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13. 根据如图所示的数值转换机的示意图，输出的值为
$\frac{1}{9}$
.答案
13. $\frac{1}{9}$
14. 若有理数 $m$，$n$ 满足 $(m - \dfrac{1}{2})^2 + |n + 2025| = 0$，则 $m^{-2} - n^0 =$
3
.答案
14. 3
15. 对于有理数 $a$，$b$，定义运算 $a * b = \begin{cases}a^b(a ＞ b,a ≠ 0),\\a^{-b}(a ≤ b,a ≠ 0),\end{cases}$ 如 $2 * 3 = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$，$3 * 2 = 3^2 = 9$.照此运算方式计算 $3 * 0 + 2 * 4$ 的结果为 ______ .
答案
15. $\frac{17}{16}$
16. (2025·江苏连云港期中)若 $(x - 3)^x = 1$，则满足条件的 $x$ 的值是
0 或 4 或 2
.答案
16. 0 或 4 或 2 解析：因为 $(x-3)^{x}=1$，所以分类讨论如下：① 当 $x=0$ 时，$(x-3)^{x}=(-3)^{0}=1$，符合题意；② 当 $x-3=1$ 时，$x=4$，则 $(x-3)^{x}=1^{4}=1$，符合题意；③ 当 $x-3=-1$ 时，$x=2$，则 $(x-3)^{x}=(-1)^{2}=1$，符合题意。综上所述，满足条件的 $x$ 的值是 0 或 4 或 2。
17. 已知有理数 $a$ 满足 $(\dfrac{1}{8})^{-a} = 8^0×4^{-3}×2^3$，试求 $a$ 的值.
答案
17. 因为 $(\frac{1}{8})^{-a}=8^{0} × 4^{-3} × 2^{3}$，所以 $8^{a}=1 × 2^{-6} × 2^{3}$，所以 $2^{3a}=2^{-3}$，所以 $3a=-3$，解得 $a=-1$。
18. 新素养 推理能力 比较 $3^{-55}$，$4^{-44}$，$5^{-33}$ 的大小.
答案
18. $3^{-55}=(3^{-5})^{11}=(\frac{1}{3^{5}})^{11}=(\frac{1}{243})^{11}$，$4^{-44}=(4^{-4})^{11}=(\frac{1}{4^{4}})^{11}=(\frac{1}{256})^{11}$，$5^{-33}=(5^{-3})^{11}=(\frac{1}{5^{3}})^{11}=(\frac{1}{125})^{11}$。因为 $\frac{1}{256}＜\frac{1}{243}＜\frac{1}{125}$，所以 $(\frac{1}{256})^{11}＜(\frac{1}{243})^{11}＜(\frac{1}{125})^{11}$，即 $4^{-44}＜3^{-55}＜5^{-33}$。
19. 若 $10^x = N$，则称 $x$ 是以 $10$ 为底 $N$ 的对数，记作：$x = \lg N$.例如：$10^2 = 100$，则 $2 = \lg 100$；$10^0 = 1$，则 $0 = \lg 1$.对数运算满足：当 $M ＞ 0$，$N ＞ 0$ 时，$\lg M + \lg N = \lg (MN)$.例如：$\lg 3 + \lg 5 = \lg 15$，则 $(\lg 5)^2 + \lg 5×\lg 2 + \lg 2$ 的值为(
A.$5$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
C
)A.$5$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
答案
19. C 解析：因为 $10^{1}=10$，所以 $1=\lg 10$，所以 $(\lg 5)^{2}+\lg 5 × \lg 2+\lg 2=\lg 5 × (\lg 5+\lg 2)+\lg 2=\lg 5 × \lg 10+\lg 2=\lg 5+\lg 2=\lg 10=1$。
20. 已知 $a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}(a ≠ 0)$，即 $a$ 的负 $p$ 次幂等于 $a$ 的 $p$ 次幂的倒数，例如：$4^{-2} = \dfrac{1}{4^2}$.
(1)计算：$5^{-2} =$
(2)如果 $2^{-p} = \dfrac{1}{8}$，那么 $p =$
(3)已知 $a^{-p} = \dfrac{1}{9}$，且 $a$，$p$ 都为整数，求满足条件的 $a$，$p$ 的取值.
(1)计算：$5^{-2} =$
$\frac{1}{25}$
；$(-2)^{-2} =$$\frac{1}{4}$
；(2)如果 $2^{-p} = \dfrac{1}{8}$，那么 $p =$
3
；如果 $a^{-2} = \dfrac{1}{16}$，那么 $a =$$\pm 4$
；(3)已知 $a^{-p} = \dfrac{1}{9}$，且 $a$，$p$ 都为整数，求满足条件的 $a$，$p$ 的取值.
答案
20. (1) $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{4}$ (2) 3 $\pm 4$ (3) 因为 $a^{-p}=\frac{1}{9}$，$a$，$p$ 都为整数，且 $\frac{1}{9}=9^{-1}=(\pm 3)^{-2}$，所以 $a=9$，$p=1$ 或 $a=\pm 3$，$p=2$。故满足条件的 $a$，$p$ 的取值为 $a=9$，$p=1$ 或 $a=3$，$p=2$ 或 $a=-3$，$p=2$。
21. 阅读下面的解题过程：
求 $1 + 2^{-1} + 2^{-2} + ··· + 2^{-2025}$ 的值.
解：设 $S = 1 + 2^{-1} + 2^{-2} + ··· + 2^{-2025}$ ①，
则 $2S = 2 + 1 + 2^{-1} + ··· + 2^{-2024}$ ②.
②$-$①，得 $S = 2 - 2^{-2025}$，
即原式 $= 2 - 2^{-2025}$.
请你仿照此方法计算：
（1）$1 + 3^{-1} + 3^{-2} + ··· + 3^{-2025}$；
（2）$1 + 3^{-1} + 3^{-2} + ··· + 3^{-n}$.
求 $1 + 2^{-1} + 2^{-2} + ··· + 2^{-2025}$ 的值.
解：设 $S = 1 + 2^{-1} + 2^{-2} + ··· + 2^{-2025}$ ①，
则 $2S = 2 + 1 + 2^{-1} + ··· + 2^{-2024}$ ②.
②$-$①，得 $S = 2 - 2^{-2025}$，
即原式 $= 2 - 2^{-2025}$.
请你仿照此方法计算：
（1）$1 + 3^{-1} + 3^{-2} + ··· + 3^{-2025}$；
（2）$1 + 3^{-1} + 3^{-2} + ··· + 3^{-n}$.
答案
21. (1) 设 $M=1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-2025}$ ①，则 $3M=3+1+3^{-1}+···+3^{-2024}$ ②。② - ①，得 $2M=3-3^{-2025}$，所以 $M=\frac{3-3^{-2025}}{2}$，即原式 $=\frac{3-3^{-2025}}{2}$。(2) 设 $N=1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-n}$ ①，则 $3N=3+1+3^{-1}+···+3^{-n+1}$ ②。② - ①，得 $2N=3-3^{-n}$，所以 $N=\frac{3-3^{-n}}{2}$，即原式 $=\frac{3-3^{-n}}{2}$。
