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1.【传统文化】剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心判断标准：1.轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；2.中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形能与原图形完全重合。我们只需依次判断四个选项是否同时满足这两个条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
选项A：蝴蝶图案沿中间竖直线折叠后两侧重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，翅膀、触角的朝向与原图不一致，无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项B：灯笼图案沿中间竖直线折叠后两侧重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，顶部的挂杆和底部的流苏位置颠倒，无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项C：双鱼图案不存在能让两侧折叠后重合的直线，不是轴对称图形；仅绕中心旋转180°后能与原图重合，只属于中心对称图形，不符合要求。
选项D：雪花图案沿过中心的多条直线折叠后两侧都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全一致，也是中心对称图形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查对称图形的判断，只需牢记两类对称图形的定义即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确两个核心判断标准：1.轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；2.中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形能与原图形完全重合。我们只需依次判断四个选项是否同时满足这两个条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
选项A：蝴蝶图案沿中间竖直线折叠后两侧重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，翅膀、触角的朝向与原图不一致，无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项B：灯笼图案沿中间竖直线折叠后两侧重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，顶部的挂杆和底部的流苏位置颠倒，无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项C：双鱼图案不存在能让两侧折叠后重合的直线，不是轴对称图形；仅绕中心旋转180°后能与原图重合，只属于中心对称图形，不符合要求。
选项D：雪花图案沿过中心的多条直线折叠后两侧都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全一致，也是中心对称图形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查对称图形的判断，只需牢记两类对称图形的定义即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
2. 如图,两个半圆分别以点$O,O_1$为圆心,它们关于某点成中心对称,点$A,B,A_1,B_1$在同一条直线上,则对称中心为 （
A.点$O$
B.点$B$
C.线段$AO_1$的中点
D.线段$AA_1$的中点
D
）A.点$O$
B.点$B$
C.线段$AO_1$的中点
D.线段$AA_1$的中点
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，所有对应点的连线都经过同一个点，且这个点平分所有对应点的连线，这个点就是对称中心。首先我们需要找到两个半圆的对应点：左边半圆的端点A的对应点是右边半圆的端点A₁，根据性质，对称中心就是这组对应点连线的中点，也就是线段AA₁的中点，再逐一排除其他错误选项即可得到答案。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点。
观察图形可知，点A与点A₁是两个成中心对称的半圆的一组对应点，因此线段AA₁的中点就是这两个半圆的对称中心。
对其他选项逐一验证：
选项A：点O是左侧半圆的圆心，其对应点是右侧半圆的圆心O₁，显然点O不是OO₁的中点，不是对称中心，错误；
选项B：点B不是AA₁的中点，不满足对应点连线被该点平分的性质，错误；
选项C：线段AO₁的中点不是对应点连线的中点，不符合中心对称性质，错误。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质、线段中点定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，准确识别对应点，结合性质即可快速判断出对称中心，易错点是找错对应点导致判断失误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形，所有对应点的连线都经过同一个点，且这个点平分所有对应点的连线，这个点就是对称中心。首先我们需要找到两个半圆的对应点：左边半圆的端点A的对应点是右边半圆的端点A₁，根据性质，对称中心就是这组对应点连线的中点，也就是线段AA₁的中点，再逐一排除其他错误选项即可得到答案。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点。
观察图形可知，点A与点A₁是两个成中心对称的半圆的一组对应点，因此线段AA₁的中点就是这两个半圆的对称中心。
对其他选项逐一验证：
选项A：点O是左侧半圆的圆心，其对应点是右侧半圆的圆心O₁，显然点O不是OO₁的中点，不是对称中心，错误；
选项B：点B不是AA₁的中点，不满足对应点连线被该点平分的性质，错误；
选项C：线段AO₁的中点不是对应点连线的中点，不符合中心对称性质，错误。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质、线段中点定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，准确识别对应点，结合性质即可快速判断出对称中心，易错点是找错对应点导致判断失误。
【难度系数】
0.9
3.如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（
A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{16}{5}$
C.4
D.$\frac{16}{3}$
C
）A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{16}{5}$
