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8. 「2025 山西阳泉平定二模，★☆」如图，已知 $ A(3\sqrt{2},0) $，$ AB = 4\sqrt{2} $，以点 $ A $ 为圆心，$ AB $ 的长为半径画弧，交 $ x $ 轴的负半轴于点 $ C $，则点 $ C $ 的坐标为(
A.$ (4\sqrt{2},0) $
B.$ (\sqrt{2},0) $
C.$ (-\sqrt{2},0) $
D.$ (-4\sqrt{2},0) $
C
)A.$ (4\sqrt{2},0) $
B.$ (\sqrt{2},0) $
C.$ (-\sqrt{2},0) $
D.$ (-4\sqrt{2},0) $
答案
8.C
∵A(3$\sqrt{2}$,0)，
∴OA = 3$\sqrt{2}$。由作图可知AC = AB = 4$\sqrt{2}$，
∴OC = AC - OA = 4$\sqrt{2}$ - 3$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为(−$\sqrt{2}$,0)，故选C。
∵A(3$\sqrt{2}$,0)，
∴OA = 3$\sqrt{2}$。由作图可知AC = AB = 4$\sqrt{2}$，
∴OC = AC - OA = 4$\sqrt{2}$ - 3$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为(−$\sqrt{2}$,0)，故选C。
9. 易错题 「2025 海南琼海期末，★☆」已知直线 $ MN // x $ 轴，$ M $ 点的坐标为 $ (2,3) $，并且线段 $ MN = 3 $，则点 $ N $ 的坐标为(
A.$ (-1,3) $
B.$ (5,3) $
C.$ (1,3) $ 或 $ (5,3) $
D.$ (-1,3) $ 或 $ (5,3) $
D
)A.$ (-1,3) $
B.$ (5,3) $
C.$ (1,3) $ 或 $ (5,3) $
D.$ (-1,3) $ 或 $ (5,3) $
答案
9.D
∵直线MN//x轴，且点M的坐标为(2,3)，
∴点N的纵坐标为3，
∵MN = 3，
∴点N的横坐标为2 + 3 = 5或2 - 3 = -1，
∴点N的坐标为(−1,3)或(5,3)。故选D。
易错警示：没有指明点N在点M的左边还是右边，所以要分类讨论，不要漏解。
∵直线MN//x轴，且点M的坐标为(2,3)，
∴点N的纵坐标为3，
∵MN = 3，
∴点N的横坐标为2 + 3 = 5或2 - 3 = -1，
∴点N的坐标为(−1,3)或(5,3)。故选D。
易错警示：没有指明点N在点M的左边还是右边，所以要分类讨论，不要漏解。
10. 「2025 河北衡水故城月考，★☆」如图，在平面直角坐标系中，有 $ A(0,3) $，$ B(2,3) $，$ C(4,-1) $ 三点，$ P $ 为直线 $ AB $ 上的动点，当 $ PC $ 的长度最小时，点 $ P $ 的坐标为(
A.$ (-1,3) $
B.$ (4,3) $
C.$ (3,3) $
D.$ (2,2) $
]
B
)A.$ (-1,3) $
B.$ (4,3) $
C.$ (3,3) $
D.$ (2,2) $
]
答案
10.B 因为点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(2,3)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB上点的纵坐标都是3。由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，PC取得最小值。因为点C的坐标为(4,−1)，所以点P的坐标为(4,3)。故选B。
11. 「2025 河北沧州盐山期中，★☆」如图，这是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽都相等，高都相等，且宽与高相等。
(1) 若图 1 中点 $ C $ 的坐标为 $ (0,0) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (2,2) $，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点 $ B $，$ E $，$ F $ 的坐标。
(2) 若图 2 中点 $ E $ 的坐标为 $ (0,2) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (-2,0) $，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点 $ B $，$ C $，$ G $ 的坐标。
