5. 如图,点A,C,D,B在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.

(1) 证明：
在△ACE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE=∠BDF \\∠A=∠B \\AE=BF\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDF（AAS）
(2) 解：
∵ △ACE ≌ △BDF，
∴ BD = AC = 2，
∵ 点A,C,D,B在同一条直线上，AB=8，
∴ CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4。

【分析】
(1) 要证明△ACE≌△BDF，先梳理题目给出的条件：已知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，三个条件符合全等三角形判定中的“角角边（AAS）”定理，直接代入判定即可完成证明。
(2) 求CD的长度时，已知AB和AC的长度，只需要求出BD的长度即可。利用全等三角形对应边相等的性质，可得到BD=AC，再根据点A、C、D、B共线，线段和差关系为CD=AB-AC-BD，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
(1) 证明：
在△ACE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE=∠BDF \\∠A=∠B \\AE=BF\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDF（AAS）
(2) 解：
∵ △ACE ≌ △BDF，
∴ BD = AC = 2，
∵ 点A,C,D,B在同一条直线上，AB=8，
∴ CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4。
【答案】
(1) △ACE≌△BDF，证明成立；
(2) CD的长为4
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，侧重考查对全等判定定理和性质的掌握，熟练运用全等的性质得到对应边相等，结合线段的和差关系即可解题，是巩固全等相关基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$AC=AD$，$∠ C = ∠ CAD$，$∠ B + ∠ CED = 180°$. 求证：$△ ABC ≌ △ DEA$.

证明：
∵ ∠B + ∠CED = 180°，
∠AED + ∠CED = 180°，
∴ ∠B = ∠AED。
又∵ ∠C = ∠CAD，
∴ ∠C = ∠DAE。
在△ABC和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠DEA, \\∠C = ∠DAE, \\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEA（AAS）。

【分析】
要证明△ABC≌△DEA，首先结合已知条件AC=AD，可知只需再推导两组对应角相等，即可通过角角边判定全等。第一步，利用已知的∠B与∠CED互补，结合邻补角的定义，∠AED也和∠CED互补，根据同角的补角相等，可推出∠B=∠AED；第二步，已知∠C=∠CAD，而∠CAD就是△DEA中的∠DAE，因此得到第二组对应角∠C=∠DAE。此时两组对应角相等，且一组对边AC=AD相等，符合AAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠B + ∠CED = 180°，∠AED + ∠CED = 180°，
∴ ∠B = ∠AED。
又
∵ ∠C = ∠CAD，
∴ ∠C = ∠DAE。
在△ABC和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠DEA, \\∠C = ∠DAE, \\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEA（AAS）。
【答案】
证明：
∵ ∠B + ∠CED = 180°，
∠AED + ∠CED = 180°，
∴ ∠B = ∠AED。
又
∵ ∠C = ∠CAD，
∴ ∠C = ∠DAE。
在△ABC和△DEA中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠DEA, \\∠C = ∠DAE, \\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEA（AAS）。
【知识点】
1. 补角的性质
2. 全等三角形的AAS判定
【点评】
本题是三角形全等证明的基础题型，解题关键是通过角的等量代换得到两组对应相等的角，结合已知的等边即可用AAS判定完成证明，熟练掌握角的等量关系推导是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

7. 如图,已知AD,AF分别是$△ ABC$和$△ ABE$的高,$AD=AF,AC=AE$.求证:$BC=BE$.

证明：
∵AD,AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）。
∴DC=FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）。
∴BD=BF。
∴BD - DC = BF - FE，
即BC=BE。

【分析】
要证明$BC=BE$，观察图形可知$BC=BD-DC$，$BE=BF-FE$，因此只需证明$BD=BF$、$DC=FE$即可。首先根据高的定义可得$∠ D=∠ F=90°$，已知$AD=AF$、$AC=AE$，可先用HL判定$Rt△ ADC≌ Rt△ AFE$，得到$DC=FE$；再利用公共边$AB=AB$，结合$AD=AF$，用HL判定$Rt△ ADB≌ Rt△ AFB$，得到$BD=BF$，最后通过线段差的运算即可推出$BC=BE$。
【解析】
证明：
∵$AD$,$AF$分别是$△ ABC$和$△ ABE$的高，
∴$∠ D=∠ F=90°$。
在$Rt△ ADC$和$Rt△ AFE$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AC=AE\end{array} $
∴$Rt△ ADC≌ Rt△ AFE$（HL）。
∴$DC=FE$。
在$Rt△ ADB$和$Rt△ AFB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\AB=AB\end{array} $
∴$Rt△ ADB≌ Rt△ AFB$（HL）。
∴$BD=BF$。
∴$BD - DC = BF - FE$，
即$BC=BE$。
【答案】
$BC=BE$，证明过程见上述解析。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形高线的定义
【点评】
本题是典型的利用两次三角形全等证明线段相等的问题，解题时需结合图形分析线段的和差关系，挖掘公共边这一隐含条件，熟练掌握全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

8. 如图，AD是$△ ABC$中边BC上的中线，$AB=7$，$AC=5$. 求AD的取值范围.

解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵ AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ BDE=∠ CDA \\DE=DA\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS）。
∴ BE=AC=5。
在△ABE中，由三角形三边关系可得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
又∵ AE = AD + DE = 2AD，AB=7，BE=5，
代入得：$7 - 5 ＜ 2AD ＜ 7 + 5$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 12$，
两边同时除以2，得$1 ＜ AD ＜ 6$。
∴ AD的取值范围是$1 ＜ AD ＜ 6$。

【分析】
要求中线AD的取值范围，已知AB和AC的长度，可考虑利用三角形三边关系求解，但AD与AB、AC不在同一个三角形中，因此需要通过作辅助线转化线段。对于中线相关的问题，常用“倍长中线法”构造全等三角形，将已知的边和待求的线段转化到同一个三角形中，再利用三边关系计算取值范围。具体步骤为：先延长AD到E使DE=AD，构造全等三角形将AC转化为BE，此时AE=2AD，在△ABE中应用三边关系即可计算出AD的范围。
【解析】
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵ AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠ BDE=∠ CDA \\DE=DA\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS）。
∴ BE=AC=5。
在△ABE中，由三角形三边关系可得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
又
∵ AE = AD + DE = 2AD，AB=7，BE=5，
代入得：$7 - 5 ＜ 2AD ＜ 7 + 5$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 12$，
两边同时除以2，得$1 ＜ AD ＜ 6$。
【答案】
$1 ＜ AD ＜ 6$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是中线类线段求值的典型题型，核心解题技巧是倍长中线构造全等三角形，将分散的线段转化到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解。熟练掌握倍长中线这一辅助线构造方法，能快速解决这类与中线相关的线段范围、线段关系类问题。
【难度系数】
0.7