1.(北师九下 P100 改编)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，则如图所示的管道的展直长度，即$ \overset{\frown}{AB} $的长为。(结果保留$ \pi $)

$\frac{220\pi}{9}\mathrm{mm}$

题目要求计算弯形管道展直后的长度，即弧 $ \overset{\frown}{AB} $ 的长度。已知圆心角为 $ 110° $，半径为 $ 40 \ \mathrm{mm} $。
弧长公式为：
$L = \frac{\theta}{360°} × 2\pi r$，
其中，$ \theta = 110° $，$ r = 40 \ \mathrm{mm} $。
代入数值计算：
$L = \frac{110}{360} × 2\pi × 40 = \frac{11}{36} × 80\pi = \frac{880\pi}{36} = \frac{220\pi}{9}$。
故答案为：$ \frac{220\pi}{9} \ \mathrm{mm} $。

2. 如图，点$ A $，$ B $，$ C $在$ \odot O $上，四边形$ OABC $是菱形。若$ AC = 2\sqrt{3} $，则$ \overset{\frown}{AC} $的长为。(结果保留$ \pi $)

4π/3

连接AC，∵四边形OABC是菱形，∴OA=OC=AB=BC，且OA、OC为⊙O半径，设半径为r，则OA=OC=r。
∵点B在⊙O上，∴OB=r，即菱形对角线OB=r。
菱形对角线互相垂直平分，设AC与OB交于点D，则AD=AC/2=√3，OD=OB/2=r/2，且∠ADO=90°。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即r²=(√3)²+(r/2)²，解得r=2。
在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD/OA=√3/2，∴∠AOD=60°，则∠AOC=2∠AOD=120°。
弧AC长l=120π×2/180=4π/3。

3.(2025 周口三模)如图，四边形$ ABCD $为平行四边形，以点$ A $为圆心，$ AB $长为半径画弧，交$ BC $边于点$ E $，连接$ AE $。若$ AB = 1 $，$ \angle D = 60^{\circ} $，则$ \overset{\frown}{BE} $的长$ l = $。(结果保留$ \pi $)

$\frac{\pi}{3}$

∵四边形$ABCD$为平行四边形，$\angle D = 60^{\circ}$，
∴$\angle B = \angle D = 60^{\circ}$（平行四边形对角相等）。
∵以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧交$BC$于点$E$，
∴$AB = AE = 1$（半径相等），
∴$\triangle ABE$为等边三角形（有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），
∴$\angle BAE = 60^{\circ}$。
∴$\overset{\frown}{BE}$的长$l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60\pi × 1}{180} = \frac{\pi}{3}$。

4. 如图，用一个半径为$ 3 \mathrm{ cm} $的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了$ 60^{\circ} $，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了$ \mathrm{cm} $。(结果保留$ \pi $)

$\pi$

定滑轮旋转$60^{\circ}$，即旋转的圆心角$n = 60^{\circ}$，半径$r = 3\space cm$。重物上升的高度等于滑轮边缘上一点转过的弧长，弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$，代入得$l=\frac{60\pi×3}{180}=\pi\space cm$。

5.(2021 河南，14)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点$ A $，$ B $，$ D $均在小正方形的顶点上，且点$ B $，$ C $在$ \overset{\frown}{AD} $上，$ \angle BAC = 22.5^{\circ} $，则$ \overset{\frown}{BC} $的长为。(结果保留$ \pi $)

$\frac{\pi}{2}$

设网格中圆心为O，A、D在圆上，由题意知∠BAC=22.5°，∠BAC为圆周角，所对弧为$\overset{\frown}{BC}$，故$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角∠BOC=45°（圆周角是圆心角一半）。
通过网格确定A、D坐标，设A(0,0)，D(4,0)，圆心O为AD中垂线与AB中垂线交点，解得O(2,0)，半径OA=2。
弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，n=45°，r=2，得$l=\frac{45\pi×2}{180}=\frac{\pi}{2}$。

6. 如图，点$ A $，$ B $，$ C $是$ \odot O $上的点，且$ \angle ACB = 40^{\circ} $，$ OA = 3 $，则扇形$ AOB $(阴影部分)的面积为。(结果保留$ \pi $)

2π

∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°。∵OA=3，∴扇形AOB的面积为$\frac{80\pi×3^2}{360}=2\pi$。

7. 如图，在扇形$ EOF $中，$ \angle O = 45^{\circ} $，边长为 1 的正方形$ ABCD $的顶点$ A $在$ OE $上，点$ B $，$ C $在$ OF $上，点$ D $在$ \overset{\frown}{EF} $上，则扇形$ EOF $的面积为。

