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三、解答题(共50分)
11. (20分)计算:
(1) $13+59.8-12\frac{1}{5}-30\frac{4}{5}-8.1$；
(2) $-2^4-(-3+7)^2-(-1)^2×(-2)$；
(3) $-81÷2\frac{1}{4}×|-\frac{4}{9}|-28÷(-\frac{7}{4})$；
(4) $(-2×\frac{1}{2})^{101}×3+[(-3)^3-3^3]$。
11. (20分)计算:
(1) $13+59.8-12\frac{1}{5}-30\frac{4}{5}-8.1$；
(2) $-2^4-(-3+7)^2-(-1)^2×(-2)$；
(3) $-81÷2\frac{1}{4}×|-\frac{4}{9}|-28÷(-\frac{7}{4})$；
(4) $(-2×\frac{1}{2})^{101}×3+[(-3)^3-3^3]$。
答案
11. (1) 21.7 (2) -30 (3) 0 (4) -57
解析
【分析】
这是一组有理数混合运算题，解题时先明确运算规则：运算顺序上先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右依次计算。计算时可观察数字特征，灵活运用加法结合律等运算律凑整简化计算，同时重点注意符号判断，避免符号类错误。
【解析】
(1) 先将分数统一化为小数，再利用加法结合律凑整计算：
$\begin{aligned}原式&=13 + 59.8 - 12.2 - 30.8 - 8.1\\&=13 + 59.8 - (12.2 + 30.8) - 8.1\\&=13 + 59.8 - 43 - 8.1\\&=72.8 - 43 - 8.1\\&=29.8 - 8.1\\&=21.7\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和括号内的运算，再依次计算加减（注意$-2^4$表示$2^4$的相反数，不是$(-2)^4$）：
$\begin{aligned}原式&=-16 - 4^2 - 1×(-2)\\&=-16 - 16 + 2\\&=-32 + 2\\&=-30\end{aligned}$
(3) 先将带分数化为假分数、化简绝对值，再将除法转化为乘法计算，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-81 ÷ \frac{9}{4} × \frac{4}{9} - 28 ÷ (-\frac{7}{4})\\&=-81 × \frac{4}{9} × \frac{4}{9} + 28 × \frac{4}{7}\\&=-16 + 16\\&=0\end{aligned}$
(4) 先算括号内的乘法和乘方运算，再依次计算乘法、加减：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{101} × 3 + [(-27) - 27]\\&=(-1)×3 + (-54)\\&=-3 - 54\\&=-57\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{21.7}$；(2) $\boxed{-30}$；(3) $\boxed{0}$；(4) $\boxed{-57}$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题的核心是牢记运算顺序，重点规避易出错的符号问题，比如乘方的底数是否带负号、除法变乘法时符号的变化，合理使用运算律能有效减少计算量，提升计算正确率。
【难度系数】
0.7
这是一组有理数混合运算题，解题时先明确运算规则：运算顺序上先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右依次计算。计算时可观察数字特征，灵活运用加法结合律等运算律凑整简化计算，同时重点注意符号判断，避免符号类错误。
【解析】
(1) 先将分数统一化为小数，再利用加法结合律凑整计算：
$\begin{aligned}原式&=13 + 59.8 - 12.2 - 30.8 - 8.1\\&=13 + 59.8 - (12.2 + 30.8) - 8.1\\&=13 + 59.8 - 43 - 8.1\\&=72.8 - 43 - 8.1\\&=29.8 - 8.1\\&=21.7\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和括号内的运算，再依次计算加减（注意$-2^4$表示$2^4$的相反数，不是$(-2)^4$）：
$\begin{aligned}原式&=-16 - 4^2 - 1×(-2)\\&=-16 - 16 + 2\\&=-32 + 2\\&=-30\end{aligned}$
(3) 先将带分数化为假分数、化简绝对值，再将除法转化为乘法计算，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-81 ÷ \frac{9}{4} × \frac{4}{9} - 28 ÷ (-\frac{7}{4})\\&=-81 × \frac{4}{9} × \frac{4}{9} + 28 × \frac{4}{7}\\&=-16 + 16\\&=0\end{aligned}$
(4) 先算括号内的乘法和乘方运算，再依次计算乘法、加减：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{101} × 3 + [(-27) - 27]\\&=(-1)×3 + (-54)\\&=-3 - 54\\&=-57\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{21.7}$；(2) $\boxed{-30}$；(3) $\boxed{0}$；(4) $\boxed{-57}$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题的核心是牢记运算顺序，重点规避易出错的符号问题，比如乘方的底数是否带负号、除法变乘法时符号的变化，合理使用运算律能有效减少计算量，提升计算正确率。
【难度系数】
0.7
12. (14分)可可在计算$-\frac{7}{8}+■$时，由于不小心，后面的加数被墨水污染.
