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2.如图,在三角形ABC中,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=3 cm,将三角形ABC沿AB向右平移得到三角形DEF,连接CF.已知AE=8 cm,DB=2 cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离;
(2)求四边形AEFC的周长.
(1)求三角形ABC向右平移的距离;
(2)求四边形AEFC的周长.
答案
2.(1)三角形ABC向右平移了3 cm.
(2)四边形AEFC的周长为18 cm.
(2)四边形AEFC的周长为18 cm.
解析
【分析】
(1) 求解平移距离首先要明确：平移的距离等于一组对应点连线的长度，且平移前后对应边相等。我们可以利用平移后DE=AB的性质，结合已知AE的总长度，用AE减去DE的长度即可得到对应点连线AD的长度，也就是平移距离；也可通过AD+DB=AB的线段和差关系计算。
(2) 求四边形周长，先根据平移性质找到相等的线段：EF=BC、CF=平移距离，再将四边形四条边的长度相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵△ABC沿AB向右平移得到△DEF，根据平移的性质，对应边相等
∴DE=AB=5 cm
平移距离为对应点A、D的连线长度AD，已知AE=8 cm，且AE=AD+DE
∴AD=AE-DE=8-5=3 cm
即三角形ABC向右平移的距离为3 cm。
(2) 根据平移的性质可得：EF=BC=3 cm，CF=AD=3 cm
已知AC=4 cm，AE=8 cm
四边形AEFC的周长=AE+EF+FC+AC=8+3+3+4=18 cm
【答案】
(1) 三角形ABC向右平移了3 cm；
(2) 四边形AEFC的周长为18 cm。
【知识点】
平移的性质、线段和差计算、周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握平移前后对应边相等、对应点连线长度等于平移距离的性质，结合简单的线段和差运算就能求解。
【难度系数】
0.85
(1) 求解平移距离首先要明确：平移的距离等于一组对应点连线的长度，且平移前后对应边相等。我们可以利用平移后DE=AB的性质，结合已知AE的总长度，用AE减去DE的长度即可得到对应点连线AD的长度，也就是平移距离；也可通过AD+DB=AB的线段和差关系计算。
(2) 求四边形周长，先根据平移性质找到相等的线段：EF=BC、CF=平移距离，再将四边形四条边的长度相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵△ABC沿AB向右平移得到△DEF，根据平移的性质，对应边相等
∴DE=AB=5 cm
平移距离为对应点A、D的连线长度AD，已知AE=8 cm，且AE=AD+DE
∴AD=AE-DE=8-5=3 cm
即三角形ABC向右平移的距离为3 cm。
(2) 根据平移的性质可得：EF=BC=3 cm，CF=AD=3 cm
已知AC=4 cm，AE=8 cm
四边形AEFC的周长=AE+EF+FC+AC=8+3+3+4=18 cm
【答案】
(1) 三角形ABC向右平移了3 cm；
(2) 四边形AEFC的周长为18 cm。
【知识点】
平移的性质、线段和差计算、周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握平移前后对应边相等、对应点连线长度等于平移距离的性质，结合简单的线段和差运算就能求解。
【难度系数】
0.85
3.为了增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元;购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元.
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍,则学校有几种购买方案?
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元,每售出一个乙种品牌毽子利润是4元,则在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得利润最大?最大利润是多少元?
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍,则学校有几种购买方案?
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元,每售出一个乙种品牌毽子利润是4元,则在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得利润最大?最大利润是多少元?
答案
3.(1)购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元.
(2)学校共有3种购买方案.方案一:购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案二:购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案三:购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子.
(3)在(2)的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元.
(2)学校共有3种购买方案.方案一:购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案二:购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案三:购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子.
(3)在(2)的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元.