C.4
D.$\frac{16}{3}$
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察图形特征，两个正方形的对称中心均为点O，说明图形关于点O中心对称，且正方形绕中心旋转90°后与自身重合，因此大正方形与小正方形的面积差会被平均分成4个全等的区域。要求阴影部分的面积，只需先求出两个正方形的面积差，再取其四分之一即可。
【解析】
解：首先计算两个正方形的面积：
大正方形ABCD的面积：$S_{ABCD}=5^2=25$
小正方形EFGH的面积：$S_{EFGH}=3^2=9$
两个正方形的面积差为：$25-9=16$
由于两个正方形对称中心重合，根据中心对称和正方形旋转90°与自身重合的性质，面积差被平均分成4个全等的区域，每个区域的面积为$16÷4=4$，图中阴影部分的面积恰好等于1个该类区域的面积。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题解题的关键是抓住两个正方形共对称中心的特点，利用对称性简化面积求解，无需复杂的割补或线段计算，能够很好地考查对图形对称性的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征，两个正方形的对称中心均为点O，说明图形关于点O中心对称，且正方形绕中心旋转90°后与自身重合，因此大正方形与小正方形的面积差会被平均分成4个全等的区域。要求阴影部分的面积，只需先求出两个正方形的面积差，再取其四分之一即可。
【解析】
解：首先计算两个正方形的面积：
大正方形ABCD的面积：$S_{ABCD}=5^2=25$
小正方形EFGH的面积：$S_{EFGH}=3^2=9$
两个正方形的面积差为：$25-9=16$
由于两个正方形对称中心重合，根据中心对称和正方形旋转90°与自身重合的性质，面积差被平均分成4个全等的区域，每个区域的面积为$16÷4=4$，图中阴影部分的面积恰好等于1个该类区域的面积。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题解题的关键是抓住两个正方形共对称中心的特点，利用对称性简化面积求解，无需复杂的割补或线段计算，能够很好地考查对图形对称性的应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 在平面直角坐标系中，如果点$P_1(m,-2)$与点$P_2(5,n)$关于原点$O$对称，那么$m+n$的值为（
A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
B
）A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握关于原点对称的点的坐标性质。解题时首先回忆性质：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来根据已知的两个对称点的坐标，分别求出m和n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵ 点$P_1(m,-2)$与点$P_2(5,n)$关于原点$O$对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ $m = -5$，$n = 2$，
∴ $m + n = -5 + 2 = -3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对原点对称的点的坐标规律的应用，熟记相关性质即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练掌握关于原点对称的点的坐标性质。解题时首先回忆性质：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来根据已知的两个对称点的坐标，分别求出m和n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵ 点$P_1(m,-2)$与点$P_2(5,n)$关于原点$O$对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ $m = -5$，$n = 2$，
∴ $m + n = -5 + 2 = -3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对原点对称的点的坐标规律的应用，熟记相关性质即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
5.在平面直角坐标系中,若点$P(m,m-n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称,则点$M(m,n)$在第
一
象限.答案
5.一
解析
【分析】
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。我们可以先根据这个性质列出关于m、n的方程，先求出m的值，再代入方程求出n的值，得到点M的坐标后，结合各象限内点的坐标符号特征，就能判断点M所在的象限。
【解析】
解：
∵点$P(m,m-n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标规律：两点横、纵坐标均互为相反数，可列方程：
$\begin{cases}m=-(-2)\\m-n=-3\end{cases}$
解得$m=2$，
将$m=2$代入$m-n=-3$，得$2-n=-3$，解得$n=5$，
∴点$M$的坐标为$(2,5)$，
∵第一象限内点的坐标符号为$(+,+)$，
∴点$M$在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系章节的基础常考题，核心考查对称点坐标性质和象限判断规则，只要熟记相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。我们可以先根据这个性质列出关于m、n的方程，先求出m的值，再代入方程求出n的值，得到点M的坐标后，结合各象限内点的坐标符号特征，就能判断点M所在的象限。
【解析】
解：
∵点$P(m,m-n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标规律：两点横、纵坐标均互为相反数，可列方程：
$\begin{cases}m=-(-2)\\m-n=-3\end{cases}$
解得$m=2$，
将$m=2$代入$m-n=-3$，得$2-n=-3$，解得$n=5$，
∴点$M$的坐标为$(2,5)$，
∵第一象限内点的坐标符号为$(+,+)$，
∴点$M$在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系章节的基础常考题，核心考查对称点坐标性质和象限判断规则，只要熟记相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
6.如图,方格纸的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点均在格点上.请在所给的平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题:
