24. (2025 洛阳三联)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,BC 上的点,且 AE = 2BE,BF = 2CF,连接 EC,FD,M,N 分别是 EC,FD 的中点,连接 MN,若 AB = 6,BC = 9,则 MN 的长为 ()


A.$\sqrt{13}$
B.2$\sqrt{13}$
C.2$\sqrt{10}$
D.2

A

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系。
∵矩形ABCD，AB=6，BC=9，∴B(0,0)，C(9,0)，A(0,6)，D(9,6)。
∵AE=2BE，AB=6，∴BE=2，E(0,2)；
∵BF=2CF，BC=9，∴BF=6，F(6,0)。
M为EC中点，E(0,2)，C(9,0)，∴M((0+9)/2,(2+0)/2)=(4.5,1)；
N为FD中点，F(6,0)，D(9,6)，∴N((6+9)/2,(0+6)/2)=(7.5,3)。
MN=√[(7.5-4.5)²+(3-1)²]=√(3²+2²)=√13。

25. (2025 周口一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB = 90°,AC = 4,AB = 3,点 P 为平面内一动点,PC = 1,连接 BP,点 Q 是线段 BP 的中点,则线段 AQ 的最小值为,最大值为.

2 3

以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立坐标系，得A(0,0)，C(4,0)，B(0,3)。点P轨迹为以C(4,0)为圆心，半径1的圆：(x-4)²+y²=1。设P(x,y)，Q为BP中点，则Q(x/2,(y+3)/2)。AQ=√[(x/2)²+((y+3)/2)²]=(1/2)√[x²+(y+3)²]，即AQ=(1/2)PD（D为(0,-3)）。CD=√[(4-0)²+(0+3)²]=5，PD最大值=5+1=6，最小值=5-1=4。故AQ最大值=3，最小值=2。

26. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = BC = 6,D 为斜边 AB 的中点,E 为线段 BC 上一点,连接 AE,在 AE 上取点 F,若 ∠BFD = 45°,DF = $\sqrt{2}$,则 CF 的长为.

1+√17

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AB中点，故AD=BD=CD=3√2，CD⊥AB，∠CDB=90°。由∠BFD=45°=∠BCD，得B、C、D、F四点共圆，从而∠CFB=∠CDB=90°（同弧所对圆周角相等），即CF⊥BF。
设F(x,y)，则CF=(x,y)，BF=(x-6,y)，由CF⊥BF得x(x-6)+y²=0，即x²+y²=6x。又DF=√2，D(3,3)，故(x-3)²+(y-3)²=2。联立x²+y²=6x与(x-3)²+(y-3)²=2，解得y=8/3，代入x²+y²=6x得x=3±√17/3。由四点共圆及余弦定理在△CFD中，CD=3√2，DF=√2，∠CFD=45°，得CF²-2CF-16=0，解得CF=1+√17（负值舍去）。

27. (2025 郑州一模)如图,在正方形 ABCD 中,AB = 4,等腰直角三角形 GEF 的顶点 E 在 BC 上,且 BE = 1,EG = 3$\sqrt{2}$,点 O 为斜边 EF 的中点,连接 OA,OD,将△GEF 绕点 E 旋转,当 OA = OD 时,点 F 到 AD 的距离为.

4√2 - 4

以A为原点，AD为y轴，AB为x轴建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，E在BC上，BE=1，故E(4,1)。等腰直角△GEF中，EF为斜边，O为EF中点，EG=3√2，所以EF=6，设F(x,y)，则EF向量=(x-4,y-1)，|EF|=6，即(x-4)²+(y-1)²=36。O为EF中点，坐标为((x+4)/2,(y+1)/2)。OA=OD，A(0,0)，D(0,4)，则OA²=OD²，即$[(x+4)/2]^2+[(y+1)/2]^2=[(x+4)/2]^2+[(y+1)/2 - 4]^2，$化简得(y+1)/2=2，y=3。代入EF长度方程得(x-4)²+(3-1)²=36，(x-4)²=32，x=4±4√2。点F到AD（x=0）距离为|x|，即|4±4√2|，取合理值4√2 - 4。

28. (2025 郑州二模)已知等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE 的直角顶点 A 重合,AB = AC = 3$\sqrt{2}$,AD = AE = 2. 连接 BE,CD,将△ADE 绕点 A 在平面内旋转,旋转后的三角形为 AE'D',若点 M 是 BE 的中点,当 E',D',C 三点共线时,线段 AM 的长为.

(4+√2)/2或(4-√2)/2

以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴建立坐标系，B(3√2,0)，C(0,3√2)。设E'(2cosα,2sinα)，则D'坐标由AE'旋转90°得到，分顺时针和逆时针两种情况。当E'，D'，C共线时，利用向量共线条件及三角函数关系求解。由中线长公式AM=1/2√(2AB²+2AE'²-BE'²)，结合全等三角形及余弦定理，解得AM=(4±√2)/2。