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1[中]已知正比例函数$y=(m-2)x$的图象上两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，当$x_1-x_2＜0$时，$y_1-y_2＞0$，那么$m$的取值范围是（
A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$m＜0$
D.$m＞0$
A
）A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$m＜0$
D.$m＞0$
答案
1.A 【解析】已知正比例函数 $y=(m-2)x$ 的图象上两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当 $x_1-x_2＜0$ 时,$y_1-y_2＞0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,所以 $m-2＜0$,则 $m＜2$. 故选 A.
解析
【分析】
首先处理题目给出的变量大小关系：由$x_1-x_2＜0$可得$x_1＜x_2$，结合此时$y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，可判断出该正比例函数的增减性为$y$随$x$的增大而减小。再根据正比例函数$y=kx$的性质：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此本题中比例系数$m-2$小于0，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知当$x_1-x_2＜0$时，$y_1-y_2＞0$，
即当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴正比例函数$y=(m-2)x$中，$y$随$x$的增大而减小，
根据正比例函数性质，可得比例系数$m-2＜0$，
解不等式得：$m＜2$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查正比例函数的增减性与比例系数的对应关系，解题关键是根据给定的变量大小关系准确判断函数的增减性，再列不等式求解，属于基础类的性质应用题，熟练掌握正比例函数的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先处理题目给出的变量大小关系：由$x_1-x_2＜0$可得$x_1＜x_2$，结合此时$y_1-y_2＞0$即$y_1＞y_2$，可判断出该正比例函数的增减性为$y$随$x$的增大而减小。再根据正比例函数$y=kx$的性质：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此本题中比例系数$m-2$小于0，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知当$x_1-x_2＜0$时，$y_1-y_2＞0$，
即当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴正比例函数$y=(m-2)x$中，$y$随$x$的增大而减小，
根据正比例函数性质，可得比例系数$m-2＜0$，
解不等式得：$m＜2$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查正比例函数的增减性与比例系数的对应关系，解题关键是根据给定的变量大小关系准确判断函数的增减性，再列不等式求解，属于基础类的性质应用题，熟练掌握正比例函数的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2[中]如图,点B在直线$y=2x$上,过点B作$BA⊥x$轴于点A,作$BC// x$轴与直线$y=kx(k≠0)$交于点C,若$AB:BC=1:2$,则k的值是(
A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{5}$
(第2题图)
(第3题图)
D
)A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{5}$
(第2题图)
(第3题图)
答案
2.D 【解析】设 $OA=a$. 因为点 B 在直线 $y=2x$ 上,$BA⊥x$ 轴,所以 $y=2a$,所以 $AB=2a$. 因为 $AB:BC=1:2$,所以 $BC=4a$. 因为 $BC// x$ 轴,所以 $C(5a,2a)$. 因为点 C 在直线 $y=kx(k≠0)$ 上,所以 $2a=5ak$,所以 $k=\frac{2}{5}$,故选 D.
