一、二次函数的概念
一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

y=ax²+bx+c

1. 若$y=(m + 1)x^{m^{2}-m}+1$是以x为自变量的二次函数,则$m=$.

答：
由题意得函数为$y=(m + 1)x^{m^{2} - m} + 1$，
要使该函数为二次函数，则需满足：
$\begin{cases}m^{2}-m = 2, \\m + 1\neq 0.\end{cases}$
由$m^{2}-m = 2$，即$m^{2}-m - 2 = 0$，
因式分解得$(m - 2)(m+1)=0$，
解得$m = 2$或$m = - 1$。
又因为$m + 1\neq 0$，即$m\neq - 1$，
所以$m = 2$。
故答案为$2$。

二、二次函数的图象与性质
1. 二次函数的图象与性质

2. 二次函数图象的平移

口诀:左加右减自变量,上加下减常数项.
注:1. 函数图象的平移实质是图象上点的整体平移;2. 在二次函数图象平移时,通常将一般式转化为顶点式,再根据平移规律运算.
1. 对于顶点坐标：把$x =-\frac{b}{2a}$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$y=a(-\frac{b}{2a})^{2}+b(-\frac{b}{2a})+c=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
2. 对于增减性（$a\gt0$）：当$a\gt0$时，在对称轴左侧，即当$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即当$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。
3. 对于增减性（$a\lt0$）：当$a\lt0$时，在对称轴左侧，即当$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即当$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。
4. 对于函数平移：函数$y = a(x - h)^{2}+k$向右平移$m$个单位长度，根据“左加右减自变量”，则$y=a(x - h - m)^{2}+k$；函数$y = a(x - h)^{2}+k$向上平移$m$个单位长度，根据“上加下减常数项”，则$y=a(x - h)^{2}+k + m$。

1. 对于顶点坐标：
把$x =-\frac{b}{2a}$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$y=a(-\frac{b}{2a})^{2}+b(-\frac{b}{2a})+c=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
2. 对于增减性（$a\gt0$）：
当$a\gt0$时，在对称轴左侧，即当$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即当$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。
3. 对于增减性（$a\lt0$）：
当$a\lt0$时，在对称轴左侧，即当$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即当$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。
4. 对于函数平移：
函数$y = a(x - h)^{2}+k$向右平移$m$个单位长度，根据“左加右减自变量”，则$y=a(x - h - m)^{2}+k$；
函数$y = a(x - h)^{2}+k$向上平移$m$个单位长度，根据“上加下减常数项”，则$y=a(x - h)^{2}+k + m$。
故答案依次为：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；减小；增大；增大；减小；$a(x - h - m)^{2}+k$；$a(x - h)^{2}+k + m$。