(1) 若图 1 中点 $ C $ 的坐标为 $ (0,0) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (2,2) $，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点 $ B $，$ E $，$ F $ 的坐标。
(2) 若图 2 中点 $ E $ 的坐标为 $ (0,2) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (-2,0) $，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点 $ B $，$ C $，$ G $ 的坐标。
答案
11.解析 (1)建立平面直角坐标系如图1所示，
∵每级台阶的宽都相等，高都相等，且宽与高相等，点C的坐标为(0,0)，点D的坐标为(2,2)，
∴B(−2,−2)，E(4,4)，F(6,6)。
(2)建立平面直角坐标系如图2所示，
∵每级台阶的宽都相等，高都相等，且宽与高相等，点E的坐标为(0,2)，点D的坐标为(−2,0)，
∴B(−6,−4)，C(−4,−2)，G(4,6)。
12. 「2025 河北唐山期中，★☆」如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(2,0) $，$ B(0,4) $，点 $ C(x,y) $ 在第三象限。
(1) 求 $ S_{△ OAB} $ 的值。
(2) 若 $ S_{△ OAC} = 4 $，$ S_{△ OBC} = 6 $，求点 $ C $ 的坐标。
]
(1) 求 $ S_{△ OAB} $ 的值。
(2) 若 $ S_{△ OAC} = 4 $，$ S_{△ OBC} = 6 $，求点 $ C $ 的坐标。
]答案
12.解析 (1)
∵A(2,0)，B(0,4)，
∴AO = 2，BO = 4，
∴S△ABO = $\frac{1}{2}$×2×4 = 4。
(2)由题意得S△OAC = $\frac{1}{2}$×2×(−y) = 4，S△OBC = $\frac{1}{2}$×4×(−x) = 6，解得x = -3，y = -4，
∴C(−3,−4)。
方法总结：解第(2)题的关键是以x轴或y轴上的边为底，以点的纵坐标的绝对值或横坐标的绝对值为高，表示出三角形的面积，从而求出点的横、纵坐标。
∵A(2,0)，B(0,4)，
∴AO = 2，BO = 4，
∴S△ABO = $\frac{1}{2}$×2×4 = 4。
(2)由题意得S△OAC = $\frac{1}{2}$×2×(−y) = 4，S△OBC = $\frac{1}{2}$×4×(−x) = 6，解得x = -3，y = -4，
∴C(−3,−4)。
方法总结：解第(2)题的关键是以x轴或y轴上的边为底，以点的纵坐标的绝对值或横坐标的绝对值为高，表示出三角形的面积，从而求出点的横、纵坐标。
13. 新运算能力 新规律探究题 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-3,0) $，$ B(0,4) $，$ AB = 5 $，对 $ △ OAB $ 连续作旋转变换，依次得到 $ △_1 $，$ △_2 $，$ △_3 $，$ △_4 $，$ ··· $，则 $ △_{2025} $ 的直角顶点的坐标为
]
(8100,0)
。]答案
13.答案 (8100,0)
解析
∵A(−3,0)，B(0,4)，
∴OA = 3，OB = 4。由题图可知，△3的直角顶点的坐标为(4 + 5 + 3,0)，即(12×1,0)；△6的直角顶点的坐标为(12 + 4 + 5 + 3,0)，即(12×2,0)；△9的直角顶点的坐标为(12×2 + 4 + 5 + 3,0)，即(12×3,0)；……，归纳类推得，△3n的直角顶点的坐标为(12n,0)，其中n为正整数，
∵2025 = 3×675，
∴△2025的直角顶点的坐标为(12×675,0)，即(8100,0)。
解析
∵A(−3,0)，B(0,4)，
∴OA = 3，OB = 4。由题图可知，△3的直角顶点的坐标为(4 + 5 + 3,0)，即(12×1,0)；△6的直角顶点的坐标为(12 + 4 + 5 + 3,0)，即(12×2,0)；△9的直角顶点的坐标为(12×2 + 4 + 5 + 3,0)，即(12×3,0)；……，归纳类推得，△3n的直角顶点的坐标为(12n,0)，其中n为正整数，
∵2025 = 3×675，
∴△2025的直角顶点的坐标为(12×675,0)，即(8100,0)。
