1[中]如图,如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置,可以作为旋转中心的点有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

(第1题图)
(第2题图)

1.C 【解析】如图,正方形甲绕$A$点逆时针旋转$90°$,可到正方形乙的位置;绕$C$点顺时针旋转$90°$,可到正方形乙的位置;绕$AC$的中点$B$旋转$180°$,可到正方形乙的位置. 故选C.

2[中]如图,在等边$△ ABC$中,D是边AC上一动点,连接BD,将$△ BCD$绕点B逆时针旋转$60°$得到$△ BAE$,连接ED.若$BC=10$,则$△ AED$的周长的最小值是 ()

A.10
B.$10\sqrt{3}$
C.$10+5\sqrt{3}$
D.20

2.C 【解析】$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC=BC=10$,$∠ C=60°$. $\because$ 将$△ BCD$绕点$B$逆时针旋转$60°$得到$△ BAE$,$\therefore BD=BE$,$∠ DBE=60°$,$CD=AE$,$\therefore △ DBE$是等边三角形,$\therefore BD=BE=DE$,$\therefore △ AED$的周长为$AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD=10+BD$,$\therefore BD$的值最小时,$△ AED$的周长有最小值. 当$BD ⊥ AC$时,$BD$的值最小,此时$∠ DBC=90°-∠ C=30°$,$\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=5$,$\therefore BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=5\sqrt{3}$,$\therefore △ AED$的周长的最小值是$10+5\sqrt{3}$. 故选C.

3[2026江苏南京质检,较难]如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与射线OA,OB交于点M,N,则以下结论:①$PM=PN$恒成立;②$OM+ON$的值不变;③四边形$PMON$的面积不变;④$MN$的长不变,其中正确的为 ()

A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

(第3题图)
(第4题图)

3.B 【解析】如图,作$PE ⊥ OA$于$E$,$PF ⊥ OB$于$F$,$\therefore ∠ PEO=∠ PFO=90°$,$\therefore ∠ EPF+∠ AOB=180°$. $\because ∠ MPN+∠ AOB=180°$,$\therefore ∠ EPF=∠ MPN$,$\therefore ∠ EPM=∠ FPN$. $\because OP$平分$∠ AOB$,$PE ⊥ OA$于$E$,$PF ⊥ OB$于$F$,$\therefore PE=PF$. 在$\mathrm{Rt}△ POE$和$\mathrm{Rt}△ POF$中,$\begin{cases} OP=OP, \\ PE=PF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF(\mathrm{HL})$,$\therefore OE=OF$. 在$△ PEM$和$△ PFN$中,$\begin{cases} ∠ MPE=∠ NPF, \\ PE=PF, \\ ∠ PEM=∠ PFN=90°, \end{cases}$ $\therefore △ PEM ≌ △ PFN(\mathrm{ASA})$,$\therefore S_{△ PEM}=S_{△ PNF}$,$EM=NF$,$PM=PN$,故①正确. $S_{\mathrm{四边形}PMON}=S_{△ PEM}+S_{\mathrm{四边形}PEON}=S_{△ PNF}+S_{\mathrm{四边形}PEON}=S_{\mathrm{四边形}PEOF}=OE · PE$,是定值,故③正确. $OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE$,是定值,故②正确. 易知在旋转过程中,$△ PMN$是等腰三角形,且$∠ MPN$的大小不变,$PM=PN$,而$M,N$的位置变化,$\therefore MN$的长度是变化的,故④错误,故选B.

4 [2026 北京海淀区校级质检，中]如图，∠MON=30°，点P，Q在边ON上，OP=2，OQ=2−√2，将线段PQ绕点P顺时针旋转α(0°＜α＜180°)后，若点Q落在边OM上，则旋转角α的度数为。