(1) 可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将$-\frac{7}{8}$后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为$\frac{3}{4}$，请求出被墨水污染的这个数；
(2) 请你正确计算此道题.
(1) 可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将$-\frac{7}{8}$后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为$\frac{3}{4}$，请求出被墨水污染的这个数；
(2) 请你正确计算此道题.
答案
12. (1) 由题意,得被墨水污染的这个数为
$-\frac{7}{8}÷\frac{3}{4}=-\frac{7}{8}×\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$
(2) $-\frac{7}{8}+(-\frac{7}{6})=-\frac{7}{8}-\frac{7}{6}=-\frac{49}{24}$
$-\frac{7}{8}÷\frac{3}{4}=-\frac{7}{8}×\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$
(2) $-\frac{7}{8}+(-\frac{7}{6})=-\frac{7}{8}-\frac{7}{6}=-\frac{49}{24}$
解析
【分析】
(1) 乐乐误将“+”看成“÷”，得到运算关系：$-\frac{7}{8} ÷ \mathrm{被污染的数} = \frac{3}{4}$。根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，用被除数$-\frac{7}{8}$除以错误结果$\frac{3}{4}$，即可求出被污染的数。
(2) 求出被污染的数后，代入原式的正确加法运算，先对异分母分数通分，再按照有理数加法规则计算即可，注意运算符号的判断。
【解析】
(1) 根据乐乐的错误运算可得：
$\mathrm{被污染的数} = -\frac{7}{8} ÷ \frac{3}{4}$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数：
$= -\frac{7}{8} × \frac{4}{3} = -\frac{7}{6}$
(2) 将被污染的数$-\frac{7}{6}$代入原式计算：
$-\frac{7}{8} + (-\frac{7}{6}) = -\frac{7}{8} - \frac{7}{6}$
取8和6的最小公倍数24通分：
$= -\frac{21}{24} - \frac{28}{24} = -\frac{49}{24}$
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{7}{6}}$
(2) $\boxed{-\dfrac{49}{24}}$
【知识点】
有理数除法；有理数加法；错中求解
【点评】
本题是基础运算类题目，解题关键是先根据错误的运算逻辑反向推导未知加数，再代入正确式子计算。运算时要注意分数运算的符号规则和通分的准确性，避免粗心失误。
【难度系数】
0.8
(1) 乐乐误将“+”看成“÷”，得到运算关系：$-\frac{7}{8} ÷ \mathrm{被污染的数} = \frac{3}{4}$。根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，用被除数$-\frac{7}{8}$除以错误结果$\frac{3}{4}$，即可求出被污染的数。
(2) 求出被污染的数后，代入原式的正确加法运算，先对异分母分数通分，再按照有理数加法规则计算即可，注意运算符号的判断。
【解析】
(1) 根据乐乐的错误运算可得：
$\mathrm{被污染的数} = -\frac{7}{8} ÷ \frac{3}{4}$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数：
$= -\frac{7}{8} × \frac{4}{3} = -\frac{7}{6}$
(2) 将被污染的数$-\frac{7}{6}$代入原式计算：
$-\frac{7}{8} + (-\frac{7}{6}) = -\frac{7}{8} - \frac{7}{6}$
取8和6的最小公倍数24通分：
$= -\frac{21}{24} - \frac{28}{24} = -\frac{49}{24}$
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{7}{6}}$
(2) $\boxed{-\dfrac{49}{24}}$
【知识点】
有理数除法；有理数加法；错中求解
【点评】
本题是基础运算类题目，解题关键是先根据错误的运算逻辑反向推导未知加数，再代入正确式子计算。运算时要注意分数运算的符号规则和通分的准确性，避免粗心失误。
【难度系数】
0.8
13. (16分)观察下面的两个等式：$5+\frac{1}{4}=5×\frac{1}{4}+4$，$6+\frac{2}{5}=6×\frac{2}{5}+4$。给出定义如下：若对于数对$(a,b)$，使等式$a+b=ab+4$成立，则称数对$(a,b)$是“4相关数对”，如：$2+(-2)=2×(-2)+4$，所以数对$(2,-2)$是“4相关数对”。
(1) 数对$(3,-\frac{1}{2})$，$(1,1)$中是“4相关数对”的为
(2) 一名同学，在数对$(m,n)$和$(-m,-n)$都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论，结论一：$m$和$n$互为相反数；结论二：$m$和$n$互为倒数。请你判断这两条结论是否正确，并说明理由。
(1) 数对$(3,-\frac{1}{2})$，$(1,1)$中是“4相关数对”的为
$(3,-\dfrac{1}{2})$
。(2) 一名同学，在数对$(m,n)$和$(-m,-n)$都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论，结论一：$m$和$n$互为相反数；结论二：$m$和$n$互为倒数。请你判断这两条结论是否正确，并说明理由。
答案
13. (1) $(3,-\dfrac{1}{2})$ (2) 结论一正确,结论二错误 理由:因为数对$(m,n)$和$(-m,-n)$都是“4相关数对”,所以$m+n=mn+4,-m-n=mn+4$. 所以$m+n=-(m+n)$. 所以$2(m+n)=0$,即$m+n=0$. 所以$m$和$n$互为相反数. 所以$mn+4=0$,即$mn=-4$. 所以$m$和$n$不互为倒数. 所以结论一正确,结论二错误.