(1)画出△ABC绕B点逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁;
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂;
(3)若将△A₁B₁C₁绕点P旋转得到△A₂B₂C₂,则点P的坐标为
(1)画出△ABC绕B点逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁;
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂;
(3)若将△A₁B₁C₁绕点P旋转得到△A₂B₂C₂,则点P的坐标为
(0,-1)
.答案
6.解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求. (2)如图,△A₂B₂C₂即为所求. (3)(0,-1)
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC绕B点逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁，首先明确旋转中心为点B，因此B₁与B重合；再根据旋转90°的性质，将线段BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°得到对应线段B₁A₁、B₁C₁，最后顺次连接三个顶点即可。
(2) 要画出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂，利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点A₂、B₂、C₂的坐标，再描点连线即可。
(3) 求旋转中心P时，根据旋转的性质：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，分别作A₁A₂、B₁B₂的垂直平分线，两条线的交点即为点P，再计算其坐标即可。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：B(1,0)，A(2,2)，C(3,1)。
(1) 点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转90°后的坐标为$(a-(y-b), b+(x-a))$：
A(2,2)旋转后得到A₁：$1-(2-0)=-1$，$0+(2-1)=1$，即$A₁(-1,1)$；
C(3,1)旋转后得到C₁：$1-(1-0)=0$，$0+(3-1)=2$，即$C₁(0,2)$；
B₁与B重合，坐标为$(1,0)$，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数：
A(2,2)的对称点为$A₂(-2,-2)$；
B(1,0)的对称点为$B₂(-1,0)$；
C(3,1)的对称点为$C₂(-3,-1)$；
顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 求旋转中心P的坐标：
① B₁(1,0)、B₂(-1,0)的连线为水平线段，中点为(0,0)，其垂直平分线为y轴（直线$x=0$）；
② A₁(-1,1)、A₂(-2,-2)连线的中点为$(\frac{-1-2}{2},\frac{1-2}{2})=(-1.5,-0.5)$，连线斜率$k=\frac{-2-1}{-2-(-1)}=3$，因此垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{3}$，可得垂直平分线方程为$y+0.5=-\frac{1}{3}(x+1.5)$；
将$x=0$代入上述方程，解得$y=-1$，即点P的坐标为$(0,-1)$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求；(2) 如图，△A₂B₂C₂即为所求；(3) $\boldsymbol{(0,-1)}$
【知识点】
图形的旋转变换，关于原点对称的点的坐标，旋转中心的确定
【点评】
本题考查旋转、中心对称的作图以及旋转性质的应用，解题关键是熟练掌握几何变换前后对应点的坐标规律，准确找到对应点的位置。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC绕B点逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁，首先明确旋转中心为点B，因此B₁与B重合；再根据旋转90°的性质，将线段BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°得到对应线段B₁A₁、B₁C₁，最后顺次连接三个顶点即可。
(2) 要画出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂，利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点A₂、B₂、C₂的坐标，再描点连线即可。
(3) 求旋转中心P时，根据旋转的性质：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，分别作A₁A₂、B₁B₂的垂直平分线，两条线的交点即为点P，再计算其坐标即可。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：B(1,0)，A(2,2)，C(3,1)。
(1) 点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转90°后的坐标为$(a-(y-b), b+(x-a))$：
A(2,2)旋转后得到A₁：$1-(2-0)=-1$，$0+(2-1)=1$，即$A₁(-1,1)$；
C(3,1)旋转后得到C₁：$1-(1-0)=0$，$0+(3-1)=2$，即$C₁(0,2)$；
B₁与B重合，坐标为$(1,0)$，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数：
A(2,2)的对称点为$A₂(-2,-2)$；
B(1,0)的对称点为$B₂(-1,0)$；
C(3,1)的对称点为$C₂(-3,-1)$；
顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 求旋转中心P的坐标：
① B₁(1,0)、B₂(-1,0)的连线为水平线段，中点为(0,0)，其垂直平分线为y轴（直线$x=0$）；
② A₁(-1,1)、A₂(-2,-2)连线的中点为$(\frac{-1-2}{2},\frac{1-2}{2})=(-1.5,-0.5)$，连线斜率$k=\frac{-2-1}{-2-(-1)}=3$，因此垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{3}$，可得垂直平分线方程为$y+0.5=-\frac{1}{3}(x+1.5)$；
将$x=0$代入上述方程，解得$y=-1$，即点P的坐标为$(0,-1)$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求；(2) 如图，△A₂B₂C₂即为所求；(3) $\boldsymbol{(0,-1)}$
