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1.(2024－2025·池州期中)将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排、从左到右第m个数,如:(4,2)表示9,则表示58的有序数对是 (
A.(11,3)
B.(3,11)
C.(11,9)
D.(9,11)
A
)A.(11,3)
B.(3,11)
C.(11,9)
D.(9,11)
答案
1.A
解析
【分析】
解题前先梳理排列规律：1. 第n排共有n个数字；2. 奇数排的数字从左到右依次递增，偶数排的数字从左到右依次递减；3. 前n排的数字总个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。解题时先通过求和公式计算前若干排的总数字数，确定58所在的排数，再根据该排的排列方向确定58是该排第几个数，即可得到对应有序数对。
【解析】
1. 计算前n排总数字数：根据等差数列求和公式，前n排总数字数$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。
2. 确定58所在排数：当$n=10$时，$S_{10}=\frac{10×11}{2}=55$，即前10排共有55个数字，最大数字为55，因此58在第11排，第11排的数字从56开始。
3. 确定58在第11排的位置：第11排是奇数排，数字从左到右依次递增，因此第11排从左到右数字依次为56（第1个）、57（第2个）、58（第3个）。
综上，58对应的有序数对是(11,3)。
【答案】
A
【知识点】
数字排列规律、等差数列求和
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心考查观察归纳能力与等差数列求和公式的应用，解题关键是找准排数与数字个数的关系、奇偶排的排列方向两个核心规律，整体思路清晰，不易出错。
【难度系数】
0.7
解题前先梳理排列规律：1. 第n排共有n个数字；2. 奇数排的数字从左到右依次递增，偶数排的数字从左到右依次递减；3. 前n排的数字总个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。解题时先通过求和公式计算前若干排的总数字数，确定58所在的排数，再根据该排的排列方向确定58是该排第几个数，即可得到对应有序数对。
【解析】
1. 计算前n排总数字数：根据等差数列求和公式，前n排总数字数$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。
2. 确定58所在排数：当$n=10$时，$S_{10}=\frac{10×11}{2}=55$，即前10排共有55个数字，最大数字为55，因此58在第11排，第11排的数字从56开始。
3. 确定58在第11排的位置：第11排是奇数排，数字从左到右依次递增，因此第11排从左到右数字依次为56（第1个）、57（第2个）、58（第3个）。
综上，58对应的有序数对是(11,3)。
【答案】
A
【知识点】
数字排列规律、等差数列求和
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心考查观察归纳能力与等差数列求和公式的应用，解题关键是找准排数与数字个数的关系、奇偶排的排列方向两个核心规律，整体思路清晰，不易出错。
【难度系数】
0.7
2.(2024·绥化中考)如图,已知$A_1(1,-\sqrt{3})$,$A_2(3,-\sqrt{3})$,$A_3(4,0)$,$A_4(6,0)$,$A_5(7,\sqrt{3})$,$A_6(9,\sqrt{3})$,$A_7(10,0)$,$A_8(11,-\sqrt{3})$,$···$,依此规律,则点$A_{2024}$的坐标为
$(2\ 891,-\sqrt{3})$
.答案
2.$(2\ 891,-\sqrt{3})$
解析
【分析】
解决本题的核心是分别探究点的横坐标和纵坐标的变化规律：
1. 先分析纵坐标：观察已知点的纵坐标，依次为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0,-\sqrt{3}\dots$，可发现每6个点为一个循环周期，周期内纵坐标按$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3}$重复出现；
2. 再分析横坐标：观察横坐标的增量规律，每经过完整的6个点，横坐标固定增加8，再结合周期余数即可计算对应点的横坐标。
【解析】
1. 求纵坐标：
计算$2024÷6=337······2$，即2024除以6余数为2，说明$A_{2024}$的纵坐标和周期内第2个点$A_2$的纵坐标相同，为$-\sqrt{3}$。