$\frac{5\pi}{8}$

设扇形半径为$r$，正方形边长为1。以$O$为原点，$OF$为$x$轴建立坐标系，$OE$方程为$y=x$。设$B(x,0)$，则$A(x,1)$（$AB=1$且$AB⊥ OF$），$C(x+1,0)$（$BC=1$），$D(x+1,1)$（$CD=1$且$CD⊥ BC$）。
因$A$在$OE$上，故$x=1$（$A(x,1)$满足$y=x$）。
$D(x+1,1)=(2,1)$，则$OD=r=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
扇形面积$S=\frac{45°}{360°}×\pi r^2=\frac{1}{8}×\pi×5=\frac{5\pi}{8}$。

8.(2024 河南，9)如图，$ \odot O $是边长为$ 4\sqrt{3} $的等边三角形$ ABC $的外接圆，点$ D $是$ \overset{\frown}{BC} $的中点，连接$ BD $，$ CD $。以点$ D $为圆心，$ BD $的长为半径在$ \odot O $内画弧，则阴影部分的面积为()

A.$ \frac{8\pi}{3} $
B.$ 4\pi $
C.$ \frac{16\pi}{3} $
D.$ 16\pi $

C

1. 求外接圆半径：等边△ABC边长为$4\sqrt{3}$，外接圆半径$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$，故⊙O半径为4。
2. 确定点D位置：D是劣弧BC中点，劣弧BC对应圆心角∠BOC=120°，则弧BD=弧DC=60°，圆心角∠BOD=60°。
3. 求BD长度：在△BOD中，OB=OD=4（⊙O半径），∠BOD=60°，故△BOD为等边三角形，BD=4。
4. 求扇形DBC面积：D为劣弧BC中点，∠BDC=120°（所对优弧BAC度数240°，圆周角为120°）。以D为圆心、BD=4为半径的扇形DBC，圆心角120°，面积$S = \frac{120}{360} \pi × 4^2 = \frac{1}{3} \pi × 16 = \frac{16\pi}{3}$。

9.(2023 河南，19 考法)如图，在菱形$ AOCD $中，$ OA = 2 $，$ OD = 2\sqrt{3} $，以点$ O $为圆心，$ OA $长为半径作$ \overset{\frown}{AC} $，则阴影部分的面积为。

$\frac{2\pi}{3}$

在菱形$AOCD$中，$OA=2$，$OD=2\sqrt{3}$，以$O$为圆心，$OA$为半径作$\overset{\frown}{AC}$。
1. 求菱形对角线与内角：菱形对角线互相垂直平分，设对角线$AC$与$OD$交于点$M$，则$OM=\frac{OD}{2}=\sqrt{3}$。在$Rt\triangle OAM$中，$OA=2$，$OM=\sqrt{3}$，则$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{4-3}=1$，故$AC=2AM=2$。
2. 求圆心角：$OA=OC=2$，$AC=2$，$\triangle OAC$为等边三角形，$\angle AOC=60°$。
3. 扇形与三角形面积：扇形$OAC$面积$=\frac{60°}{360°}×\pi×2^2=\frac{2\pi}{3}$；$\triangle OAC$面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
4. 阴影部分面积：菱形面积$=\frac{AC× OD}{2}=\frac{2×2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$\triangle OCD$面积$=\frac{1}{2}× OD× CM=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。阴影部分面积$=\triangle OCD$面积$+$(扇形$OAC$面积$-\triangle OAC$面积)$=\sqrt{3}+\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$。

10.(2025 河南，14)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”时的一个图形，$ \overset{\frown}{AB} $所在圆的圆心为点$ O $，四边形$ ABCD $为矩形，边$ CD $与$ \odot O $相切于点$ E $，连接$ BE $，$ \angle ABE = 15^{\circ} $，连接$ OE $交$ AB $于点$ F $。若$ AB = 4 $，则图中阴影部分的面积为。

4π/3 - 4

连接OA、OB，∵CD与⊙O相切于E，∴OE⊥CD，∵ABCD为矩形，∴AB//CD，AB=CD=4，∴OE⊥AB，设垂足为F，由垂径定理得AF=FB=2。设⊙O半径为r，OA=OB=r，在Rt△OFB中，OB²=OF²+FB²，即r²=OF²+2²。
∵∠ABE=15°，∠ABC=90°，∴∠EBC=75°，在Rt△BCE中，BC=AB·tan15°=4tan15°=4(2-√3)=8-4√3。∵OE=OF+FE=OF+BC=r，∴r=OF+8-4√3，联立r²=OF²+4，解得r=4，OF=2√3。
∵OA=OB=AB=4，∴△OAB为等边三角形，∠AOB=60°。∵OE=OB=4，∠BOE=30°（由坐标或三角函数求得），扇形OBE面积=30π·4²/360=4π/3，△OBE面积=1/2·4·4·sin30°=4，阴影面积=扇形OBE面积-△OBE面积=4π/3 - 4。