【知识点】
图形的旋转变换，关于原点对称的点的坐标，旋转中心的确定
【点评】
本题考查旋转、中心对称的作图以及旋转性质的应用，解题关键是熟练掌握几何变换前后对应点的坐标规律，准确找到对应点的位置。
【难度系数】
0.7
7.雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱.把如图所示的雪花图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度是 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
7.C
解析
【分析】要解决这道题，首先需要明确旋转对称图形最小旋转角的求解逻辑：若一个图形绕中心旋转一定角度后与自身重合，说明该图形可被中心平均分成n个全等的部分，最小旋转角就等于周角360°除以n。接下来我们只需要观察雪花图案，数出它被中心平均分成的全等部分的数量，代入计算即可。
【解析】观察题中的雪花图案可知，该图形绕中心均匀分布着6个完全相同的部分。根据旋转对称图形最小旋转角的计算方法，最小旋转角为周角除以全等部分的数量，即：
$360° ÷ 6 = 60°$
因此将图案绕中心至少旋转60°即可与自身重合，故选C。
【答案】C
【知识点】旋转对称图形；最小旋转角计算
【点评】本题属于基础题型，核心是理解旋转对称的性质，解题的关键是准确数出图形绕中心分布的全等部分的数量，掌握计算方法即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】观察题中的雪花图案可知，该图形绕中心均匀分布着6个完全相同的部分。根据旋转对称图形最小旋转角的计算方法，最小旋转角为周角除以全等部分的数量，即：
$360° ÷ 6 = 60°$
因此将图案绕中心至少旋转60°即可与自身重合，故选C。
【答案】C
【知识点】旋转对称图形；最小旋转角计算
【点评】本题属于基础题型，核心是理解旋转对称的性质，解题的关键是准确数出图形绕中心分布的全等部分的数量，掌握计算方法即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
8. 如图，把$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$40°$，得到$\mathrm{Rt}△ AB'C'$，点$C'$恰好落在边$AB$上，连接$BB'$，则$∠ BB'C'$的大小为（
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
C
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
8.C
解析
【分析】
遇到旋转类几何角度计算题，首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。本题首先由旋转40°可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，先利用等腰三角形内角和性质求出等腰△ABB'的底角∠AB'B的度数；再结合旋转得到的直角∠AC'B'=90°，在Rt△AB'C'中利用直角三角形两锐角互余求出∠AB'C'的度数，最后用∠AB'B减去∠AB'C'即可得到所求∠BB'C'的大小。
【解析】
解：
∵ Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB'C'，
∴ AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，∠AC'B'=∠C=90°，
在等腰△ABB'中，∠AB'B=∠ABB'，
∴ $∠ AB'B=\frac{180°-∠ BAB'}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
在Rt△AB'C'中，∠B'AC'=∠BAB'=40°，
∴ $∠ AB'C'=90°-∠ B'AC'=90°-40°=50°$，
∴ $∠ BB'C'=∠ AB'B-∠ AB'C'=70°-50°=20°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题型，解题核心是通过旋转得到相等的边和对应角，结合三角形内角和相关性质计算角度，掌握旋转的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
遇到旋转类几何角度计算题，首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。本题首先由旋转40°可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，先利用等腰三角形内角和性质求出等腰△ABB'的底角∠AB'B的度数；再结合旋转得到的直角∠AC'B'=90°，在Rt△AB'C'中利用直角三角形两锐角互余求出∠AB'C'的度数，最后用∠AB'B减去∠AB'C'即可得到所求∠BB'C'的大小。
【解析】
解：
∵ Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB'C'，
∴ AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，∠AC'B'=∠C=90°，
在等腰△ABB'中，∠AB'B=∠ABB'，
∴ $∠ AB'B=\frac{180°-∠ BAB'}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
在Rt△AB'C'中，∠B'AC'=∠BAB'=40°，
∴ $∠ AB'C'=90°-∠ B'AC'=90°-40°=50°$，
∴ $∠ BB'C'=∠ AB'B-∠ AB'C'=70°-50°=20°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题型，解题核心是通过旋转得到相等的边和对应角，结合三角形内角和相关性质计算角度，掌握旋转的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=40°$,将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转$60°$得到$△ DBE$,点$A,C$的对应点分别为$D,E$,连接$DA,CE$,若点$C,A,D$在一条直线上,下列结论一定正确的是(
A.$∠ ABC=∠ EBA$
B.$∠ DEC=90°$
C.$DE// AB$
D.$BE⊥ CD$
C
)A.$∠ ABC=∠ EBA$
B.$∠ DEC=90°$
C.$DE// AB$
D.$BE⊥ CD$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先运用旋转的性质，得到旋转前后的全等三角形、相等的对应边和对应角、旋转角为60°；再由“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABD为等边三角形，得到∠BAD=60°，进而求出∠BAC的度数；结合全等三角形对应角相等得到∠BDE的度数，最后根据平行线判定定理判断选项，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