解析
【分析】
解题时可以先设OA的长度为参数a，利用点B在正比例函数y=2x上的性质，求出AB的长度；再结合AB:BC=1:2的比例关系得到BC的长度，根据BC平行于x轴的特点，推出点C的横、纵坐标；最后把点C坐标代入正比例函数y=kx，即可求出k的值。
【解析】
设$OA=a$，
∵ 点B在直线$y=2x$上，且$BA⊥x$轴，
∴ 点B的横坐标为a，代入$y=2x$得纵坐标为$2a$，即$AB=2a$，
∵ $AB:BC=1:2$，
∴ $BC=2AB=2×2a=4a$，
∵ $BC// x$轴，
∴ 点C的纵坐标与点B相同为$2a$，横坐标为$OA+BC=a+4a=5a$，即点C坐标为$(5a,2a)$，
将$C(5a,2a)$代入$y=kx$得：$2a=5ak$，
∵ $a≠0$，两边同时除以a得$5k=2$，解得$k=\frac{2}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质，点与函数图象的关系，坐标与图形性质
【点评】
本题是正比例函数的典型题型，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式，结合线段的位置和比例关系求出未知点的坐标，再代入解析式求解未知参数，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
解题时可以先设OA的长度为参数a，利用点B在正比例函数y=2x上的性质，求出AB的长度；再结合AB:BC=1:2的比例关系得到BC的长度，根据BC平行于x轴的特点，推出点C的横、纵坐标；最后把点C坐标代入正比例函数y=kx，即可求出k的值。
【解析】
设$OA=a$，
∵ 点B在直线$y=2x$上，且$BA⊥x$轴，
∴ 点B的横坐标为a，代入$y=2x$得纵坐标为$2a$，即$AB=2a$，
∵ $AB:BC=1:2$，
∴ $BC=2AB=2×2a=4a$，
∵ $BC// x$轴，
∴ 点C的纵坐标与点B相同为$2a$，横坐标为$OA+BC=a+4a=5a$，即点C坐标为$(5a,2a)$，
将$C(5a,2a)$代入$y=kx$得：$2a=5ak$，
∵ $a≠0$，两边同时除以a得$5k=2$，解得$k=\frac{2}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质，点与函数图象的关系，坐标与图形性质
【点评】
本题是正比例函数的典型题型，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式，结合线段的位置和比例关系求出未知点的坐标，再代入解析式求解未知参数，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
3 新考向跨学科综合 [2025 江西吉安期末,中]如图表示光线从空气进入水中时的光路图,若按如图所示的方式建立平面直角坐标系,并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为$y_1=k_1x,y_2=k_2x$,则关于$k_1$与$k_2$的关系,下列说法正确的是 (
A.$k_1＞0,k_2＜0$
B.$k_1＞0,k_2＞0$
C.$|k_1|＞|k_2|$
D.$k_1 -k_2＞0$
D
)A.$k_1＞0,k_2＜0$
B.$k_1＞0,k_2＞0$
C.$|k_1|＞|k_2|$
D.$k_1 -k_2＞0$
答案
3.D 【解析】由题图可知,$y_1$ 随 $x$ 的增大而减小,$y_2$ 随 $x$ 的增大而减小,所以 $k_1＜0,k_2＜0$,故选项 A,B 错误;根据直线越陡,$|k|$ 越大可知,$|k_1|＜|k_2|$,所以 $k_1＞k_2$,所以 $k_1-k_2＞0$,故选项 C 错误,选项 D 正确.故选 D.
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：$k$的正负决定函数的增减性和图象经过的象限，$|k|$的大小决定直线的倾斜程度。首先观察两条直线经过的象限，判断$k_1$、$k_2$的正负，排除不符合的选项；再对比两条直线的倾斜程度，判断$|k_1|$和$|k_2|$的大小关系，结合负数比较大小的规则，判断$k_1$和$k_2$的大小，最终选出正确选项。
【解析】
根据正比例函数的图象性质分析：
1. 观察图象可知，直线$y_1$、$y_2$均经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，故A、B选项错误。
2. 正比例函数$y=kx$中，$|k|$越大，直线的倾斜程度越大（越陡）。由图可知$y_2$比$y_1$更陡，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 因为$k_1$、$k_2$均为负数，负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$k_2＜k_1$，移项可得$k_1 - k_2＞0$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；正比例函数k的几何意义；负数的大小比较
【点评】