解析
【分析】
（1）题已知两种购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，可设甲、乙两种毽子的单价为未知数，列二元一次方程组求解。
（2）题已知总花费为1000元，可设乙种毽子购买数量为m，用含m的代数式表示甲种毽子的购买数量，再根据甲种毽子数量与乙种的倍数关系列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合实际购买数量为正整数、甲数量也为正整数的条件，找出符合要求的m的整数解，即可得到方案数。
（3）题先写出商家利润的表达式，将甲的数量用含m的式子代入，分析利润随m变化的规律，结合m的取值范围即可找到最大利润对应的购买方案。
【解析】
(1) 设购买一个甲种品牌毽子需要x元，购买一个乙种品牌毽子需要y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 5y = 200 \\15x + 10y = 325 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$20x + 10y = 400$，用该式减去第二个方程：
$20x+10y -(15x+10y)=400-325$
$5x=75$，解得$x=15$
把$x=15$代入$10x + 5y = 200$，得$150 + 5y = 200$，解得$y=10$
(2) 设购买乙种品牌毽子m个，则购买甲种品牌毽子的数量为$\frac{1000 - 10m}{15}=\frac{200-2m}{3}$个。
根据题意得不等式组：
$\begin{cases}\frac{200-2m}{3} ≥ 5m \\\frac{200-2m}{3} ≤ 16m \end{cases}$
解第一个不等式：
$200 - 2m ≥ 15m$
$17m ≤ 200$
$m ≤ \frac{200}{17}\approx11.76$
解第二个不等式：
$200 - 2m ≤ 48m$
$50m ≥ 200$
$m ≥ 4$
又因为$\frac{200-2m}{3}$必须为正整数，m也为正整数，所以m可取4、7、10：
当m=10时，甲的数量为$\frac{200-20}{3}=60$个；
当m=7时，甲的数量为$\frac{200-14}{3}=62$个；
当m=4时，甲的数量为$\frac{200-8}{3}=64$个；
共3种购买方案。
(3) 设商家获得的利润为W元，根据题意：
$W = 5×\frac{200-2m}{3} + 4m = \frac{1000 - 10m + 12m}{3} = \frac{1000 + 2m}{3}$
因为$\frac{2}{3}＞0$，所以W随m的增大而增大，结合m的取值范围$4≤ m≤11.76$，m可取的最大值为10。
当m=10时，$W_{最大}=\frac{1000 + 2×10}{3}=340$元，此时甲种毽子购买60个，乙种购买10个。
【答案】
(1) 购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元。
(2) 学校共有3种购买方案：方案一：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案二：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案三：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子。
(3) 学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，最优方案问题
【点评】
本题是生活中常见的购物方案类应用题，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中数量需为正整数的隐含条件，考查了学生的逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
（1）题已知两种购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，可设甲、乙两种毽子的单价为未知数，列二元一次方程组求解。
（2）题已知总花费为1000元，可设乙种毽子购买数量为m，用含m的代数式表示甲种毽子的购买数量，再根据甲种毽子数量与乙种的倍数关系列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合实际购买数量为正整数、甲数量也为正整数的条件，找出符合要求的m的整数解，即可得到方案数。
（3）题先写出商家利润的表达式，将甲的数量用含m的式子代入，分析利润随m变化的规律，结合m的取值范围即可找到最大利润对应的购买方案。
【解析】
(1) 设购买一个甲种品牌毽子需要x元，购买一个乙种品牌毽子需要y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 5y = 200 \\15x + 10y = 325 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$20x + 10y = 400$，用该式减去第二个方程：
$20x+10y -(15x+10y)=400-325$
$5x=75$，解得$x=15$
把$x=15$代入$10x + 5y = 200$，得$150 + 5y = 200$，解得$y=10$
(2) 设购买乙种品牌毽子m个，则购买甲种品牌毽子的数量为$\frac{1000 - 10m}{15}=\frac{200-2m}{3}$个。
根据题意得不等式组：
$\begin{cases}\frac{200-2m}{3} ≥ 5m \\\frac{200-2m}{3} ≤ 16m \end{cases}$
解第一个不等式：
$200 - 2m ≥ 15m$
$17m ≤ 200$
$m ≤ \frac{200}{17}\approx11.76$
解第二个不等式：
$200 - 2m ≤ 48m$
$50m ≥ 200$
$m ≥ 4$
又因为$\frac{200-2m}{3}$必须为正整数，m也为正整数，所以m可取4、7、10：
当m=10时，甲的数量为$\frac{200-20}{3}=60$个；
当m=7时，甲的数量为$\frac{200-14}{3}=62$个；
当m=4时，甲的数量为$\frac{200-8}{3}=64$个；
共3种购买方案。
(3) 设商家获得的利润为W元，根据题意：
$W = 5×\frac{200-2m}{3} + 4m = \frac{1000 - 10m + 12m}{3} = \frac{1000 + 2m}{3}$
因为$\frac{2}{3}＞0$，所以W随m的增大而增大，结合m的取值范围$4≤ m≤11.76$，m可取的最大值为10。
当m=10时，$W_{最大}=\frac{1000 + 2×10}{3}=340$元，此时甲种毽子购买60个，乙种购买10个。
【答案】
(1) 购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元。
(2) 学校共有3种购买方案：方案一：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案二：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案三：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子。
(3) 学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，最优方案问题
【点评】
本题是生活中常见的购物方案类应用题，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中数量需为正整数的隐含条件，考查了学生的逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