2. 求横坐标：
每个完整周期（6个点）横坐标增加8，337个完整周期横坐标共增加$337×8=2696$，再加上周期内第2个点的初始横坐标3，加上额外增量即可得到$A_{2024}$的横坐标为2891。
综上，点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(2891,-\sqrt{3})$
【知识点】
平面直角坐标系规律探究；周期变化规律；点的坐标特征
【点评】
本题是典型的坐标系规律探究题，解题关键是先通过已知点找到坐标的周期变化规律，再通过带余除法确定所求点在周期内的位置，进而计算出对应坐标，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是分别探究点的横坐标和纵坐标的变化规律：
1. 先分析纵坐标：观察已知点的纵坐标，依次为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0,-\sqrt{3}\dots$，可发现每6个点为一个循环周期，周期内纵坐标按$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3}$重复出现；
2. 再分析横坐标：观察横坐标的增量规律，每经过完整的6个点，横坐标固定增加8，再结合周期余数即可计算对应点的横坐标。
【解析】
1. 求纵坐标：
计算$2024÷6=337······2$，即2024除以6余数为2，说明$A_{2024}$的纵坐标和周期内第2个点$A_2$的纵坐标相同，为$-\sqrt{3}$。
2. 求横坐标：
每个完整周期（6个点）横坐标增加8，337个完整周期横坐标共增加$337×8=2696$，再加上周期内第2个点的初始横坐标3，加上额外增量即可得到$A_{2024}$的横坐标为2891。
综上，点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(2891,-\sqrt{3})$
【知识点】
平面直角坐标系规律探究；周期变化规律；点的坐标特征
【点评】
本题是典型的坐标系规律探究题，解题关键是先通过已知点找到坐标的周期变化规律，再通过带余除法确定所求点在周期内的位置，进而计算出对应坐标，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
3. 如图，在平面直角坐标系中，一质点自点$ P_0(1,0) $处向上运动1个单位长度至点$ P_1(1,1) $处，然后向左运动2个单位长度至点$ P_2 $处，再向下运动3个单位长度至点$ P_3 $处，再向右运动4个单位长度至点$ P_4 $处，再向上运动5个单位长度至点$ P_5 $处……按此规律继续运动，则点$ P_{2026} $的坐标是
$(-1\ 013,1\ 013)$
。答案
3.$(-1\ 013,1\ 013)$
解析
【分析】
要解决本题，首先我们先按运动规则写出前几个点的坐标，观察运动规律：运动方向按“向上、向左、向下、向右”4次为一个周期循环，每次运动的单位长度等于运动次数。由于所求的点下标2026是偶数，重点观察下标除以4余2的点的坐标特征：可发现这类点的横、纵坐标绝对值相等，横坐标为负、纵坐标为正，绝对值等于下标的一半，代入2026即可求解。
【解析】
根据运动规则，先写出前若干个点的坐标：
$P_0(1,0)$，向上运动1个单位得$P_1(1,1)$；
向左运动2个单位得$P_2(-1,1)$；
向下运动3个单位得$P_3(-1,-2)$；
向右运动4个单位得$P_4(3,-2)$；
向上运动5个单位得$P_5(3,3)$；
向左运动6个单位得$P_6(-3,3)$；
……
观察规律：当下标$n=4k+2$（$k$为非负整数）时，点的坐标为$(-\frac{n}{2},\frac{n}{2})$。
验证：$n=2$时，坐标$(-1,1)$，符合；$n=6$时，坐标$(-3,3)$，符合，规律成立。
计算$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，符合上述规律的形式。
因此$P_{2026}$的横坐标为$-\frac{2026}{2}=-1013$，纵坐标为$\frac{2026}{2}=1013$。
【答案】
$(-1013,1013)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标规律，平移的坐标特征
