15. 现有若干张卡片，分别是正方形卡片$A$，$B$和长方形卡片$C$，卡片大小如图所示.如果要拼成一个长为$4a + b$，宽为$a + 2b$的大长方形，那么共需要卡片张.

15. 15 解析：长为 $ 4a + b $，宽为 $ a + 2b $ 的长方形的面积为 $ (4a + b)(a + 2b) = 4a^{2} + 9ab + 2b^{2} $。因为 $ A $ 类卡片的面积为 $ a^{2} $，$ B $ 类卡片的面积为 $ b^{2} $，$ C $ 类卡片的面积为 $ ab $，所以需要 $ A $ 类卡片 4 张，$ B $ 类卡片 2 张，$ C $ 类卡片 9 张，所以共需要卡片 $ 4 + 2 + 9 = 15 $（张）。

16. 新素养 几何直观 如图，在长方形$ABCD$中，$AB = x + 3$，$AE = 3x - 1$，$CF = 2x + 2$，请用含$x$的代数式表示阴影部分的面积.

16. 由题意，得 $ S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}(AE + CF) · AB = \frac{1}{2}(3x - 1 + 2x + 2)(x + 3) = \frac{1}{2}(5x + 1)(x + 3) = \frac{1}{2}(5x^{2} + 15x + x + 3) = \frac{1}{2}(5x^{2} + 16x + 3) = \frac{5}{2}x^{2} + 8x + \frac{3}{2} $。故阴影部分的面积为 $ \frac{5}{2}x^{2} + 8x + \frac{3}{2} $。

17. 新趋势 综合实践 阅读后作答：我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如：$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+3ab + b^{2}$就可以用图①所示的面积关系来说明.
(1)图②中阴影部分的面积为；
(2)根据图③写出一个代数恒等式；
(3)已知等式$(x + p)(x + q)=x^{2}+(p + q)x + pq$，请画出一个相应的几何图形加以说明.

17. (1) $ (m - n)^{2} $ 或 $ (m + n)^{2} - 4mn $
(2) 题图③表示的代数恒等式为 $ (2a + b)(a + 2b) = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2} $。
(3) 等式 $ (x + p)(x + q) = x^{2} + (p + q)x + pq $ 可以用如图所示的几何图形的面积关系来说明。

18. 新素养 推理能力 若$a$为有理数，且$M = (a + 3)(a - 4)$，$N = (a + 2)(2a - 5)$，则$M$与$N$之间的大小关系是()

A.$M ＞ N$
B.$M ＜ N$
C.$M = N$
D.无法确定

18. B 解析：因为 $ M = (a + 3)(a - 4) = a^{2} - a - 12 $，$ N = (a + 2)(2a - 5) = 2a^{2} - a - 10 $，所以 $ M - N = -a^{2} - 2 $。因为 $ a $ 为有理数，所以 $ -a^{2} - 2 ＜ 0 $，所以 $ M - N ＜ 0 $，所以 $ M ＜ N $。

19. (2025·江苏扬州期末)若$\frac{1 + a}{1 - a}=\frac{1 - b}{1 + b}$，则$(2 + a)(2 + b)+b^{2}=$.

19. 4 解析：因为 $ \frac{1 + a}{1 - a} = \frac{1 - b}{1 + b} $，所以 $ (1 + a)(1 + b) = (1 - a)(1 - b) $，即 $ 1 + a + b + ab = 1 - a - b + ab $，所以 $ a + b = 0 $，即 $ a = -b $，所以 $ (2 + a)(2 + b) + b^{2} = (2 - b)(2 + b) + b^{2} = 4 + 2b - 2b - b^{2} + b^{2} = 4 $。

20. 新素养 抽象能力 定义：对于依次排列的多项式$x + a$，$x + b$，$x + c$，$x + d$（$a$，$b$，$c$，$d$是常数），当它们满足$(x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)=M$，且$M$为常数时，则称$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数，$M$是该组平衡数的平衡因子.例如：对于多项式$x + 2$，$x + 1$，$x + 6$，$x + 5$，因为$(x + 2)(x + 5)-(x + 1)(x + 6)=(x^{2}+7x + 10)-(x^{2}+7x + 6)=4$，所以$2$，$1$，$6$，$5$是一组平衡数，$4$是该组平衡数的平衡因子.
(1)已知$2$，$4$，$7$，$9$是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子$M$；
(2)若$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数，$a = 4$，$d = 3$，请写出一组$b$，$c$的值；
(3)当$a$，$b$，$c$，$d$之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由.

20. (1) 由题意，得 $ M = (x + 2)(x + 9) - (x + 4)(x + 7) = x^{2} + 11x + 18 - (x^{2} + 11x + 28) = -10 $。故该组平衡数的平衡因子 $ M = -10 $。
(2) (答案不唯一)因为 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数，$ a = 4 $，$ d = 3 $，所以 $ (x + 4)(x + 3) - (x + b)(x + c) = M $，所以 $ M = x^{2} + 7x + 12 - [x^{2} + (b + c)x + bc] = (7 - b - c)x + 12 - bc $。因为 $ M $ 为常数，所以 $ 7 - b - c = 0 $，所以 $ b + c = 7 $，所以 $ b $，$ c $ 的一组值可以是 $ b = 1 $，$ c = 6 $。
(3) 当 $ a + d = b + c $ 时，$ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数. 理由如下：若 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数，则多项式 $ (x + a)(x + d) - (x + b)(x + c) = x^{2} + (a + d)x + ad - [x^{2} + (b + c)x + bc] = [(a + d) - (b + c)]x + ad - bc $ 的值为常数. 因为 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是常数，所以 $ (a + d) - (b + c) = 0 $，所以 $ a + d = b + c $。故当 $ a + d = b + c $ 时，$ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数。