本题是跨学科综合题，结合光的折射场景考查正比例函数的相关性质，解题的核心是掌握正比例函数中$k$的正负、$|k|$的大小对应的图象特征，同时要注意负数比较大小的规则，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：$k$的正负决定函数的增减性和图象经过的象限，$|k|$的大小决定直线的倾斜程度。首先观察两条直线经过的象限，判断$k_1$、$k_2$的正负，排除不符合的选项；再对比两条直线的倾斜程度，判断$|k_1|$和$|k_2|$的大小关系，结合负数比较大小的规则，判断$k_1$和$k_2$的大小，最终选出正确选项。
【解析】
根据正比例函数的图象性质分析：
1. 观察图象可知，直线$y_1$、$y_2$均经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，故A、B选项错误。
2. 正比例函数$y=kx$中，$|k|$越大，直线的倾斜程度越大（越陡）。由图可知$y_2$比$y_1$更陡，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 因为$k_1$、$k_2$均为负数，负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$k_2＜k_1$，移项可得$k_1 - k_2＞0$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；正比例函数k的几何意义；负数的大小比较
【点评】
本题是跨学科综合题，结合光的折射场景考查正比例函数的相关性质，解题的核心是掌握正比例函数中$k$的正负、$|k|$的大小对应的图象特征，同时要注意负数比较大小的规则，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.6
4[2026福建三明期中,中]将$6×6$的正方形网格放置在如图所示的平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形$ABCD$的顶点都在格点上,若直线$y=kx(k≠0)$与正方形$ABCD$有公共点,则$k$的值不可能是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
4.D 【解析】由图象可知 $A(1,2),C(2,1)$,把 A 的坐标代入 $y=kx$ 中,得 $k=2$,把 C 的坐标代入 $y=kx$ 中,得 $k=\frac{1}{2}$,所以当 $\frac{1}{2}≤k≤2$ 时,直线 $y=kx(k≠0)$ 与正方形 $ABCD$ 有公共点,所以 $k$ 的值不可能是 $\frac{5}{2}$,故选 D.
解析
【分析】
要解决该问题，可按以下思路推导：首先正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，$k$的大小决定直线倾斜程度，$k$越大直线越陡。要使直线与正方形$ABCD$有公共点，只需找到直线刚好经过正方形两个对角顶点时的$k$值，这两个值就是$k$的临界值，由此可得到$k$的取值范围，最后对比选项找出不在范围内的$k$即可。解题步骤为：先读取正方形对角顶点的格点坐标，再将坐标代入$y=kx$求出临界$k$值，接着确定$k$的取值范围，最后判断选项。
【解析】
由图象可得正方形$ABCD$的顶点坐标：$A(1,2)$，$C(2,1)$。
1. 当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1$，$y=2$代入解析式得：
$2=k×1$，解得$k=2$；
2. 当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2$，$y=1$代入解析式得：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此当$\frac{1}{2}≤ k≤2$时，直线$y=kx(k≠0)$与正方形$ABCD$有公共点。
对比选项：$\frac{1}{2}$、$1$、$\frac{3}{2}$都在$\frac{1}{2}≤ k≤2$的范围内，只有$\frac{5}{2}=2.5＞2$，不在该范围内，故$k$不可能是$\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数性质；待定系数法；函数图象交点
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是通过求解直线过正方形顶点的临界$k$值确定取值范围，需要准确读取格点坐标，掌握正比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，可按以下思路推导：首先正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，$k$的大小决定直线倾斜程度，$k$越大直线越陡。要使直线与正方形$ABCD$有公共点，只需找到直线刚好经过正方形两个对角顶点时的$k$值，这两个值就是$k$的临界值，由此可得到$k$的取值范围，最后对比选项找出不在范围内的$k$即可。解题步骤为：先读取正方形对角顶点的格点坐标，再将坐标代入$y=kx$求出临界$k$值，接着确定$k$的取值范围，最后判断选项。
【解析】
由图象可得正方形$ABCD$的顶点坐标：$A(1,2)$，$C(2,1)$。
1. 当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1$，$y=2$代入解析式得：