由旋转的性质可知：$△ ABC ≌ △ DBE$，因此$BA=BD$，$BC=BE$，旋转角$∠ ABD=∠ CBE=60°$，$∠ BAC=∠ BDE$，$∠ ACB=∠ DEB=40°$。
1. 判定等边三角形：
$\because BA=BD$，$∠ ABD=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形，$\therefore ∠ BAD=60°$。
$\because$ 点$C,A,D$在同一直线上，$\therefore ∠ BAC=180°-∠ BAD=180°-60°=120°$，$\therefore ∠ BDE=∠ BAC=120°$。
2. 判断选项C：
$∠ BDE + ∠ ABD=120°+60°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DE// AB$，故C选项正确。
3. 排除其余选项：
A. 由旋转仅得$∠ ABC=∠ DBE$，无法推出$∠ ABC=∠ EBA$，结论不一定成立；
B. 同理$BC=BE$，$∠ CBE=60°$，$△ BCE$是等边三角形，$∠ BEC=60°$，$∠ DEC=∠ BEC-∠ DEB=60°-40°=20°≠90°$，结论错误；
D. $△ BCE$是等边三角形，$∠ BCE=60°$，$∠ ACB=40°$，则$∠ BCD=40°$，$∠ BCD+∠ CBE=40°+60°=100°≠90°$，故$BE$与$CD$不垂直，结论错误。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，结合等边三角形的性质得到角度关系，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用旋转的性质，得到旋转前后的全等三角形、相等的对应边和对应角、旋转角为60°；再由“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABD为等边三角形，得到∠BAD=60°，进而求出∠BAC的度数；结合全等三角形对应角相等得到∠BDE的度数，最后根据平行线判定定理判断选项，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
由旋转的性质可知：$△ ABC ≌ △ DBE$，因此$BA=BD$，$BC=BE$，旋转角$∠ ABD=∠ CBE=60°$，$∠ BAC=∠ BDE$，$∠ ACB=∠ DEB=40°$。
1. 判定等边三角形：
$\because BA=BD$，$∠ ABD=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形，$\therefore ∠ BAD=60°$。
$\because$ 点$C,A,D$在同一直线上，$\therefore ∠ BAC=180°-∠ BAD=180°-60°=120°$，$\therefore ∠ BDE=∠ BAC=120°$。
2. 判断选项C：
$∠ BDE + ∠ ABD=120°+60°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DE// AB$，故C选项正确。
3. 排除其余选项：
A. 由旋转仅得$∠ ABC=∠ DBE$，无法推出$∠ ABC=∠ EBA$，结论不一定成立；
B. 同理$BC=BE$，$∠ CBE=60°$，$△ BCE$是等边三角形，$∠ BEC=60°$，$∠ DEC=∠ BEC-∠ DEB=60°-40°=20°≠90°$，结论错误；
D. $△ BCE$是等边三角形，$∠ BCE=60°$，$∠ ACB=40°$，则$∠ BCD=40°$，$∠ BCD+∠ CBE=40°+60°=100°≠90°$，故$BE$与$CD$不垂直，结论错误。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，结合等边三角形的性质得到角度关系，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=62°$，将$△ ABC$在平面内绕点$A$旋转到$△ AB'C'$的位置，使$CC'// AB$，则旋转角的度数为
56°
。答案
10.56°
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边长度相等，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角。首先由旋转可得AC=AC'，即△ACC'为等腰三角形；再结合CC'//AB的条件，利用平行线内错角相等得到底角∠ACC'的度数；最后根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，计算出顶角∠CAC'的度数，即为所求旋转角。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'为旋转角，
∵CC'//AB，
∴∠ACC'=∠CAB=62°（两直线平行，内错角相等），
∵AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=62°，
在△ACC'中，根据三角形内角和为180°：
∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-62°-62°=56°，
即旋转角的度数为56°。
【答案】
56°
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是明确旋转角的定义，结合平行线和等腰三角形的性质推导角度，是旋转相关知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边长度相等，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角。首先由旋转可得AC=AC'，即△ACC'为等腰三角形；再结合CC'//AB的条件，利用平行线内错角相等得到底角∠ACC'的度数；最后根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，计算出顶角∠CAC'的度数，即为所求旋转角。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'为旋转角，
∵CC'//AB，
∴∠ACC'=∠CAB=62°（两直线平行，内错角相等），
∵AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=62°，
在△ACC'中，根据三角形内角和为180°：
∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-62°-62°=56°，
即旋转角的度数为56°。
【答案】
56°
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是明确旋转角的定义，结合平行线和等腰三角形的性质推导角度，是旋转相关知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
