9. 如图,长方形$ABCD$中,$AB= 8$,$BC= 6$,$P为AD$上一点,将$\triangle ABP沿BP翻折至\triangle EBP$,$PE与CD相交于点O$,且$OE= OD$,$BE与CD交于点G$,则线段$AP$的长为 。

$\frac{24}{5}$

设$AP=x$，则$PE=x$，$PD=AD-AP=6-x$。
由折叠性质得$BE=AB=8$，$\angle E=\angle A=90°$。
设$OD=OE=y$，$\because \angle D=\angle E=90°$，$\angle POD=\angle GOE$（对顶角），$\therefore \triangle POD \cong \triangle GOE$（ASA）。
$\therefore PD=GE=6-x$，$PO=GO$。设$PO=GO=z$，则$PE=PO+OE=z+y=x$，即$z+y=x$。
$\therefore DG=DO+OG=y+z=x$，$GC=CD-DG=8-x$。
$BE=BG+GE$，$\therefore BG=BE-GE=8-(6-x)=x+2$。
在$Rt\triangle BCG$中，$BC^2+GC^2=BG^2$，即$6^2+(8-x)^2=(x+2)^2$。
解得$x=\frac{24}{5}$。

10. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB= 10$,$BC= 8$。
(1) 如图1,$P为BC$边上一点,将$\triangle ABP沿直线AP翻折至\triangle APQ$的位置,其中点$Q是点B$的对称点,当点$Q落在CD$边上时,求$DQ$的长；
(2) 如图2,点$E是AB$边上一动点,过点$E作EF\perp DE交BC边于点F$,将$\triangle BEF沿直线EF翻折得\triangle B'EF$,连接$DB'$,当$\triangle DEB'是以DE$为腰的等腰三角形时,求$AE$的长。

(1) $ 6 $；(2) $ \frac{9}{5} $

(1) 设 $ DQ = x $，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AD = 8 $，由折叠性质得 $ AQ = AB = 10 $。在 $ Rt\triangle ADQ $ 中，根据勾股定理：
$ AD^2 + DQ^2 = AQ^2 $，即 $ 8^2 + x^2 = 10^2 $，解得 $ x^2 = 36 $，$ x = 6 $。
故 $ DQ = 6 $。
(2) 设 $ AE = m $，则 $ BE = 10 - m $，由折叠性质得 $ B'E = BE = 10 - m $。
在 $ Rt\triangle ADE $ 中，$ DE^2 = AE^2 + AD^2 = m^2 + 8^2 = m^2 + 64 $。
情况1：$ DE = EB' $
则 $ DE = 10 - m $，故 $ m^2 + 64 = (10 - m)^2 $，展开得 $ m^2 + 64 = 100 - 20m + m^2 $，解得 $ 20m = 36 $，$ m = \frac{9}{5} $。
情况2：$ DE = DB' $
经坐标法分析，此时方程无解（仅当 $ E $ 与 $ B $ 重合时成立，不符合题意）。
综上，$ AE = \frac{9}{5} $。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$D为\triangle ABC$外一点,连接$AD$,$BD$,$CD$,若$AD= 4$,$CD= 2$,且$\angle ADC= 45^{\circ}$,求$BD$的长。

6

过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接BE，DE。
∵∠BAC=90°，AE⊥AD，∴∠DAC=∠BAE（同角的余角相等）。
∵AB=AC，AD=AE，∴△ADC≌△AEB（SAS）。
∴BE=CD=2，∠AEB=∠ADC=45°。
∵AE=AD=4，∠DAE=90°，∴DE=√(AD²+AE²)=√(4²+4²)=4√2，∠AED=45°。
∵∠AEB=45°，∠AED=45°，∴∠DEB=∠AED+∠AEB=90°。
在Rt△DEB中，BD=√(DE²+BE²)=√[(4√2)²+2²]=√(32+4)=√36=6。