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7.如图,正比例函数$y_1=k_1x$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A(\sqrt{3},2\sqrt{3})$,点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,连接OB,AB,则$△ AOB$的面积是（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
C
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
7.C [解析]
∵正比例函数$y_1=k_1x$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A(\sqrt{3},2\sqrt{3}),\therefore 2\sqrt{3}=\sqrt{3}k_1,2\sqrt{3}=\frac{k_2}{\sqrt{3}},\therefore k_1=2,k_2=6,\therefore$正比例函数为$y_1=2x$,反比例函数为$y_2=\frac{6}{x}$.
∵点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,$\therefore y_2=\frac{6}{3}=2,\therefore B(3,2)$.过点B作$BD// x$轴交OA于点D(图略).当$2=2x$时,$x=1$,则$D(1,2),\therefore BD=3-1=2$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ ABD}+S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×2×(2\sqrt{3}-2)+\frac{1}{2}×2×2=2\sqrt{3}$.
∵正比例函数$y_1=k_1x$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A(\sqrt{3},2\sqrt{3}),\therefore 2\sqrt{3}=\sqrt{3}k_1,2\sqrt{3}=\frac{k_2}{\sqrt{3}},\therefore k_1=2,k_2=6,\therefore$正比例函数为$y_1=2x$,反比例函数为$y_2=\frac{6}{x}$.
∵点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,$\therefore y_2=\frac{6}{3}=2,\therefore B(3,2)$.过点B作$BD// x$轴交OA于点D(图略).当$2=2x$时,$x=1$,则$D(1,2),\therefore BD=3-1=2$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ ABD}+S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×2×(2\sqrt{3}-2)+\frac{1}{2}×2×2=2\sqrt{3}$.
8.如图在平面直角坐标系$xOy$中，直线$AB$：$y=x-2$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，与$x$轴相交于点$C$，已知点$A$，$B$的坐标分别为$(3n,n)$和$(m,-3)$.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请写出不等式$x-2＞\dfrac{k}{x}$的解集；
(3)点$P$为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象上的任意一点，若$S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$，求点$P$的坐标.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请写出不等式$x-2＞\dfrac{k}{x}$的解集；
(3)点$P$为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象上的任意一点，若$S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$，求点$P$的坐标.
答案
8.解:(1)把点$A(3n,n)$代入直线$y=x-2$,得$n=3n-2$,解得$n=1$,$\therefore$点A的坐标为$(3,1)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点A,$\therefore k=3×1=3$,即反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$.
(2)把点$B(m,-3)$代入直线$y=x-2$,得$-3=m-2$,解得$m=-1$,$\therefore B(-1,-3)$.观察函数图象发现,当$-1＜x＜0$或$x＞3$时,一次函数图象在反比例函数图象的上方,$\therefore$不等式$x-2＞\frac{k}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$.
(3)把$y=0$代入$y=x-2$,得$x-2=0$,解得$x=2$,即点C的坐标为$(2,0)$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×2×1=1$.$\because S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$,$\therefore S_{△ POC}=\frac{1}{2}OC·|y_P|=3$,即$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$,$\therefore |y_P|=3$.
当点P的纵坐标为3时,则$3=\frac{3}{x}$,解得$x=1$,当点P的纵坐标为$-3$时,则$-3=\frac{3}{x}$,解得$x=-1$,$\therefore$点P的坐标为$(1,3)$或$(-1,-3)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点A,$\therefore k=3×1=3$,即反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$.
(2)把点$B(m,-3)$代入直线$y=x-2$,得$-3=m-2$,解得$m=-1$,$\therefore B(-1,-3)$.观察函数图象发现,当$-1＜x＜0$或$x＞3$时,一次函数图象在反比例函数图象的上方,$\therefore$不等式$x-2＞\frac{k}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$.
(3)把$y=0$代入$y=x-2$,得$x-2=0$,解得$x=2$,即点C的坐标为$(2,0)$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×2×1=1$.$\because S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$,$\therefore S_{△ POC}=\frac{1}{2}OC·|y_P|=3$,即$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$,$\therefore |y_P|=3$.
当点P的纵坐标为3时,则$3=\frac{3}{x}$,解得$x=1$,当点P的纵坐标为$-3$时,则$-3=\frac{3}{x}$,解得$x=-1$,$\therefore$点P的坐标为$(1,3)$或$(-1,-3)$.
9.如图，直线$y=\frac{1}{2}x+1$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象的交点分别为P,Q，且点P的坐标为$(a,2)$，过点P作$PB⊥x$轴，垂足为B.直线$y=\frac{1}{2}x+1$与x轴交于点A，与y轴交于点C.
(1)求k的值；
(2)若点D是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点，且在点P的右侧，连接PD,OP,OD，若$S_{△ POD}=S_{四边形PBOC}$，求点D的坐标.
(1)求k的值；
(2)若点D是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点，且在点P的右侧，连接PD,OP,OD，若$S_{△ POD}=S_{四边形PBOC}$，求点D的坐标.
答案
9.解:(1)
∵直线$y=\frac{1}{2}x+1$过点$P(a,2)$,$\therefore \frac{1}{2}a+1=2$,解得$a=2$,$\therefore P(2,2)$.将点P的坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得$2=\frac{k}{2}$,解得$k=4$.
(2)如图,过点D作$DH⊥ x$轴.
在一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$中,令$x=0$,得$y=1$,$\therefore C(0,1)$.$\because P(2,2)$,$PB⊥ x$轴,$\therefore S_{△ POD}=S_{四边形PBOC}=\frac{1}{2}×(1+2)×2=3$.
∵点P,D在函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,$PB⊥ x$轴,$DH⊥ x$轴,$\therefore S_{△ OPB}=S_{△ ODH}$.$\because S_{四边形OPDH}=S_{△ OPB}+S_{梯形PBHD}=S_{△ ODH}+S_{△ OPD}$,$\therefore S_{梯形PBHD}=S_{△ OPD}=3$.设$D(t,\frac{4}{t})$,则$\frac{1}{2}×(2+\frac{4}{t})(t-2)=3$,解得$t=4$或$t=-1$.
∵点D在点P的右侧,$\therefore t=4$,$\therefore D(4,1)$.
