3. (2023 河南,15 考法) 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,OF⊥ OA$ 交 $AD$ 于点 $F$. 若 $DF = CD = 1$,则 $AD$ 的长为.

变式
若将题设中“$DF = CD = 1$”这一条件改为“$AB = 6,BC = 8$”，则 $AF$ 的长为.

1+√2；25/4

原题：设AD=x，CD=1，DF=1，则AF=x-1。以D为原点建系，D(0,0)，A(x,0)，C(0,1)，O(x/2,1/2)，F(1,0)。OA=(x/2,-1/2)，OF=((2-x)/2,-1/2)，OA⊥OF得数量积为0：(x/2)((2-x)/2)+(-1/2)(-1/2)=0，化简得x²-2x-1=0，解得x=1+√2（舍负）。
变式：AB=6，BC=8，AD=8，设F(t,0)，O(4,3)，OA=(4,-3)，OF=(t-4,-3)，OA⊥OF得4(t-4)+9=0，t=7/4，AF=8-7/4=25/4。

4. (2025 北京) 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D,E$ 分别为 $AB,AC$ 的中点,$DF⊥ BC$,垂足为 $F$,点 $G$ 在 $DE$ 的延长线上,$DG = FC$.
(1) 求证:四边形 $DFCG$ 是矩形;
(2) 若 $\angle B = 45^{\circ},DF = 3,DG = 5$,求 $BC$ 和 $AC$ 的长.

(1)见解析;(2)BC=8,AC=2√10

(1)∵D,E分别为AB,AC中点,∴DE是△ABC中位线,∴DE//BC,DE=1/2BC.∵G在DE延长线上,∴DG//BC.又∵DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形.∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,∴平行四边形DFCG是矩形.
(2)∵DF⊥BC,∠B=45°,∴△DFB是等腰直角三角形,∴BF=DF=3.∵四边形DFCG是矩形,∴FC=DG=5,∴BC=BF+FC=3+5=8.∵DE是中位线,∴DE=1/2BC=4,∴EG=DG-DE=5-4.在矩形DFCG中,GC=DF=3,∠GCF=90°.E为AC中点,DE//BC,∴E到BC距离等于1/2DF=1.5?或用坐标法:设F(0,0),B(-3,0),C(5,0),D(0,3),A(3,6),E(4,3).AC=√[(5-3)²+(0-6)²]=√40=2√10.

5. (2021 河南,6) 关于菱形的性质,以下说法的是 ()

A.四条边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形

B

菱形的性质有四条边相等，对角线互相垂直且平分，并且是轴对称图形，但菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线才一定相等。
A选项：四条边相等，是菱形的性质，该选项正确。
B选项：对角线相等，不是菱形的性质，该选项错误。
C选项：对角线互相垂直，是菱形的性质，该选项正确。
D选项：菱形是轴对称图形，有三条对称轴（两条对角线和一条对称轴若为正方形则包含，对于一般菱形主要为两条对角线），该选项正确。

6. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,过点 $D$ 作 $DH⊥ AB$ 于点 $H$,连接 $OH$,若 $OA = 4,OH = 3$,则 $S_{菱形ABCD}=$.

24

∵菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，AC=8。
∵DH⊥AB，∴△DHB为直角三角形。
∵O为BD中点，∴OH为Rt△DHB斜边BD上的中线，∴OH=1/2BD。
∵OH=3，∴BD=2OH=6。
∴$S_{菱形ABCD}=1/2×AC×BD=1/2×8×6=24。$

7. (2025 扬州) 如图,在 $□ ABCD$ 中,对角线 $AC$ 的垂直平分线与边 $AD,BC$ 分别相交于点 $E,F$.
(1) 求证:四边形 $AFCE$ 是菱形;
(2) 若 $AB = 3,BC = 5,CE$ 平分 $\angle ACD$,求 $DE$ 的长.

1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AE// FC$。
所以$\angle EAO=\angle FCO$，$\angle AEO=\angle CFO$。
因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$OA = OC$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle EAO=\angle FCO\\\angle AEO=\angle CFO\\OA = OC\end{cases}$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
所以$OE = OF$。
又因为$OA = OC$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
又因为$EF⊥ AC$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$AFCE$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$AFCE$是菱形，所以$AE = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$。
因为$CE$平分$\angle ACD$，所以$\angle ECA=\angle ECD$。
又因为$AB// CD$（平行四边形对边平行），所以$\angle BAC=\angle ACD$。
所以$\angle EAC=\angle ECA=\angle ECD=\angle BAC$。
设$\angle BAC=\angle ECA=\angle ECD = x$，在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}$，$\angle BCA=\angle BCF+\angle FCA$，因为$AD// BC$，$\angle EAC=\angle FCA$，$\angle BCF=\angle ECD$（两直线平行，内错角相等）。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = 3$，$AD = BC = 5$。
因为$\angle EAC=\angle ECA$，所以$AE = EC$，设$DE = y$，则$AE=EC = 5 - y$。
因为$AB// CD$，所以$\triangle ABC∼\triangle EDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{AB}{EC}=\frac{BC}{DC}$。
已知$AB = 3$，$BC = 5$，$DC = 3$，$EC = 5 - y$，代入$\frac{AB}{EC}=\frac{BC}{DC}$得：
$\frac{3}{5 - y}=\frac{5}{3}$。
交叉相乘得：$5(5 - y)=9$。
展开得：$25-5y = 9$。
移项得：$5y=25 - 9$。
即$5y = 16$，解得$y=\frac{16}{5}$。
所以（1）已证四边形$AFCE$是菱形；（2）$DE$的长为$\frac{16}{5}$。