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13[2025辽宁中考]为方便悬挂电子屏幕,学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下:
活动主题：为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备：1. 去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2. 准备皮尺等测量工具
采集数据：图(1)是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下:1. 大门形状为矩形(矩形$ABCD$)；2. 底部跨度($AD$的长)为8 m；3. 立柱$OE$的长为2 m,且$OE ⊥ AD$,垂足为$O$,$AO=OD$
设计方案：考虑实用和美观等因素,在$A,D$间增加两根与$AD$垂直的立柱,垂足分别为$M_1,M_2$,立柱的另一端点$N_1,N_2$在抛物线形框架结构上,其中$AM_1=M_2D=1$ m
确定思路：小组成员经过讨论,确定以点$O$为坐标原点,线段$AD$所在直线为$x$轴,建立如图(2)所示的平面直角坐标系.点$E$的坐标为$(0,2)$,设抛物线的表达式为$y=ax^2+2$,分析数据得到点$A$或点$D$的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题
根据以上信息,解决下列问题:
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料的长度是否够用(因施工产生的材料长度变化忽略不计).
活动主题：为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备：1. 去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2. 准备皮尺等测量工具
采集数据：图(1)是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下:1. 大门形状为矩形(矩形$ABCD$)；2. 底部跨度($AD$的长)为8 m；3. 立柱$OE$的长为2 m,且$OE ⊥ AD$,垂足为$O$,$AO=OD$
设计方案：考虑实用和美观等因素,在$A,D$间增加两根与$AD$垂直的立柱,垂足分别为$M_1,M_2$,立柱的另一端点$N_1,N_2$在抛物线形框架结构上,其中$AM_1=M_2D=1$ m
确定思路：小组成员经过讨论,确定以点$O$为坐标原点,线段$AD$所在直线为$x$轴,建立如图(2)所示的平面直角坐标系.点$E$的坐标为$(0,2)$,设抛物线的表达式为$y=ax^2+2$,分析数据得到点$A$或点$D$的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题
根据以上信息,解决下列问题:
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料的长度是否够用(因施工产生的材料长度变化忽略不计).
答案
解：(1) 由题意可知，$AD=8\ \mathrm{m}$，$AO=OD$，
$\therefore AO=OD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-4,0)$。
将$A(-4,0)$代入$y=ax^2+2$，得：
$0=a· (-4)^2 + 2$，
即$16a+2=0$，
解得$a=-\frac{1}{8}$。
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$。
(2) 由$AM_1=1\ \mathrm{m}$，$A(-4,0)$，可得点$M_1$的横坐标为$-4+1=-3$，
由$M_2D=1\ \mathrm{m}$，$D(4,0)$，可得点$M_2$的横坐标为$4-1=3$。
将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$，得：
$y=-\frac{1}{8}× (-3)^2 + 2=\frac{7}{8}$，
由抛物线的对称性可知，当$x=3$时，$y=\frac{7}{8}$。
$\therefore N_1M_1=N_2M_2=\frac{7}{8}\ \mathrm{m}$，
两根立柱总长度为$\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}=1.75\ \mathrm{m}$。
$\because 1.75＜2$，
$\therefore$ 这根长度为$2\ \mathrm{m}$的材料够用。
$\therefore AO=OD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-4,0)$。
将$A(-4,0)$代入$y=ax^2+2$，得：
$0=a· (-4)^2 + 2$，
即$16a+2=0$，
解得$a=-\frac{1}{8}$。
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$。
(2) 由$AM_1=1\ \mathrm{m}$，$A(-4,0)$，可得点$M_1$的横坐标为$-4+1=-3$，
由$M_2D=1\ \mathrm{m}$，$D(4,0)$，可得点$M_2$的横坐标为$4-1=3$。
将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$，得：
$y=-\frac{1}{8}× (-3)^2 + 2=\frac{7}{8}$，
由抛物线的对称性可知，当$x=3$时，$y=\frac{7}{8}$。
$\therefore N_1M_1=N_2M_2=\frac{7}{8}\ \mathrm{m}$，
