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例题 老师记录了全班40名学生1min跳绳的次数：
132 136 144 162 144 115 132 136
123 144 136 132 132 159 136 144
129 136 139 153 123 133 144 137
152 138 136 129 129 134 138 149
125 128 128 133 138 134 146 148
(1)求全班学生1min跳绳次数的四分位数。
(2)尝试用四分位数评估该班学生1min跳绳次数情况。
(3)如果小敏1min跳绳的次数为134次，那么她的跳绳水平处于班级什么位置？
(4)老师绘制了如图箱线图，根据如图中间的“箱子”被136分成了两部分，其中“下半截箱子”比较扁，这说明什么？
拆解剖析
四分位数与箱线图
$\begin{cases}考查点1:四分位数概念\begin{cases}下四分位数\ m_{25} \\中位数\ m_{50} \quad —先排序,再根据概念求\ m_{25},m_{50},m_{75} \\上四分位数\ m_{75} \end{cases} \\考查点2:四分位数应用\begin{cases}图2 \\判断出\ m_{25}＜134＜m_{50}来说明所处水平 \\利用\ m_{25},m_{50},m_{75}来说明整体情况 \end{cases} \\考查点3:箱线图应用—问题(4)根据“箱子”扁和高来说明数据离散程度\end{cases}$
答案:(1)将40名学生1min跳绳的次数从小到大排列为:115,123,123,125,128,128,129,129,129,132,132,132,132,133,133,134,134,136,136,136,136,136,136,137,138,138,138,139,144,144,144,144,144,146,148,149,152,153,159,162。$m_{25}=\frac{132+132}{2}=132$；$m_{50}=\frac{136+136}{2}=136$；$m_{75}=\frac{144+144}{2}=144$。(2)该班学生至少有25%的学生1min跳绳次数小于或等于132次；至少有50%的学生1min跳绳次数小于或等于136次；至少有25%的学生1min跳绳次数大于或等于144次。(3)因为$m_{25}＜134＜m_{50}$，所以小敏的跳绳水平比班级25%的学生好，但比50%的学生差，属于中等偏下。(4)“下半截箱子”比较扁，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小，即班级中有25%的数据集中在相对较小的范围内。这意味着跳绳次数在132(下四分位数)到136(中位数)之间的学生分布较为集中，波动较小。
练习
132 136 144 162 144 115 132 136
123 144 136 132 132 159 136 144
129 136 139 153 123 133 144 137
152 138 136 129 129 134 138 149
125 128 128 133 138 134 146 148
(1)求全班学生1min跳绳次数的四分位数。
(2)尝试用四分位数评估该班学生1min跳绳次数情况。
(3)如果小敏1min跳绳的次数为134次，那么她的跳绳水平处于班级什么位置？
(4)老师绘制了如图箱线图，根据如图中间的“箱子”被136分成了两部分，其中“下半截箱子”比较扁，这说明什么？
拆解剖析
四分位数与箱线图
$\begin{cases}考查点1:四分位数概念\begin{cases}下四分位数\ m_{25} \\中位数\ m_{50} \quad —先排序,再根据概念求\ m_{25},m_{50},m_{75} \\上四分位数\ m_{75} \end{cases} \\考查点2:四分位数应用\begin{cases}图2 \\判断出\ m_{25}＜134＜m_{50}来说明所处水平 \\利用\ m_{25},m_{50},m_{75}来说明整体情况 \end{cases} \\考查点3:箱线图应用—问题(4)根据“箱子”扁和高来说明数据离散程度\end{cases}$
答案:(1)将40名学生1min跳绳的次数从小到大排列为:115,123,123,125,128,128,129,129,129,132,132,132,132,133,133,134,134,136,136,136,136,136,136,137,138,138,138,139,144,144,144,144,144,146,148,149,152,153,159,162。$m_{25}=\frac{132+132}{2}=132$；$m_{50}=\frac{136+136}{2}=136$；$m_{75}=\frac{144+144}{2}=144$。(2)该班学生至少有25%的学生1min跳绳次数小于或等于132次；至少有50%的学生1min跳绳次数小于或等于136次；至少有25%的学生1min跳绳次数大于或等于144次。(3)因为$m_{25}＜134＜m_{50}$，所以小敏的跳绳水平比班级25%的学生好，但比50%的学生差，属于中等偏下。(4)“下半截箱子”比较扁，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小，即班级中有25%的数据集中在相对较小的范围内。这意味着跳绳次数在132(下四分位数)到136(中位数)之间的学生分布较为集中，波动较小。
练习
答案
(1)将40名学生1min跳绳的次数从小到大排列为:115,123,123,125,128,128,129,129,129,132,132,132,132,133,133,134,134,136,136,136,136,136,136,137,138,138,138,139,144,144,144,144,144,146,148,149,152,153,159,162。$m_{25}=\frac{132+132}{2}=132$；$m_{50}=\frac{136+136}{2}=136$；$m_{75}=\frac{144+144}{2}=144$。
(2)该班学生至少有25%的学生1min跳绳次数小于或等于132次；至少有50%的学生1min跳绳次数小于或等于136次；至少有25%的学生1min跳绳次数大于或等于144次。
(3)因为$m_{25}＜134＜m_{50}$，所以小敏的跳绳水平比班级25%的学生好，但比50%的学生差，属于中等偏下。
(4)“下半截箱子”比较扁，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小，即班级中有25%的数据集中在相对较小的范围内。这意味着跳绳次数在132(下四分位数)到136(中位数)之间的学生分布较为集中，波动较小。
(2)该班学生至少有25%的学生1min跳绳次数小于或等于132次；至少有50%的学生1min跳绳次数小于或等于136次；至少有25%的学生1min跳绳次数大于或等于144次。
(3)因为$m_{25}＜134＜m_{50}$，所以小敏的跳绳水平比班级25%的学生好，但比50%的学生差，属于中等偏下。
(4)“下半截箱子”比较扁，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小，即班级中有25%的数据集中在相对较小的范围内。这意味着跳绳次数在132(下四分位数)到136(中位数)之间的学生分布较为集中，波动较小。
1.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名。在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（第75百分位数）和下四分位数（第25百分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）。图2为某地区的一部分数据，图3是根据数据制作的箱线图。则分析错误的是 ……………………（
A.箱线图最高处代表这一组数据的最大值是88.31％
B.该组数值的中位数在80％以上
C.该组数值的上四分位数为87.20％
D.该组数值的下四分位数是82％
D
）A.箱线图最高处代表这一组数据的最大值是88.31％
B.该组数值的中位数在80％以上
C.该组数值的上四分位数为87.20％
D.该组数值的下四分位数是82％
答案
1.D 解析:将数据从小到大排列:80.65%,84.09%,84.36%,84.58%,84.63%,85.34%,85.52%,85.75%,86.26%,87.02%,87.20%,87.30%,87.34%,88.31%。对于A,可以看出最大值是88.31%,所以箱线图最高处代表这一组数据的最大值是88.31%,故A正确;对于B,总共有14个数,中位数是第7和第8两个数的平均值,所以中间两个数是85.52%和85.75%的平均值$\frac{1}{2}×(85.52\%+85.75\%)=85.635\%＞80\%$,故B正确;对于C,该组数值的上四分位数为处于75%位置的数,即上四分位数是第11个数87.20%,故C正确;对于D,下四分位数为处于25%位置的数,即下四分位数是第4个数84.58%,故D不正确。故选:D。
