6. (2025 周口二模)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 3$。$D$ 是射线 $BC$ 上的一个动点，连接 $AD$，将线段 $AB$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $EF$($E$，$F$ 分别是 $A$，$B$ 的对应点)。连接 $BE$，$DE$，$DF$，当 $\triangle BED$ 是以 $BD$ 为腰的等腰三角形时，$BD$ 的长为。

3√2 - 3或3√2 + 3

以A为原点，B(3,0)，C(0,3)建立坐标系，BC方程为y=-x+3。设D在射线BC上，坐标为(3-3k,3k)(k≥0)，BD=3√2k。AB绕D逆时针旋转90°得EF，A对应E，由旋转公式得E(3,6k-3)。
△BED以BD为腰分两种情况：
1. BD=BE：BE=|6k-3|，则3√2k=|6k-3|。
当k≥1/2时，3√2k=6k-3，解得k=(2+√2)/2，BD=3√2×(2+√2)/2=3(√2+1)。
当0≤k＜1/2时，3√2k=3-6k，解得k=(2-√2)/2，BD=3√2×(2-√2)/2=3(√2-1)。
2. BD=DE：DE=√[(3-(3-3k))²+(6k-3-3k)²]=3√(2k²-2k+1)，则3√2k=3√(2k²-2k+1)，解得k=1/2，此时E与B重合，不能构成三角形，舍去。
综上，BD=3(√2-1)或3(√2+1)，化简得3√2-3或3√2+3。

例2 (2025 濮阳一模)如图，$Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，点 $D$ 是 $AC$ 上一点，把 $\triangle BDC$ 沿 $BD$ 折叠，点 $C$ 的对应点为点 $E$，连接 $AE$，若 $\triangle ADE$ 为直角三角形，则 $DC$ 的长为。

3或$\frac{3}{2}$

解:设 $ DC = x $，则 $ DE = x $，$ AD = 4 - x $，$ BE = BC = 3 $。
情况1：$\angle ADE = 90°$
此时 $ DE ⊥ AC $，$ E $ 点横坐标与 $ D $ 相同，设 $ D(x,0) $，则 $ E(x,x) $。由 $ BE = 3 $，得：
$\sqrt{x^2 + (x - 3)^2} = 3 \implies x^2 + (x - 3)^2 = 9 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies x = 3 \, (\mathrm{舍} 0)$
情况2：$\angle AED = 90°$
设 $ E(m,n) $，由折叠性质得 $ m = \frac{18x}{x^2 + 9} $，$ n = \frac{6x^2}{x^2 + 9} $。由 $ \angle AED = 90° $，向量 $ \overrightarrow{EA} · \overrightarrow{ED} = 0 $，解得：
$2x^2 + 9x - 18 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \, (\mathrm{舍负根})$
情况3：$\angle DAE = 90°$ 无解。
综上，$ DC = 3 $ 或 $ \frac{3}{2} $。

训练 7. (2025 洛阳一模)如图，$\angle ABC = 90^{\circ}$，点 $D$ 为 $AB$ 上一定点，$BD = 3$，$BC = 5$，$E$ 为射线 $DA$ 上一动点，$\triangle CBE$ 关于 $CE$ 对称的图形为 $\triangle CFE$(点 $B$ 的对称点为点 $F$)，连接 $DF$。若 $\triangle DEF$ 是直角三角形，则 $DE$ 的长为。

2或8

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，设D(0,3)，C(5,0)，E(0,k)，DE=x，则k=3+x（E在D上方）或k=3-x（E在D下方）。由对称性质得F(10k²/(k²+25),50k/(k²+25))。
情况1：∠E=90°
向量ED=(0,3-k)，向量EF=(10k²/(k²+25),(-k³+25k)/(k²+25))，数量积为0，即(3-k)(-k³+25k)=0。
E在D上方（k＞3）：k=5，x=5-3=2。
E在D下方（k＜3）：k=-5，x=3-(-5)=8。
情况2：∠D=90°或∠F=90°
无解。
综上，DE=2或8。

8. (2025 平顶山模拟)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$AD = 3$，将 $\triangle BCD$ 沿射线 $BD$ 平移得 $\triangle EGF$($BE ＜ BD$)，连接 $AE$，$AF$，当 $\triangle AEF$ 是直角三角形时，平移的距离 $BE$ 的长度为。