两根立柱总长度为$\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}=1.75\ \mathrm{m}$。
$\because 1.75＜2$，
$\therefore$ 这根长度为$2\ \mathrm{m}$的材料够用。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，题目已给出含待定系数的顶点式$y=ax^2+2$，只需确定系数$a$即可。已知底部跨度$AD=8\mathrm{m}$，且$O$是$AD$中点，可先求出点$A$的坐标，将点$A$坐标代入解析式即可算出$a$的值，得到完整的抛物线表达式。
(2) 判断材料是否够用，需先算出两根立柱的总长度。立柱垂直于$AD$（即$x$轴），因此立柱的长度就是对应横坐标处的函数值：先根据$AM_1$、$M_2D$的长度求出两个立柱对应的横坐标，代入抛物线解析式算出纵坐标即为立柱高度，将两根立柱高度求和后和$2\mathrm{m}$比较大小，即可判断材料是否够用。
【解析】
(1) 由题意可知，$AD=8\ \mathrm{m}$，$AO=OD$，
$\therefore AO=OD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-4,0)$。
将$A(-4,0)$代入$y=ax^2+2$，得：
$0=a· (-4)^2 + 2$，
即$16a+2=0$，
解得$a=-\frac{1}{8}$。
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$。
(2) 由$AM_1=1\ \mathrm{m}$，$A(-4,0)$，可得点$M_1$的横坐标为$-4+1=-3$，
由$M_2D=1\ \mathrm{m}$，$D(4,0)$，可得点$M_2$的横坐标为$4-1=3$。
将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$，得：
$y=-\frac{1}{8}× (-3)^2 + 2=\frac{7}{8}$，
由抛物线的对称性可知，当$x=3$时，$y=\frac{7}{8}$。
$\therefore N_1M_1=N_2M_2=\frac{7}{8}\ \mathrm{m}$，
两根立柱总长度为$\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}=1.75\ \mathrm{m}$。
$\because 1.75＜2$，
$\therefore$ 这根长度为$2\ \mathrm{m}$的材料够用。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{8}x^2 + 2$
(2) 长度为2m的材料够用
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的应用题，解题核心是借助平面直角坐标系，利用已知条件求出抛物线解析式，再通过代入求值得到所需数据，进而解决实际问题，侧重考查二次函数基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线表达式时，题目已给出含待定系数的顶点式$y=ax^2+2$，只需确定系数$a$即可。已知底部跨度$AD=8\mathrm{m}$，且$O$是$AD$中点，可先求出点$A$的坐标，将点$A$坐标代入解析式即可算出$a$的值，得到完整的抛物线表达式。
(2) 判断材料是否够用，需先算出两根立柱的总长度。立柱垂直于$AD$（即$x$轴），因此立柱的长度就是对应横坐标处的函数值：先根据$AM_1$、$M_2D$的长度求出两个立柱对应的横坐标，代入抛物线解析式算出纵坐标即为立柱高度，将两根立柱高度求和后和$2\mathrm{m}$比较大小，即可判断材料是否够用。
【解析】
(1) 由题意可知，$AD=8\ \mathrm{m}$，$AO=OD$，
$\therefore AO=OD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-4,0)$。
将$A(-4,0)$代入$y=ax^2+2$，得：
$0=a· (-4)^2 + 2$，
即$16a+2=0$，
解得$a=-\frac{1}{8}$。
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$。
(2) 由$AM_1=1\ \mathrm{m}$，$A(-4,0)$，可得点$M_1$的横坐标为$-4+1=-3$，
由$M_2D=1\ \mathrm{m}$，$D(4,0)$，可得点$M_2$的横坐标为$4-1=3$。
将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{8}x^2 + 2$，得：
$y=-\frac{1}{8}× (-3)^2 + 2=\frac{7}{8}$，
由抛物线的对称性可知，当$x=3$时，$y=\frac{7}{8}$。
$\therefore N_1M_1=N_2M_2=\frac{7}{8}\ \mathrm{m}$，
两根立柱总长度为$\frac{7}{8}× 2=\frac{7}{4}=1.75\ \mathrm{m}$。
$\because 1.75＜2$，
$\therefore$ 这根长度为$2\ \mathrm{m}$的材料够用。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{8}x^2 + 2$
(2) 长度为2m的材料够用
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的应用题，解题核心是借助平面直角坐标系，利用已知条件求出抛物线解析式，再通过代入求值得到所需数据，进而解决实际问题，侧重考查二次函数基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