4.$15°$或$105°$ 【解析】如图(1),当$PQ$旋转到$PA$位置,且点$A$在$OM$上时,过点$P$作$PD ⊥ OM$交$OM$于点$D$,则$∠ PDO=∠ PDM=90°$. $\because OP=2$,$∠ MON=30°$,$\therefore PD=\dfrac{1}{2}OP=1$. $\because PA=PQ=OP-OQ=2-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}$,$\therefore AD=\sqrt{AP^2-PD^2}=\sqrt{2-1}=1$,$\therefore PD=AD$,$\therefore ∠ APD=∠ DAP=45°$. 又$\because ∠ OPD=90°-∠ MON=90°-30°=60°$,$\therefore ∠ APQ=∠ OPD-∠ DPA=15°$,即$α=15°$. 如图(2),当$PQ$旋转到$PB$位置,且点$B$在$OM$上时,过点$P$作$PD ⊥ OM$交$OM$于点$D$,同理可证$∠ DPB=45°$,$\therefore ∠ OPB=∠ OPD+∠ DPB=105°$,即$α=105°$. 综上,若点$Q$落在边$OM$上,则旋转角$α$的度数为$15°$或$105°$. 故答案为$15°$或$105°$.

5[2025广东茂名期中,中]在△ABC中,∠ABC＜90°,将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转(转角不超过180°),得到△DBE,其中点A的对应点为点D,连接CE,CE//AB.
(1)如图(1),试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系,并给出证明;
(2)如图(2),若点D在边BC上,DC=2,AC=√19,求AB的长.

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5.【解】(1)$∠ ABC=∠ BEC$. 证明如下:
$\because$ 将$△ ABC$在平面内绕点$B$顺时针旋转(旋转角不超过$180°$),得到$△ DBE$,$\therefore BE=BC$,$\therefore ∠ BCE=∠ BEC$. $\because CE // AB$,$\therefore ∠ ABC=∠ BCE$,$\therefore ∠ ABC=∠ BEC$.
(2)如图,过点$D$作$DF ⊥ CE$于点$F$. $\because$ 将$△ ABC$在平面内绕点$B$顺时针旋转(旋转角不超过$180°$),得到$△ DBE$,$\therefore AC=DE=\sqrt{19}$,$BC=BE$,$∠ ABC=∠ DBE$,$AB=BD$,$\therefore ∠ BEC=∠ BCE$. $\because CE // AB$,$\therefore ∠ BCE=∠ ABC$,$\therefore ∠ DBE=∠ BEC=∠ BCE$,$\therefore △ BCE$是等边三角形,$\therefore BC=BE=EC$,$∠ DCE=60°$,$\therefore ∠ CDF=30°$,$\therefore CF=\dfrac{1}{2}CD=1$,$\therefore DF=\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{19-3}=4$,$\therefore CE=EF+CF=5=BC$,$\therefore BD=BC-CD=5-2=3=AB$,$\therefore AB$的长为3.

6 思想方法分类讨论[较难]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.
(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.

备用图

6.(1)【证明】由旋转可得,$AE=AB$,$∠ AEF=∠ ABC=∠ DAB=90°$,$EF=BC=AD$,$\therefore ∠ AEB=∠ ABE$. 又$\because ∠ ABE+∠ EDA=90°=∠ AEB+∠ DEF$,$\therefore ∠ EDA=∠ DEF$. 又$\because DE=ED$,$\therefore △ AED ≌ △ FDE(\mathrm{SAS})$,$\therefore DF=AE$. 又$\because AE=AB=CD$,$\therefore CD=DF$.
(2)【解】当$α$为$60°$或$300°$时,$GC=GB$. 理由如下:当$GB=GC$时,点$G$在$BC$的垂直平分线上. 分两种情况讨论:
①当点$G$在$AD$右侧时,取$BC$的中点$H$,连接$GH$交$AD$于$M$,连接$DG$,如图(1). $\because GC=GB$,$\therefore GH ⊥ BC$,$\therefore$ 四边形$ABHM$是矩形,$\therefore ∠ AMH=90°$,$AM=BH=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}AG$,$\therefore GM$垂直平分$AD$,$\therefore GD=GA=DA$,$\therefore △ ADG$是等边三角形,$\therefore ∠ DAG=60°$,$\therefore$ 旋转角$α=60°$.
②当点$G$在$AD$左侧时,如图(2),同理可得$△ ADG$是等边三角形,$\therefore ∠ DAG=60°$,$\therefore$ 旋转角$α=360°-60°=300°$. 综上,$α$的度数为$60°$或$300°$.