一、反比例函数的概念
一般地，形如 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $)的函数，叫做反比例函数. 其中 $ x $ 是自变量，$ y $ 是函数. 自变量 $ x $ 的取值范围是不等于①
反比例函数的解析式也可以写成 $ xy = k(k \neq 0,xy \neq 0) $，$ y = kx^{-1}(k \neq 0) $ 的形式.
一般地，形如 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $)的函数，叫做反比例函数. 其中 $ x $ 是自变量，$ y $ 是函数. 自变量 $ x $ 的取值范围是不等于①
0
的一切实数.反比例函数的解析式也可以写成 $ xy = k(k \neq 0,xy \neq 0) $，$ y = kx^{-1}(k \neq 0) $ 的形式.
答案
0
1. 下列函数中不是反比例函数的是(
A.$ y = 2x^{-1} $
B.$ y = -\frac{x}{2} $
C.$ xy = 2 $
D.$ y = -\frac{2}{x} $
B
)A.$ y = 2x^{-1} $
B.$ y = -\frac{x}{2} $
C.$ xy = 2 $
D.$ y = -\frac{2}{x} $
答案
B
解析
反比例函数的一般形式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$，$x\neq0$），也可以写成$y = kx^{-1}$或$xy = k$的形式。
选项A：$y = 2x^{-1}$，符合反比例函数$y = kx^{-1}$的形式，其中$k = 2$，所以该函数是反比例函数。
选项B：$y = -\frac{x}{2}$，是正比例函数，其形式为$y = kx$（$k =-\frac{1}{2}$），不符合反比例函数的形式，所以该函数不是反比例函数。
选项C：由$xy = 2$可得$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数$y = \frac{k}{x}$的形式，其中$k = 2$，所以该函数是反比例函数。
选项D：$y = -\frac{2}{x}$，符合反比例函数$y = \frac{k}{x}$的形式，其中$k = -2$，所以该函数是反比例函数。
选项A：$y = 2x^{-1}$，符合反比例函数$y = kx^{-1}$的形式，其中$k = 2$，所以该函数是反比例函数。
选项B：$y = -\frac{x}{2}$，是正比例函数，其形式为$y = kx$（$k =-\frac{1}{2}$），不符合反比例函数的形式，所以该函数不是反比例函数。
选项C：由$xy = 2$可得$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数$y = \frac{k}{x}$的形式，其中$k = 2$，所以该函数是反比例函数。
选项D：$y = -\frac{2}{x}$，符合反比例函数$y = \frac{k}{x}$的形式，其中$k = -2$，所以该函数是反比例函数。
二、反比例函数的图象与性质
易错提醒
反比例函数的增减性不能简单地说 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内或自变量的取值范围内函数的增减变化情况.
易错提醒
反比例函数的增减性不能简单地说 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内或自变量的取值范围内函数的增减变化情况.
答案
②一、三；③减小；④二、四；⑤增大；⑥$y = x$和$y=-x$；⑦原点
解析
当$k＞0$时，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象在第一、三象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，图象在第二、四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。其图象关于直线$y = x$和$y=-x$成轴对称，关于原点成中心对称。
2.(人教九下 P4 改编)已知反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $，请回答下列问题：
(1) 若点 $ (m,-4) $ 在该函数图象上，则 $ m = $
(2) 该函数图象在第
(3) 若在该函数图象上有三个点 $ A(-3,y_1) $，$ B(2,y_2) $，$ C(3,y_3) $，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系为
(4) 当 $ -3 ＜ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 的取值范围是
(1) 若点 $ (m,-4) $ 在该函数图象上，则 $ m = $
$-\frac{3}{2}$
.(2) 该函数图象在第
一、三
象限，在每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
.(3) 若在该函数图象上有三个点 $ A(-3,y_1) $，$ B(2,y_2) $，$ C(3,y_3) $，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系为
$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
.(4) 当 $ -3 ＜ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 的取值范围是
$-6 ＜ y ＜ -2$
；当 $ y ＞ -1 $ 时，$ x $ 的取值范围是$x ＜ -6$或$x ＞ 0$
.答案
(1) 因为点$(m, -4)$在函数$y = \frac{6}{x}$的图象上，所以将$y=-4$代入函数可得：$-4 = \frac{6}{m}$，解得$m=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$。
(2) 对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k＞0$时，函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。这里$k=6＞0$，所以该函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 对于点$A(-3, y_1)$，将$x=-3$代入$y = \frac{6}{x}$，得$y_1=\frac{6}{-3}=-2$；点$B(2, y_2)$，$y_2=\frac{6}{2}=3$；点$C(3, y_3)$，$y_3=\frac{6}{3}=2$。所以$y_1=-2$，$y_2=3$，$y_3=2$，故$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
(4) 当$-3 ＜ x ＜ -1$时，$x$为负数，函数$y = \frac{6}{x}$在第三象限，$y$随$x$的增大而减小。当$x=-3$时，$y=-2$；当$x=-1$时，$y=-6$。所以$y$的取值范围是$-6 ＜ y ＜ -2$。
当$y ＞ -1$时，分两种情况：当$y＞0$时，$\frac{6}{x}＞0$，则$x＞0$；当$-1 ＜ y ＜ 0$时，$-1 ＜ \frac{6}{x} ＜ 0$，解$\frac{6}{x} ＞ -1$，因为$x＜0$，两边同乘$x$变号得$6 ＜ -x$，即$x ＜ -6$。所以$x$的取值范围是$x ＜ -6$或$x ＞ 0$。
(1) $-\frac{3}{2}$
(2) 一、三；减小
(3) $y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
(4) $-6 ＜ y ＜ -2$；$x ＜ -6$或$x ＞ 0$
(2) 对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k＞0$时，函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。这里$k=6＞0$，所以该函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 对于点$A(-3, y_1)$，将$x=-3$代入$y = \frac{6}{x}$，得$y_1=\frac{6}{-3}=-2$；点$B(2, y_2)$，$y_2=\frac{6}{2}=3$；点$C(3, y_3)$，$y_3=\frac{6}{3}=2$。所以$y_1=-2$，$y_2=3$，$y_3=2$，故$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
(4) 当$-3 ＜ x ＜ -1$时，$x$为负数，函数$y = \frac{6}{x}$在第三象限，$y$随$x$的增大而减小。当$x=-3$时，$y=-2$；当$x=-1$时，$y=-6$。所以$y$的取值范围是$-6 ＜ y ＜ -2$。
当$y ＞ -1$时，分两种情况：当$y＞0$时，$\frac{6}{x}＞0$，则$x＞0$；当$-1 ＜ y ＜ 0$时，$-1 ＜ \frac{6}{x} ＜ 0$，解$\frac{6}{x} ＞ -1$，因为$x＜0$，两边同乘$x$变号得$6 ＜ -x$，即$x ＜ -6$。所以$x$的取值范围是$x ＜ -6$或$x ＞ 0$。
(1) $-\frac{3}{2}$
(2) 一、三；减小
(3) $y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
(4) $-6 ＜ y ＜ -2$；$x ＜ -6$或$x ＞ 0$