$2=k×1$，解得$k=2$；
2. 当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2$，$y=1$代入解析式得：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此当$\frac{1}{2}≤ k≤2$时，直线$y=kx(k≠0)$与正方形$ABCD$有公共点。
对比选项：$\frac{1}{2}$、$1$、$\frac{3}{2}$都在$\frac{1}{2}≤ k≤2$的范围内，只有$\frac{5}{2}=2.5＞2$，不在该范围内，故$k$不可能是$\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数性质；待定系数法；函数图象交点
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是通过求解直线过正方形顶点的临界$k$值确定取值范围，需要准确读取格点坐标，掌握正比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
5[2026 四川资阳期末,较难]如图,在平面直角坐标系中,点$A_1(1,\dfrac{1}{2})$在过原点的直线$l_1$上,以点$O$为圆心,$OA_1$的长为半径画弧交直线$l_2:y=2x$于点$B_1$,过点$B_1$作$B_1A_2// x$轴交$l_1$于点$A_2$;以点$O$为圆心,$OA_2$的长为半径画弧交直线$l_2$于点$B_2$,过点$B_2$作$B_2A_3// x$轴交$l_1$于点$A_3$;$···$按此规律,则点$B_{2025}$的坐标为 (
A.$(2^{2023},2^{2025})$
B.$(2^{2024},2^{2025})$
C.$(2^{2023},2^{2024})$
D.$(2^{2022},2^{2023})$
C
)A.$(2^{2023},2^{2025})$
B.$(2^{2024},2^{2025})$
C.$(2^{2023},2^{2024})$
D.$(2^{2022},2^{2023})$
答案
5.C 【解析】因为 $A_1(1,\frac{1}{2})$,所以 $OA_1=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,$l_1:y=\frac{1}{2}x$. 因为 $B_1$ 在直线 $l_2:y=2x$ 上,所以可设 $B_1(x,2x)(x＞0)$. 因为 $OB_1=OA_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$,所以 $x^2+(2x)^2=(\frac{\sqrt{5}}{2})^2$,所以 $x=\frac{1}{2}$,所以 $B_1(\frac{1}{2},1)$. 又因为 $B_1A_2// x$ 轴,所以易得 $A_2(2,1)$,所以 $OA_2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. 设 $B_2(m,2m)(m＞0)$,所以 $m^2+4m^2=(\sqrt{5})^2$,所以 $m=1$,所以 $B_2(1,2)$,所以 $A_3(2^2,2)$,同理可得,$B_3(2,2^2)$,$\dots$,$B_n(2^{n-2},2^{n-1})$. 所以当 $n=2025$ 时,$B_{2025}(2^{2023},2^{2024})$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时先求直线$l_1$的解析式，再按题目给出的操作步骤依次计算前几个$B$点的坐标，从中归纳出$B_n$坐标的通用规律，最后代入$n=2025$即可得到结果。具体思考路径：1. 用$A_1$的坐标求出$l_1$的解析式；2. 结合$OB_1=OA_1$、$B_1$在$l_2$上两个条件求$B_1$坐标；3. 由$B_1A_2// x$轴可知$A_2$纵坐标与$B_1$相同，代入$l_1$求$A_2$坐标，再同理求$B_2$坐标；4. 观察前几个$B$点的坐标特征总结通用规律，推广到$B_{2025}$。
【解析】
已知点$A_1(1,\dfrac{1}{2})$在过原点的直线$l_1$上，设$l_1$解析式为$y=kx$，代入$A_1$坐标得$k=\dfrac{1}{2}$，即$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$。
由勾股定理得$OA_1=\sqrt{1^2+(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
$B_1$在直线$l_2:y=2x$上，设$B_1(x,2x)(x＞0)$，因为$OB_1=OA_1=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，所以$x^2+(2x)^2=(\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，即$B_1(\dfrac{1}{2},1)$。
因为$B_1A_2// x$轴，所以$A_2$纵坐标为1，代入$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$得$A_2(2,1)$，计算得$OA_2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
