例1 (2025 河南,23)在∠AOB 中,点 C 是∠AOB 的平分线上一点,过点 C 作 CD⊥OB,垂足为点 D,过点 D 作 DE⊥OA,垂足为点 E,直线 DE,OC 交于点 F,过点 C 作 CG⊥DE,垂足为点 G.
(1)观察猜想
如图 1,当∠AOB 为锐角时,用等式表示线段 CG,OE,OD 的数量关系:.
(2)类比探究
如图 2,当∠AOB 为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.
(3)拓展应用
当 0°＜∠AOB＜180°,且∠AOB≠90°时,若 $\frac{GF}{EF}=3$,请直接写出 $\frac{OD}{CD}$ 的值.
(1)观察猜想
如图 1,当∠AOB 为锐角时,用等式表示线段 CG,OE,OD 的数量关系:.
(2)类比探究
如图 2,当∠AOB 为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.
(3)拓展应用
当 0°＜∠AOB＜180°,且∠AOB≠90°时,若 $\frac{GF}{EF}=3$,请直接写出 $\frac{OD}{CD}$ 的值.
答案
解$:(1) CG=OD-OE$
$(2)$不成立$,$正确结论为$OD=CC-OE,$证明如下：
补全图形如解图$②，$过点$C$作$CQ⊥OA$于点$Q，$
同$(1)$易证得$,Rt△QOC≌Rt△DOC,$
∴$OQ=OD，$
∵$DE⊥AO,CG⊥ED,CQ⊥OA，$
∴$∠QEG=∠CGE=∠CQE=90°，$
∴四边形$CQEG$是矩形$,$
∴$QE=CG，$
∴$OD=OQ=QE-OE=CG-OE；$
$(3) \frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$ 解析