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过列举前几个点的坐标，归纳出对应下标点的坐标变化规律，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先我们先按运动规则写出前几个点的坐标，观察运动规律：运动方向按“向上、向左、向下、向右”4次为一个周期循环，每次运动的单位长度等于运动次数。由于所求的点下标2026是偶数，重点观察下标除以4余2的点的坐标特征：可发现这类点的横、纵坐标绝对值相等，横坐标为负、纵坐标为正，绝对值等于下标的一半，代入2026即可求解。
【解析】
根据运动规则，先写出前若干个点的坐标：
$P_0(1,0)$，向上运动1个单位得$P_1(1,1)$；
向左运动2个单位得$P_2(-1,1)$；
向下运动3个单位得$P_3(-1,-2)$；
向右运动4个单位得$P_4(3,-2)$；
向上运动5个单位得$P_5(3,3)$；
向左运动6个单位得$P_6(-3,3)$；
……
观察规律：当下标$n=4k+2$（$k$为非负整数）时，点的坐标为$(-\frac{n}{2},\frac{n}{2})$。
验证：$n=2$时，坐标$(-1,1)$，符合；$n=6$时，坐标$(-3,3)$，符合，规律成立。
计算$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，符合上述规律的形式。
因此$P_{2026}$的横坐标为$-\frac{2026}{2}=-1013$，纵坐标为$\frac{2026}{2}=1013$。
【答案】
$(-1013,1013)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标规律，平移的坐标特征
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过列举前几个点的坐标，归纳出对应下标点的坐标变化规律，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
4.(2024－2025·蚌埠蚌山区月考)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“角平分线点”.
(1)点A(－3,5)的“长距”为
(2)若点B(4－2a,－2)是“角平分线点”,求a的值;
(3)若点C(－2,3b－2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9－2b,－5),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
(1)点A(－3,5)的“长距”为
5
;(2)若点B(4－2a,－2)是“角平分线点”,求a的值;
(3)若点C(－2,3b－2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9－2b,－5),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
答案
4.解:(1)5 (2)因为点$ B(4-2a,-2) $是“角平分线点”,所以$ |4-2a|=|-2| $.所以$ 4-2a=2 $或$ 4-2a=-2 $,解得$ a=1 $或$ a=3 $.(3)点D是“角平分线点”.理由如下:由题意,得$ 3b-2=4 $,解得$ b=2 $.所以$ 9-2b=5 $.所以点D的坐标为$ (5,-5) $.所以点D到x轴、y轴的距离都是5.所以点D是“角平分线点”.
解析
【分析】
本题属于平面直角坐标系中的新定义问题，解题核心是先准确理解两个新定义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“角平分线点”是点到x轴、y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等。
解题按小问逐步推进：
(1) 计算点A到两轴的距离，取较大值即为长距；
(2) 根据“角平分线点”的定义列绝对值方程，解方程求a的值；
(3) 结合点C的“长距”要求和第二象限的坐标特征，列方程求出b的值，再代入得到点D的坐标，验证其横、纵坐标的绝对值是否相等即可判断。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较大值为5，因此“长距”为5。
(2) 因为点B(4-2a,-2)是“角平分线点”，根据定义可得点B到x轴、y轴的距离相等，即：
$|4-2a|=|-2|$
所以$4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
(3) 点D是“角平分线点”，理由如下：
已知点C(-2,3b-2)在第二象限，其到y轴的距离为$|-2|=2$，又因为点C的“长距”为4，所以点C到x轴的距离为4，结合第二象限纵坐标为正，可得$3b-2=4$，解得$b=2$。
将$b=2$代入点D的横坐标得$9-2b=9-2×2=5$，因此点D的坐标为$(5,-5)$。
