2.已知∠α和线段c，求作△ABC，使∠A=∠α，AB=2c，AC=3c.（保留作图痕迹，不写作法）

2.【解】如图，△ABC为所求作的三角形.

专题三 角的平分线的性质
【典型例题3】如图，已知$AB=AC$，$BD=CD$，$DE ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$E$，$DF ⊥ AC$交$AC$的延长线于点$F$，求证：$DE=DF$.

思路导引 由条件$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$易联想到，只要点$D$在$∠ EAF$的平分线上，即可得$DE=DF$.
【证明】如图，连接$AD$.在$△ ABD$和$△ ACD$中，$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ BAD = ∠ CAD$，

所以$AD$是$∠ EAF$的平分线.
又$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
所以$DE=DF$.

证明：
连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，
即$AD$是$∠ EAF$的平分线。
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，
$\therefore DE=DF$。

3.(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,求AM的值.

3.【解】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线. 因为AD是边BC上的高，所以AD⊥BC. 又因为MN⊥AB，所以MD=MN=2，所以AD=4MD=8，所以AM=AD-MD=6.