m$，则长为$(x + 10)\ m$。
根据矩形面积公式，得$x(x + 10) = 600$。
展开方程：$x^2 + 10x - 600 = 0$。
因式分解：$(x - 20)(x + 30) = 0$。
解得$x_1 = 20$，$x_2 = -30$（不合题意，舍去）。
长为$x + 10 = 20 + 10 = 30\ m$。
30,20
根据矩形面积公式，得$x(x + 10) = 600$。
展开方程：$x^2 + 10x - 600 = 0$。
因式分解：$(x - 20)(x + 30) = 0$。
解得$x_1 = 20$，$x_2 = -30$（不合题意，舍去）。
长为$x + 10 = 20 + 10 = 30\ m$。
30,20
4. 一直角三角形的两直角边长之比为 5 : 12,斜边长为 26,则此直角三角形的面积为______.
答案
120
解析
设直角三角形的两直角边长分别为$5x$和$12x$（$x＞0$）。
由勾股定理得：$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$
$25x^2 + 144x^2 = 676$
$169x^2 = 676$
$x^2 = 4$
解得$x = 2$（$x=-2$舍去）
两直角边长分别为$5x = 10$，$12x = 24$
面积为$\frac{1}{2} × 10 × 24 = 120$
120
由勾股定理得：$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$
$25x^2 + 144x^2 = 676$
$169x^2 = 676$
$x^2 = 4$
解得$x = 2$（$x=-2$舍去）
两直角边长分别为$5x = 10$，$12x = 24$
面积为$\frac{1}{2} × 10 × 24 = 120$
120
问题 如图(1),某小区规划在一个长为 40 m,宽为 26 m 的矩形场地$ABCD$上修建三条同样宽的小路,使其中两条与$AB$平行,另一条与$AD$平行,其余部分种草,若想使草坪的面积为矩形面积的$\frac{54}{65}$,求小路的宽.
名师指导
解法一：若设小路宽为$x$,则两条平行于$AB的小路面积为2×26x$ m^2,另一条与$AD平行的小路面积为40x$ m^2,但在$(2×26x + 40x)$ m^2 中两条小路的交叉处都被计算了两次. 因此,小路的实际面积为$(2×26x + 40x - 2x^2)$ m^2,小路所占面积再加上草坪的面积就等于矩形场地的面积.
解法二：如图(2),可以设想把两条与$AB平行的小路靠在CD$边上,一条与$AD平行的小路靠在BC$边上,那么草坪的面积$\frac{54}{65}×40×26$ m^2 就等于矩形$AEFG$的面积,而$EF = 40 - 2x$,$AE = 26 - x$,从而容易列出方程求解.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解法一：
解法二：
名师指导解法一：若设小路宽为$x$,则两条平行于$AB的小路面积为2×26x$ m^2,另一条与$AD平行的小路面积为40x$ m^2,但在$(2×26x + 40x)$ m^2 中两条小路的交叉处都被计算了两次. 因此,小路的实际面积为$(2×26x + 40x - 2x^2)$ m^2,小路所占面积再加上草坪的面积就等于矩形场地的面积.
解法二：如图(2),可以设想把两条与$AB平行的小路靠在CD$边上,一条与$AD平行的小路靠在BC$边上,那么草坪的面积$\frac{54}{65}×40×26$ m^2 就等于矩形$AEFG$的面积,而$EF = 40 - 2x$,$AE = 26 - x$,从而容易列出方程求解.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解法一：
解法二：
答案
解法一：
设小路宽为 $x$ 米。
矩形场地总面积为 $40 × 26 = 1040$ ( $m^2$ )。
草坪面积为 $\frac{54}{65} × 1040 = 864$ ( $m^2$ )。
小路面积为 $1040 - 864 = 176$ ( $m^2$ )。
根据解法一中的小路面积公式：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 = 176$，
整理得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 44$（不合题意，舍去）。
所以小路宽为 2 米。
解法二：
设小路宽为 $x$ 米。
草坪部分可合并为一个矩形，其长为 $40 - 2x$，宽为 $26 - x$。
根据草坪面积公式：
$(40 - 2x)(26 - x) = 864$，
展开并整理得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 44$（不合题意，舍去）。
所以小路宽为 2 米。
设小路宽为 $x$ 米。
矩形场地总面积为 $40 × 26 = 1040$ ( $m^2$ )。
草坪面积为 $\frac{54}{65} × 1040 = 864$ ( $m^2$ )。
小路面积为 $1040 - 864 = 176$ ( $m^2$ )。
根据解法一中的小路面积公式：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 = 176$，
整理得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 44$（不合题意，舍去）。
所以小路宽为 2 米。
解法二：
设小路宽为 $x$ 米。
草坪部分可合并为一个矩形，其长为 $40 - 2x$，宽为 $26 - x$。
根据草坪面积公式：
$(40 - 2x)(26 - x) = 864$，
展开并整理得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 44$（不合题意，舍去）。
所以小路宽为 2 米。