7/5或16/5

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)。BD向量为(-4,3)，|BD|=5，设BE=t（0＜t＜5），平移向量为(-4t/5,3t/5)。则E(4-4t/5,3t/5)，F(-4t/5,3+3t/5)。
计算AE²=(4-4t/5)²+(3t/5)²=t²-32t/5+16，AF²=(-4t/5)²+(3+3t/5)²=t²+18t/5+9，EF²=(-4)²+3²=25。
△AEF为直角三角形分三种情况：
1. ∠A=90°：AE²+AF²=EF²，即(t²-32t/5+16)+(t²+18t/5+9)=25，解得t=7/5；
2. ∠E=90°：AE²+EF²=AF²，即(t²-32t/5+16)+25=t²+18t/5+9，解得t=16/5；
3. ∠F=90°：AF²+EF²=AE²，解得t=-9/5（舍去）。
综上，BE=7/5或16/5。

9. (2023 河南，15)矩形 $ABCD$ 中，$M$ 为对角线 $BD$ 的中点，点 $N$ 在边 $AD$ 上，且 $AN = AB = 1$。当以点 $D$，$M$，$N$ 为顶点的三角形是直角三角形时，$AD$ 的长为。

2或1+√2

设AD的长为x，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(0,1)，D(x,0)，N(1,0)，M为BD中点，坐标为(x/2,1/2)。
情况1：∠DMN=90°
向量MD=(x/2,-1/2)，向量MN=((2-x)/2,-1/2)。
由MD·MN=0得：(x/2)·((2-x)/2)+(-1/2)·(-1/2)=0，
即x(2-x)/4 + 1/4=0，化简得x²-2x-1=0，解得x=1+√2（负值舍去）。
情况2：∠DNM=90°
向量ND=(x-1,0)，向量NM=((x-2)/2,1/2)。
由ND·NM=0得：(x-1)·((x-2)/2)=0，解得x=2（x=1时N与D重合，舍去）。
情况3：∠MDN=90°
向量DM=(-x/2,1/2)，向量DN=(1-x,0)。
由DM·DN=0得：(-x/2)(1-x)=0，解得x=1（N与D重合，舍去）。
综上，AD的长为2或1+√2。

10. (2025 郑州模拟)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$，$AB = 16$，$EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$D$ 是边 $AB$ 上一点，$AD = 2$，$P$ 是线段 $DB$ 上的一个动点，连接 $EP$，$DF$ 相交于点 $O$。若 $\triangle DOP$ 是直角三角形，则 $OE$ 的长是。

16/5

在△ABC中，∠A=∠B=45°，则△ABC为等腰直角三角形，AB=16，斜边上的高为8，AC=BC=8√2。EF为中位线，E、F分别为AC、BC中点，坐标为E(4,4)，F(12,4)，EF//AB且EF=8。D在AB上，AD=2，D(2,0)，设P(p,0)(2≤p≤16)。
DF的解析式：由D(2,0)、F(12,4)得y=(2/5)x-4/5。EP的解析式：由E(4,4)、P(p,0)得y=[4/(4-p)]x+4p/(p-4)。联立解得O点坐标((12p-8)/(p+6),4(p-10)/(p+6))。
△DOP为直角三角形分三种情况：
1. ∠P=90°：PO⊥DP，O横坐标=p，即(12p-8)/(p+6)=p，解得p=4（p=2舍去）。此时O(4,4/5)，OE=4-4/5=16/5。
2. ∠D=90°：DO⊥DP，O横坐标=2，解得p=2（P与D重合，舍去）。
3. ∠O=90°：OD·OP=0，化简后方程无新解。
综上，OE=16/5。

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha$，得到 $\triangle ADE$($0 ＜ \alpha ＜ 180^{\circ}$，$\angle AED = 90^{\circ}$)，连接 $BE$，$BD$，当 $\triangle BDE$ 为直角三角形时，$BE$ 的长为。

1

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得AB=5。将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，根据旋转性质：AE=AC=4，AD=AB=5，DE=BC=3，∠AED=∠ACB=90°。
要使△BDE为直角三角形，分三种情况讨论：
1. 直角顶点在E处（∠BED=90°）：
由坐标法或几何关系，E在以A为圆心、4为半径的圆上。当E在AB上时，AE=4，AB=5，故BE=AB-AE=5-4=1。此时DE⊥AB（∠AED=90°），则DE⊥BE，△BDE为直角三角形，BE=1。
2. 直角顶点在D处（∠BDE=90°）：
利用向量垂直或方程求解，发现方程4sinα-3cosα=-3在0＜α＜180°内无解，故不存在。
3. 直角顶点在B处（∠DBE=90°）：
经计算方程产生增根，且几何关系矛盾，不存在。
综上，BE的长为1。