点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，二者相等，符合“角平分线点”的定义，因此点D是“角平分线点”。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$；(3) 点D是“角平分线点”，理由见解析。
【知识点】
点坐标的几何意义；新定义问题；绝对值方程求解
【点评】
本题是基础的平面直角坐标系新定义题型，解题关键是将新定义转化为已学的坐标性质、绝对值运算知识求解，侧重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于平面直角坐标系中的新定义问题，解题核心是先准确理解两个新定义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“角平分线点”是点到x轴、y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等。
解题按小问逐步推进：
(1) 计算点A到两轴的距离，取较大值即为长距；
(2) 根据“角平分线点”的定义列绝对值方程，解方程求a的值；
(3) 结合点C的“长距”要求和第二象限的坐标特征，列方程求出b的值，再代入得到点D的坐标，验证其横、纵坐标的绝对值是否相等即可判断。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较大值为5，因此“长距”为5。
(2) 因为点B(4-2a,-2)是“角平分线点”，根据定义可得点B到x轴、y轴的距离相等，即：
$|4-2a|=|-2|$
所以$4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
(3) 点D是“角平分线点”，理由如下：
已知点C(-2,3b-2)在第二象限，其到y轴的距离为$|-2|=2$，又因为点C的“长距”为4，所以点C到x轴的距离为4，结合第二象限纵坐标为正，可得$3b-2=4$，解得$b=2$。
将$b=2$代入点D的横坐标得$9-2b=9-2×2=5$，因此点D的坐标为$(5,-5)$。
点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，二者相等，符合“角平分线点”的定义，因此点D是“角平分线点”。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$；(3) 点D是“角平分线点”，理由见解析。
【知识点】
点坐标的几何意义；新定义问题；绝对值方程求解
【点评】
本题是基础的平面直角坐标系新定义题型，解题关键是将新定义转化为已学的坐标性质、绝对值运算知识求解，侧重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ax+y,x+ay)$,则称点$Q$是点$P$的“$a$阶派生点”(其中$a$为常数,且$a≠0$).例如,点$P(1,4)$的“2阶派生点”为点$Q(2×1+4,1+2×4)$,即点$Q$的坐标为$(6,9)$.
(1)若点$P$的坐标为$(-1,5)$,则它的“3阶派生点”的坐标为
(2)点$P(-2,1)$的“5阶派生点”在第
(3)若点$P(c+1,2c-1)$先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$P_1$,点$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$位于坐标轴上,求点$P_2$的坐标.
(1)若点$P$的坐标为$(-1,5)$,则它的“3阶派生点”的坐标为
$(2,14)$
;(2)点$P(-2,1)$的“5阶派生点”在第
二
象限;(3)若点$P(c+1,2c-1)$先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$P_1$,点$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$位于坐标轴上,求点$P_2$的坐标.
答案
5.解:(1)$(2,14)$ (2)二 (3)由题意,得$ P_1(c-1,2c) $.所以点$ P_1 $的“−3阶派生点”$ P_2 $的坐标为$ (-c+3,-5c-1) $.因为点$ P_2 $在坐标轴上,所以$ -c+3=0 $或$ -5c-1=0 $,解得$ c=3 $或$ c=-\dfrac{1}{5} $.当$ c=3 $时,$ -5c-1=-16 $;当$ c=-\dfrac{1}{5} $时,$ -c+3=\dfrac{16}{5} $.所以点$ P_2 $的坐标为$ (0,-16) $或$ (\dfrac{16}{5},0) $.
