登录
基础知识·预习
问题1 一元二次方程的概念是什么？
问题2 给定一个一元二次方程，把它化成一般形式，并说一说它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么。
问题3 为什么规定一元二次方程的二次项系数不能为0？
问题1 一元二次方程的概念是什么？
问题2 给定一个一元二次方程，把它化成一般形式，并说一说它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么。
问题3 为什么规定一元二次方程的二次项系数不能为0？
答案
解：
问题1
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2
示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$
去括号得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$
移项、合并同类项化为一般形式：$x^2 - x - 12 = 0$
该方程的二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3
若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
问题1
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2
示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$
去括号得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$
移项、合并同类项化为一般形式：$x^2 - x - 12 = 0$
该方程的二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3
若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的基础概念设置，解题思路如下：1. 回答一元二次方程的概念时，需抓住三个核心特征：等号两边为整式、仅含一个未知数、未知数最高次数为2，将三个特征整合即可得到完整定义；2. 化简一元二次方程为一般形式时，遵循整式运算规则，先去括号，再通过移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，再对应提取二次项、一次项的系数及常数项，注意系数要保留符号；3. 分析二次项系数不为0的原因时，紧扣一元二次方程的定义推导，若二次项系数为0则方程无二次项，不再符合一元二次方程的判定条件。
【解析】
问题1解答
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2解答
示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$
去括号得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$
移项、合并同类项化为一般形式：$x^2 - x - 12 = 0$
该方程的二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3解答
若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【答案】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$，去括号得$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$，移项、合并同类项得一般形式为$x^2 - x - 12 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程系数要求
【点评】
本题是一元二次方程的入门基础题，核心考查概念的理解与应用，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的前提，其中二次项系数不为0的条件是常见易错点，解题时需重点关注。
【难度系数】
0.9
本题围绕一元二次方程的基础概念设置，解题思路如下：1. 回答一元二次方程的概念时，需抓住三个核心特征：等号两边为整式、仅含一个未知数、未知数最高次数为2，将三个特征整合即可得到完整定义；2. 化简一元二次方程为一般形式时，遵循整式运算规则，先去括号，再通过移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，再对应提取二次项、一次项的系数及常数项，注意系数要保留符号；3. 分析二次项系数不为0的原因时，紧扣一元二次方程的定义推导，若二次项系数为0则方程无二次项，不再符合一元二次方程的判定条件。
【解析】
问题1解答
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2解答
示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$
去括号得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$
移项、合并同类项化为一般形式：$x^2 - x - 12 = 0$
该方程的二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3解答
若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【答案】
问题1：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
问题2：示例：给定一元二次方程$(x+2)(x-3)=6$，去括号得$x^2 - 3x + 2x - 6 = 6$，移项、合并同类项得一般形式为$x^2 - x - 12 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-12。
问题3：若一元二次方程的二次项系数为0，则方程中不存在含未知数的二次项，未知数的最高次数就不再是2，方程会退化为一元一次方程或者常数等式，不再满足一元二次方程的定义要求，因此规定一元二次方程的二次项系数不能为0。
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程系数要求
【点评】
本题是一元二次方程的入门基础题，核心考查概念的理解与应用，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的前提，其中二次项系数不为0的条件是常见易错点，解题时需重点关注。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】已知$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，求$m$的值。
思路导引 根据一元二次方程的概念，得$|m|-1=2$，且$m-3≠0$，进而确定$m$的值。
【解】因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以$|m|-1=2$，且$m-3≠0$。
解得$m=-3$。
规律方法 确定一元二次方程中参数的值或取值范围的方法：
要确定一元二次方程中参数的值（或取值范围），需根据一元二次方程的概念，令方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，从而列出关于参数的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定参数的值（或取值范围）。
思路导引 根据一元二次方程的概念，得$|m|-1=2$，且$m-3≠0$，进而确定$m$的值。
【解】因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
所以$|m|-1=2$，且$m-3≠0$。
解得$m=-3$。
规律方法 确定一元二次方程中参数的值或取值范围的方法：
要确定一元二次方程中参数的值（或取值范围），需根据一元二次方程的概念，令方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，从而列出关于参数的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定参数的值（或取值范围）。
答案
解：
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
根据一元二次方程的概念，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，解得$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$即$m≠3$，
最终得$m=-3$。
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，
根据一元二次方程的概念，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，解得$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$即$m≠3$，
最终得$m=-3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程的两个必备成立条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0（若二次项系数为0，方程无二次项，就不属于一元二次方程）。我们先根据最高次数为2的要求列出关于m的绝对值方程，求出m的所有可能取值，再结合二次项系数不为0的限制条件，排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，根据一元二次方程的概念，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质解得$m=3$或$m=-3$；
结合$m-3≠0$即$m≠3$的限制，排除$m=3$；
最终得$m=-3$。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的运算、不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，核心考查一元二次方程的成立条件，解题时需同时满足“最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程的两个必备成立条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0（若二次项系数为0，方程无二次项，就不属于一元二次方程）。我们先根据最高次数为2的要求列出关于m的绝对值方程，求出m的所有可能取值，再结合二次项系数不为0的限制条件，排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
因为$(m-3)x^{|m|-1} - x - m=0$是关于$x$的一元二次方程，根据一元二次方程的概念，可得：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-1=2$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质解得$m=3$或$m=-3$；
结合$m-3≠0$即$m≠3$的限制，排除$m=3$；
最终得$m=-3$。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的运算、不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，核心考查一元二次方程的成立条件，解题时需同时满足“最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
