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基础知识·预习
问题1 一元二次方程的概念是什么？
问题2 给定一个一元二次方程，把它化成一般形式，并说一说它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么。
问题3 为什么规定一元二次方程的二次项系数不能为0？
问题1 一元二次方程的概念是什么？
问题2 给定一个一元二次方程，把它化成一般形式，并说一说它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么。
问题3 为什么规定一元二次方程的二次项系数不能为0？
答案
解：
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：举例：给定一元二次方程 $3x(x-1)=2(x+2)$，
去括号得：$3x^2 - 3x = 2x + 4$，
移项、合并同类项得到一元二次方程的一般形式：$3x^2 - 5x - 4 = 0$，
该方程的二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不再含有未知数的二次项，未知数的最高次数就小于2，该方程就不再满足“未知数最高次数为2”的一元二次方程定义，不再是一元二次方程，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：举例：给定一元二次方程 $3x(x-1)=2(x+2)$，
去括号得：$3x^2 - 3x = 2x + 4$，
移项、合并同类项得到一元二次方程的一般形式：$3x^2 - 5x - 4 = 0$，
该方程的二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不再含有未知数的二次项，未知数的最高次数就小于2，该方程就不再满足“未知数最高次数为2”的一元二次方程定义，不再是一元二次方程，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
解析
【分析】
这三个问题均围绕一元二次方程的基础概念设置，解题思路如下：①回答概念问题时，需抓住一元二次方程的三个核心判定特征：方程为整式方程、仅含1个未知数、未知数最高次数为2，三个条件缺一不可；②回答一般形式及系数问题时，先通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，再对应提取二次项系数、一次项系数、常数项，注意系数要带对应符号；③回答二次项系数不为0的原因时，从定义出发推导：若二次项系数为0，方程将不含二次项，未知数最高次数低于2，不再符合一元二次方程的定义。
【解析】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：举例：给定一元二次方程 $3x(x-1)=2(x+2)$，
去括号得：$3x^2 - 3x = 2x + 4$，
移项、合并同类项得到一元二次方程的一般形式：$3x^2 - 5x - 4 = 0$，
该方程的二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不再含有未知数的二次项，未知数的最高次数就小于2，该方程就不再满足“未知数最高次数为2”的一元二次方程定义，不再是一元二次方程，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【答案】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），例如方程$3x(x-1)=2(x+2)$的一般形式是$3x^2 - 5x - 4 = 0$，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若二次项系数为0，方程将不含二次项，未知数最高次数小于2，不符合一元二次方程的定义，因此二次项系数不能为0。
【知识点】
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程成立条件
【点评】
本题是一元二次方程的基础入门题，核心考察对核心概念的理解掌握，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的前提基础，学习时需注意区分各项系数的符号，牢记二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
这三个问题均围绕一元二次方程的基础概念设置，解题思路如下：①回答概念问题时，需抓住一元二次方程的三个核心判定特征：方程为整式方程、仅含1个未知数、未知数最高次数为2，三个条件缺一不可；②回答一般形式及系数问题时，先通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，再对应提取二次项系数、一次项系数、常数项，注意系数要带对应符号；③回答二次项系数不为0的原因时，从定义出发推导：若二次项系数为0，方程将不含二次项，未知数最高次数低于2，不再符合一元二次方程的定义。
【解析】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：举例：给定一元二次方程 $3x(x-1)=2(x+2)$，
去括号得：$3x^2 - 3x = 2x + 4$，
移项、合并同类项得到一元二次方程的一般形式：$3x^2 - 5x - 4 = 0$，
该方程的二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不再含有未知数的二次项，未知数的最高次数就小于2，该方程就不再满足“未知数最高次数为2”的一元二次方程定义，不再是一元二次方程，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【答案】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），例如方程$3x(x-1)=2(x+2)$的一般形式是$3x^2 - 5x - 4 = 0$，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4。
问题3：若二次项系数为0，方程将不含二次项，未知数最高次数小于2，不符合一元二次方程的定义，因此二次项系数不能为0。
【知识点】
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程成立条件
【点评】
本题是一元二次方程的基础入门题，核心考察对核心概念的理解掌握，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的前提基础，学习时需注意区分各项系数的符号，牢记二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】已知$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，求$m$的值。
思路导引 根据一元二次方程的概念，得$|m|-1=2$，且$m-3≠0$，进而确定$m$的值。
【解】因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以$|m|-1=2$，且$m-3≠0$。
解得$m=-3$。
规律方法 确定一元二次方程中参数的值或取值范围的方法：
要确定一元二次方程中参数的值（或取值范围），需根据一元二次方程的概念，令方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，从而列出关于参数的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定参数的值（或取值范围）。
思路导引 根据一元二次方程的概念，得$|m|-1=2$，且$m-3≠0$，进而确定$m$的值。
【解】因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以$|m|-1=2$，且$m-3≠0$。
解得$m=-3$。
规律方法 确定一元二次方程中参数的值或取值范围的方法：
要确定一元二次方程中参数的值（或取值范围），需根据一元二次方程的概念，令方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，从而列出关于参数的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定参数的值（或取值范围）。
答案
解：
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
可得$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3≠0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$，即$m≠3$，
所以$m=-3$。
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
可得$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3≠0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$，即$m≠3$，
所以$m=-3$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的两个核心判定条件：一是方程中未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则不存在二次项，不符合一元二次方程的定义）。对应本题的方程，含x的最高次项的次数为$|m|-1$，首先令其等于2得到关于m的方程，再结合二次项系数$m-3≠0$的限制，求解出符合条件的m值即可。
【解析】
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3≠0\end{cases}$
解$|m|-1=2$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质解得$m=3$或$m=-3$；
解$m-3≠0$，得$m≠3$；
综上排除$m=3$，可得$m=-3$。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
1.一元二次方程的概念 2.绝对值方程求解 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的限制条件，从而错解为$m=\pm3$，解决此类问题时要注意两个判定条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的两个核心判定条件：一是方程中未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则不存在二次项，不符合一元二次方程的定义）。对应本题的方程，含x的最高次项的次数为$|m|-1$，首先令其等于2得到关于m的方程，再结合二次项系数$m-3≠0$的限制，求解出符合条件的m值即可。
【解析】
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3≠0\end{cases}$
解$|m|-1=2$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质解得$m=3$或$m=-3$；
解$m-3≠0$，得$m≠3$；
综上排除$m=3$，可得$m=-3$。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
1.一元二次方程的概念 2.绝对值方程求解 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的限制条件，从而错解为$m=\pm3$，解决此类问题时要注意两个判定条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