设$B_2(m,2m)(m＞0)$，由$OB_2=OA_2=\sqrt{5}$得$m^2+(2m)^2=(\sqrt{5})^2$，解得$m=1$，即$B_2(1,2)$。
同理可得$B_3(2,4)$……总结规律得$B_n(2^{n-2},2^{n-1})$。
当$n=2025$时，$B_{2025}$的横坐标为$2^{2025-2}=2^{2023}$，纵坐标为$2^{2025-1}=2^{2024}$，即$B_{2025}(2^{2023},2^{2024})$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数性质，坐标规律探究，勾股定理应用
【点评】
本题是正比例函数与规律探究结合的综合题，需要按操作流程逐步计算前几个点的坐标，归纳通用规律后求解，既考查了正比例函数的基础应用，也考查了归纳推理能力，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.3
解题时先求直线$l_1$的解析式，再按题目给出的操作步骤依次计算前几个$B$点的坐标，从中归纳出$B_n$坐标的通用规律，最后代入$n=2025$即可得到结果。具体思考路径：1. 用$A_1$的坐标求出$l_1$的解析式；2. 结合$OB_1=OA_1$、$B_1$在$l_2$上两个条件求$B_1$坐标；3. 由$B_1A_2// x$轴可知$A_2$纵坐标与$B_1$相同，代入$l_1$求$A_2$坐标，再同理求$B_2$坐标；4. 观察前几个$B$点的坐标特征总结通用规律，推广到$B_{2025}$。
【解析】
已知点$A_1(1,\dfrac{1}{2})$在过原点的直线$l_1$上，设$l_1$解析式为$y=kx$，代入$A_1$坐标得$k=\dfrac{1}{2}$，即$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$。
由勾股定理得$OA_1=\sqrt{1^2+(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
$B_1$在直线$l_2:y=2x$上，设$B_1(x,2x)(x＞0)$，因为$OB_1=OA_1=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，所以$x^2+(2x)^2=(\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，即$B_1(\dfrac{1}{2},1)$。
因为$B_1A_2// x$轴，所以$A_2$纵坐标为1，代入$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$得$A_2(2,1)$，计算得$OA_2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
设$B_2(m,2m)(m＞0)$，由$OB_2=OA_2=\sqrt{5}$得$m^2+(2m)^2=(\sqrt{5})^2$，解得$m=1$，即$B_2(1,2)$。
同理可得$B_3(2,4)$……总结规律得$B_n(2^{n-2},2^{n-1})$。
当$n=2025$时，$B_{2025}$的横坐标为$2^{2025-2}=2^{2023}$，纵坐标为$2^{2025-1}=2^{2024}$，即$B_{2025}(2^{2023},2^{2024})$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数性质，坐标规律探究，勾股定理应用
【点评】
本题是正比例函数与规律探究结合的综合题，需要按操作流程逐步计算前几个点的坐标，归纳通用规律后求解，既考查了正比例函数的基础应用，也考查了归纳推理能力，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.3
6[较难]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B是正比例函数$y=x$图象上一动点,点C是y轴上一动点,则$△ ABC$周长的最小值为
刷素养 走向重高
$\sqrt{10}$
。刷素养 走向重高
答案
6.$\sqrt{10}$
【思路分析】“将军饮马”之一定两动
提取关键点 A 为定点,B,C 为动点
抽象模型 “将军饮马”——一定两动模型
作辅助线 分别作 A 关于直线 $y=x$ 和 y 轴的对称点 P,Q
确定最值 PQ 的长即为最小值
【解析】作 A 点关于直线 $y=x$ 的对称点 P,关于 y 轴的对称点 Q,连接 PQ 交直线 $y=x$ 于 B,交 y 轴于 C,如图. 因为 $AC=CQ,BP=AB$,所以 $C_{△ ABC}=AC+CB+AB=CQ+CB+BP$. 因为 P,B,C,Q 四点共线,所以此时 $△ ABC$ 周长最小,最小值为 PQ 的长度. 由 $A(1,2)$ 易知 $Q(-1,2),P(2,1)$,所以 $PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$,则 $△ ABC$ 周长的最小值为 $\sqrt{10}$,故答案为 $\sqrt{10}$.