解析
【分析】
(1) 直接根据“a阶派生点”的定义，将点P的坐标、a=3代入公式$Q(ax+y,x+ay)$计算即可得到结果；
(2) 先代入a=5和点P的坐标算出派生点坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限；
(3) 先按照“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的平移规律求出$P_1$的坐标，再根据“$-3$阶派生点”的定义写出$P_2$的坐标，最后结合坐标轴上点的特征（y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0），分两种情况列方程求解c，代入计算即可得到$P_2$的坐标。
【解析】
(1) 已知点$P(-1,5)$，$a=3$，根据定义计算：
横坐标：$3×(-1)+5=2$，纵坐标：$-1+3×5=14$，因此3阶派生点坐标为$(2,14)$。
(2) 点$P(-2,1)$，$a=5$，派生点坐标为：
横坐标：$5×(-2)+1=-9$，纵坐标：$-2+5×1=3$，即$(-9,3)$，横坐标为负、纵坐标为正，因此在第二象限。
(3) 首先求平移后点$P_1$的坐标：
点$P(c+1,2c-1)$向左平移2个单位、向上平移1个单位，横坐标为$(c+1)-2=c-1$，纵坐标为$(2c-1)+1=2c$，即$P_1(c-1,2c)$。
再求$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$的坐标，代入$a=-3$得：
横坐标：$-3(c-1)+2c=-c+3$，纵坐标：$(c-1)+(-3)×2c=-5c-1$，即$P_2(-c+3,-5c-1)$。
因为$P_2$在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 若$P_2$在y轴上，则横坐标为0，即$-c+3=0$，解得$c=3$，此时纵坐标为$-5×3-1=-16$，即$P_2(0,-16)$；
② 若$P_2$在x轴上，则纵坐标为0，即$-5c-1=0$，解得$c=-\dfrac{1}{5}$，此时横坐标为$-(-\dfrac{1}{5})+3=\dfrac{16}{5}$，即$P_2(\dfrac{16}{5},0)$。
【答案】
(1) $\boxed{(2,14)}$；(2) $\boxed{二}$；(3) $\boxed{(0,-16)}$或$\boxed{(\dfrac{16}{5},0)}$
【知识点】
新定义坐标运算，点的平移规律，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确理解派生点的运算规则，结合平面直角坐标系的基本性质逐步计算，第三问需注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 直接根据“a阶派生点”的定义，将点P的坐标、a=3代入公式$Q(ax+y,x+ay)$计算即可得到结果；
(2) 先代入a=5和点P的坐标算出派生点坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限；
(3) 先按照“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的平移规律求出$P_1$的坐标，再根据“$-3$阶派生点”的定义写出$P_2$的坐标，最后结合坐标轴上点的特征（y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0），分两种情况列方程求解c，代入计算即可得到$P_2$的坐标。
【解析】
(1) 已知点$P(-1,5)$，$a=3$，根据定义计算：
横坐标：$3×(-1)+5=2$，纵坐标：$-1+3×5=14$，因此3阶派生点坐标为$(2,14)$。
(2) 点$P(-2,1)$，$a=5$，派生点坐标为：
横坐标：$5×(-2)+1=-9$，纵坐标：$-2+5×1=3$，即$(-9,3)$，横坐标为负、纵坐标为正，因此在第二象限。
(3) 首先求平移后点$P_1$的坐标：
点$P(c+1,2c-1)$向左平移2个单位、向上平移1个单位，横坐标为$(c+1)-2=c-1$，纵坐标为$(2c-1)+1=2c$，即$P_1(c-1,2c)$。
再求$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$的坐标，代入$a=-3$得：
横坐标：$-3(c-1)+2c=-c+3$，纵坐标：$(c-1)+(-3)×2c=-5c-1$，即$P_2(-c+3,-5c-1)$。
因为$P_2$在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 若$P_2$在y轴上，则横坐标为0，即$-c+3=0$，解得$c=3$，此时纵坐标为$-5×3-1=-16$，即$P_2(0,-16)$；
② 若$P_2$在x轴上，则纵坐标为0，即$-5c-1=0$，解得$c=-\dfrac{1}{5}$，此时横坐标为$-(-\dfrac{1}{5})+3=\dfrac{16}{5}$，即$P_2(\dfrac{16}{5},0)$。
【答案】
(1) $\boxed{(2,14)}$；(2) $\boxed{二}$；(3) $\boxed{(0,-16)}$或$\boxed{(\dfrac{16}{5},0)}$
【知识点】
新定义坐标运算，点的平移规律，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确理解派生点的运算规则，结合平面直角坐标系的基本性质逐步计算，第三问需注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