解析
【分析】
（1）解决第一小问的核心是准确理解“4相关数对”的定义：只要将数对中的两个数分别代入等式$a+b=ab+4$的左右两边，若两边计算结果相等，则该数对是“4相关数对”，反之则不是，依次验证两个数对即可。
（2）解决第二小问的思路是：先根据“4相关数对”的定义，将$(m,n)$和$(-m,-n)$分别代入等式，得到两个关于$m$、$n$的方程，再联立两个方程推导$m$和$n$的和与乘积的特征，结合相反数（和为0）、倒数（乘积为1）的定义判断两个结论是否正确。
【解析】
（1）验证数对$(3,-\frac{1}{2})$：
左边$a+b=3+(-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$，
右边$ab+4=3×(-\frac{1}{2})+4=-\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{5}{2}$，
左边=右边，因此$(3,-\frac{1}{2})$是“4相关数对”。
验证数对$(1,1)$：
左边$a+b=1+1=2$，
右边$ab+4=1×1+4=5$，
左边≠右边，因此$(1,1)$不是“4相关数对”。
（2）判断结论：
∵数对$(m,n)$是“4相关数对”，
∴$m+n=mn+4$ ①，
∵数对$(-m,-n)$是“4相关数对”，
∴$-m+(-n)=(-m)×(-n)+4$，整理得：$-m-n=mn+4$ ②，
联立①②可得：$m+n=-m-n$，
移项合并得：$2(m+n)=0$，即$m+n=0$，
∴$m$和$n$互为相反数，结论一正确。
将$m+n=0$代入①得：$0=mn+4$，解得$mn=-4$，
互为倒数的两个数乘积为1，$-4≠1$，因此$m$和$n$不互为倒数，结论二错误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-\dfrac{1}{2})}$
(2) 结论一正确，结论二错误，理由见解析。
【知识点】
新定义运算、代数式求值、相反数与倒数的定义
【点评】
本题以新定义为载体，考查了整式的基础运算和基础概念的应用，解题的关键是准确理解新定义的规则，正确代入数对列出等式后，通过联立等式推导变量关系，计算难度较低，注意代入计算时符号不要出错即可。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一小问的核心是准确理解“4相关数对”的定义：只要将数对中的两个数分别代入等式$a+b=ab+4$的左右两边，若两边计算结果相等，则该数对是“4相关数对”，反之则不是，依次验证两个数对即可。
（2）解决第二小问的思路是：先根据“4相关数对”的定义，将$(m,n)$和$(-m,-n)$分别代入等式，得到两个关于$m$、$n$的方程，再联立两个方程推导$m$和$n$的和与乘积的特征，结合相反数（和为0）、倒数（乘积为1）的定义判断两个结论是否正确。
【解析】
（1）验证数对$(3,-\frac{1}{2})$：
左边$a+b=3+(-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$，
右边$ab+4=3×(-\frac{1}{2})+4=-\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{5}{2}$，
左边=右边，因此$(3,-\frac{1}{2})$是“4相关数对”。
验证数对$(1,1)$：
左边$a+b=1+1=2$，
右边$ab+4=1×1+4=5$，
左边≠右边，因此$(1,1)$不是“4相关数对”。
（2）判断结论：
∵数对$(m,n)$是“4相关数对”，
∴$m+n=mn+4$ ①，
∵数对$(-m,-n)$是“4相关数对”，
∴$-m+(-n)=(-m)×(-n)+4$，整理得：$-m-n=mn+4$ ②，
联立①②可得：$m+n=-m-n$，
移项合并得：$2(m+n)=0$，即$m+n=0$，
∴$m$和$n$互为相反数，结论一正确。
将$m+n=0$代入①得：$0=mn+4$，解得$mn=-4$，
互为倒数的两个数乘积为1，$-4≠1$，因此$m$和$n$不互为倒数，结论二错误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-\dfrac{1}{2})}$
(2) 结论一正确，结论二错误，理由见解析。
【知识点】
新定义运算、代数式求值、相反数与倒数的定义
【点评】
本题以新定义为载体，考查了整式的基础运算和基础概念的应用，解题的关键是准确理解新定义的规则，正确代入数对列出等式后，通过联立等式推导变量关系，计算难度较低，注意代入计算时符号不要出错即可。
【难度系数】
0.7