解析
【分析】
本题是“一定两动”型的最短路径问题，解题核心是利用轴对称性质转化线段，将折线和的最小值转化为两点间线段长度求解。首先△ABC周长为AB+BC+AC，其中A是定点，B在直线y=x上运动、C在y轴上运动，我们可以分别作点A关于直线y=x的对称点P、关于y轴的对称点Q，根据轴对称性质，可得AB=PB、AC=QC，此时周长可转化为PB+BC+QC，根据两点之间线段最短，当P、B、C、Q四点共线时，这个和最小，最小值就是线段PQ的长度。
【解析】
作点A关于直线$y=x$的对称点P，作点A关于y轴的对称点Q，连接PQ，交直线$y=x$于点B，交y轴于点C，此时△ABC周长最小。
由轴对称的性质可知：$AC=CQ$，$AB=BP$，因此$△ ABC$的周长$C_{△ ABC}=AC+BC+AB=CQ+BC+BP$。
当P、B、C、Q四点共线时，$CQ+BC+BP$的和最小，最小值为线段PQ的长度。
已知$A(1,2)$，根据对称点坐标规律：关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，得$Q(-1,2)$；关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，得$P(2,1)$。
根据两点间距离公式计算：$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称性质；将军饮马模型；两点间距离公式
【点评】
本题是将军饮马最值模型的典型应用，结合了正比例函数的图象性质，解题关键是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长，考查了转化思想和几何运算能力。
【难度系数】
0.3
本题是“一定两动”型的最短路径问题，解题核心是利用轴对称性质转化线段，将折线和的最小值转化为两点间线段长度求解。首先△ABC周长为AB+BC+AC，其中A是定点，B在直线y=x上运动、C在y轴上运动，我们可以分别作点A关于直线y=x的对称点P、关于y轴的对称点Q，根据轴对称性质，可得AB=PB、AC=QC，此时周长可转化为PB+BC+QC，根据两点之间线段最短，当P、B、C、Q四点共线时，这个和最小，最小值就是线段PQ的长度。
【解析】
作点A关于直线$y=x$的对称点P，作点A关于y轴的对称点Q，连接PQ，交直线$y=x$于点B，交y轴于点C，此时△ABC周长最小。
由轴对称的性质可知：$AC=CQ$，$AB=BP$，因此$△ ABC$的周长$C_{△ ABC}=AC+BC+AB=CQ+BC+BP$。
当P、B、C、Q四点共线时，$CQ+BC+BP$的和最小，最小值为线段PQ的长度。
已知$A(1,2)$，根据对称点坐标规律：关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，得$Q(-1,2)$；关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，得$P(2,1)$。
根据两点间距离公式计算：$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称性质；将军饮马模型；两点间距离公式
【点评】
本题是将军饮马最值模型的典型应用，结合了正比例函数的图象性质，解题关键是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长，考查了转化思想和几何运算能力。
【难度系数】
0.3
7 思想方法 数形结合 [2025 北京西城区校级期中，中]函数问题：
(1)已知函数$y=2|x|$.
①自变量$x$的取值范围是
②将下表补充完整，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y=2|x|$的图象：
③当自变量$x$的值从1增加到2时，函数$y$的值增加了
(2)在一个变化的过程中，变量$x$与$y$之间可能是函数关系，也可能不是函数关系.
下列各式中，$y$是$x$的函数的是
①$x+y=1$；②$|x+y|=1$；③$xy=1$；④$x^2+y^2=1$.
(1)已知函数$y=2|x|$.
①自变量$x$的取值范围是
任意实数
.②将下表补充完整，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y=2|x|$的图象：
③当自变量$x$的值从1增加到2时，函数$y$的值增加了
2
.(2)在一个变化的过程中，变量$x$与$y$之间可能是函数关系，也可能不是函数关系.
下列各式中，$y$是$x$的函数的是
①③
.①$x+y=1$；②$|x+y|=1$；③$xy=1$；④$x^2+y^2=1$.
答案
7.【解】(1)①自变量 $x$ 的取值范围是任意实数. 故答案为任意实数.
②分别将 $x=-2,-1,0,1,2$ 代入 $y=2|x|$,得 $y=4,2,0,2,4$. 故答案为 $4,2,0,2,4$.
函数 $y=2|x|$ 的图象如图所示.
③当自变量 $x$ 的值从 1 增加到 2 时,函数 $y$ 的值增加了 2. 故答案为 2.
(2)根据函数的定义可知,①③中对于变量 $x$ 的每一个值,变量 $y$ 都有唯一的值与它对应,故 $y$ 是 $x$ 的函数的是①③. 故答案为①③.
解析
【分析】
(1)①对于含绝对值的函数，绝对值运算对全体实数都有意义，因此可判断自变量x可取任意实数；②要补全表格，只需将给定的x值代入函数解析式$y=2|x|$，根据绝对值的运算规则计算y值即可，画图时可根据算出的点描点连线，注意图象关于y轴对称的特征；③分别求出x=1和x=2时的函数值，做差即可得到y的增量。
(2)判断y是否为x的函数，核心依据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，据此逐个分析4个式子即可得出结论。
【解析】
(1)①
∵绝对值运算对任意实数都成立，
∴函数$y=2|x|$的自变量x的取值范围是任意实数。
②将$x=-2、-1、0、1、2$分别代入$y=2|x|$计算：
当$x=-2$时，$y=2×|-2|=4$；
当$x=-1$时，$y=2×|-1|=2$；
当$x=0$时，$y=2×|0|=0$；
当$x=1$时，$y=2×|1|=2$；
当$x=2$时，$y=2×|2|=4$；
因此表格依次填4、2、0、2、4，描点连线得到函数图象如图所示。
③当$x=1$时，$y=2×1=2$；当$x=2$时，$y=2×2=4$，则y的增量为$4-2=2$。
(2)根据函数定义逐一判断：
①$x+y=1$变形得$y=1-x$，对任意x的取值，y有唯一值对应，是函数；
②$|x+y|=1$，例如当$x=0$时，$y=1$或$y=-1$，存在x对应两个y值，不是函数；
③$xy=1$变形得$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），对每个非零x，y有唯一值对应，是函数；
④$x^2+y^2=1$，例如当$x=0$时，$y=1$或$y=-1$，存在x对应两个y值，不是函数。
因此y是x的函数的是①③。
【答案】
(1)①任意实数；②4，2，0，2，4，函数图象如图所示；③2；(2)①③
【知识点】
函数的定义；自变量取值范围；绝对值函数的性质
【点评】
本题侧重考查函数的基础概念，结合数形结合思想考查绝对值函数的图象与性质，难度适中，能够有效检验学生对函数核心定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1)①对于含绝对值的函数，绝对值运算对全体实数都有意义，因此可判断自变量x可取任意实数；②要补全表格，只需将给定的x值代入函数解析式$y=2|x|$，根据绝对值的运算规则计算y值即可，画图时可根据算出的点描点连线，注意图象关于y轴对称的特征；③分别求出x=1和x=2时的函数值，做差即可得到y的增量。
(2)判断y是否为x的函数，核心依据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，据此逐个分析4个式子即可得出结论。
【解析】
(1)①
∵绝对值运算对任意实数都成立，
∴函数$y=2|x|$的自变量x的取值范围是任意实数。
②将$x=-2、-1、0、1、2$分别代入$y=2|x|$计算：
当$x=-2$时，$y=2×|-2|=4$；
当$x=-1$时，$y=2×|-1|=2$；
当$x=0$时，$y=2×|0|=0$；
当$x=1$时，$y=2×|1|=2$；
当$x=2$时，$y=2×|2|=4$；
因此表格依次填4、2、0、2、4，描点连线得到函数图象如图所示
。③当$x=1$时，$y=2×1=2$；当$x=2$时，$y=2×2=4$，则y的增量为$4-2=2$。
(2)根据函数定义逐一判断：
①$x+y=1$变形得$y=1-x$，对任意x的取值，y有唯一值对应，是函数；
②$|x+y|=1$，例如当$x=0$时，$y=1$或$y=-1$，存在x对应两个y值，不是函数；
③$xy=1$变形得$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），对每个非零x，y有唯一值对应，是函数；
④$x^2+y^2=1$，例如当$x=0$时，$y=1$或$y=-1$，存在x对应两个y值，不是函数。
因此y是x的函数的是①③。
【答案】
(1)①任意实数；②4，2，0，2，4，函数图象如图所示
；③2；(2)①③【知识点】
函数的定义；自变量取值范围；绝对值函数的性质
【点评】
本题侧重考查函数的基础概念，结合数形结合思想考查绝对值函数的图象与性质，难度适中，能够有效检验学生对函数核心定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
