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11.（泰安高新区阶段检测）如图，点A是反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上一点，$AC ⊥ x$轴于点C，与反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$图象交于点B，$AB=2BC$，连接OA，OB，若$△ OAB$的面积为2，则$m+n$的值为（
A.3
B.4
C.6
D.8
D
）A.3
B.4
C.6
D.8
答案
11. D 解析:
∵ 点A是反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上一点,
$AC⊥x$轴于点C,与反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象交于点B,
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AC×OC=\frac{1}{2}m$,$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC×OC=\frac{1}{2}n$,
∴ $AC×OC=m$,$BC×OC=n$.
∵ $AB=2BC$,$\therefore AC=3BC$,$\therefore m=3n$.
∵ $△ OAB$的面积为2,
∴ $\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n=2$,整理得$m-n=4$,
∴ $m=6$,$n=2$,
∴ $m+n=6+2=8$. 故选 D.
∵ 点A是反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上一点,
$AC⊥x$轴于点C,与反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象交于点B,
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AC×OC=\frac{1}{2}m$,$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC×OC=\frac{1}{2}n$,
∴ $AC×OC=m$,$BC×OC=n$.
∵ $AB=2BC$,$\therefore AC=3BC$,$\therefore m=3n$.
∵ $△ OAB$的面积为2,
∴ $\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n=2$,整理得$m-n=4$,
∴ $m=6$,$n=2$,
∴ $m+n=6+2=8$. 故选 D.
12. 如图,过点$P(2,3)$分别作$PC⊥x$轴于点$C$,$PD⊥y$轴于点$D$,$PC$,$PD$分别交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点$A$,$B$,则四边形$BOAP$的面积为
4
.答案
12. 4
13. 如图,点A,B是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的两点,$AC ⊥ x$轴于点$C$,$BD ⊥ x$轴于点$D$,连接$OA$,$BC$,若点$C(2,0)$,$BD=4$,$S_{△ BCD}=5$,则$S_{△ AOC}=$
9
.答案
13. 9 解析:
∵ $BD=4$,$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· CD=5$,
∴ $CD=\frac{5×2}{4}=\frac{5}{2}$.
∵ $C(2,0)$,$\therefore OD=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$,$\therefore B(\frac{9}{2},4)$.
把$B(\frac{9}{2},4)$的坐标代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$,得$k=18$,
∴ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}$,
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=9$.
∵ $BD=4$,$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· CD=5$,
∴ $CD=\frac{5×2}{4}=\frac{5}{2}$.
∵ $C(2,0)$,$\therefore OD=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$,$\therefore B(\frac{9}{2},4)$.
把$B(\frac{9}{2},4)$的坐标代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$,得$k=18$,
∴ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{18}{x}$,
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=9$.
14. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 与正比例函数 $y=mx(m≠0)$ 的图象交于点 $A(-1,2)$ 和点 $B$,点 $C$ 是点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点,连接 $AC,BC.$
(1) 求该反比例函数的表达式.
(2) 求 $△ ABC$ 的面积.
(3) 请结合函数图象,直接写出不等式 $\dfrac{k}{x}＜mx$ 的解集.
(1) 求该反比例函数的表达式.
(2) 求 $△ ABC$ 的面积.
(3) 请结合函数图象,直接写出不等式 $\dfrac{k}{x}＜mx$ 的解集.
答案
14. 解:(1)把点$A(-1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$,得$2=\frac{k}{-1}$,
∴ $k=-2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$.
(2)由题意,可知点$A(-1,2)$与点$B$关于原点对称,
∴ $B(1,-2)$.
∵ 点$C$是点$A$关于$y$轴的对称点,
∴ $AC// x$轴,$C(1,2)$,$\therefore AC=2$.
由$B(1,-2)$与$C(1,2)$,可知$BC// y$轴,$BC=4$,
∴ $∠ C=90°$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)$x＜-1$ 或 $0＜x＜1$.
∴ $k=-2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$.
(2)由题意,可知点$A(-1,2)$与点$B$关于原点对称,
∴ $B(1,-2)$.
∵ 点$C$是点$A$关于$y$轴的对称点,
∴ $AC// x$轴,$C(1,2)$,$\therefore AC=2$.
由$B(1,-2)$与$C(1,2)$,可知$BC// y$轴,$BC=4$,
∴ $∠ C=90°$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)$x＜-1$ 或 $0＜x＜1$.
15. 如图,已知一次函数 $y_1 = kx + b$ 的图象与函数 $y_2 = \frac{m}{x}(x＞0)$ 的图象交于 $A(6,-\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},n)$两点,与$y$轴交于点$C$.将直线$AB$沿$y$轴向上平移$t$个单位长度得到直线$DE$,$DE$与$y$轴交于点$F$.
(1)求$y_1$与$y_2$的表达式.
(2)观察图象,直接写出$y_1 ＜ y_2$时$x$的取值范围.
(3)连接$AD$,$CD$,若$△ ACD$的面积为$6$,则$t$的值为
(1)求$y_1$与$y_2$的表达式.
(2)观察图象,直接写出$y_1 ＜ y_2$时$x$的取值范围.
(3)连接$AD$,$CD$,若$△ ACD$的面积为$6$,则$t$的值为
2
.答案
15. 解:(1)把$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$,
得$m=-3$,$\therefore y_2=-\frac{3}{x}$.
把$B(\frac{1}{2},n)$代入$y_2=-\frac{3}{x}$,得$n=-6$,$\therefore B(\frac{1}{2},-6)$.
将$A(6,-\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$,
得$\begin{cases}\frac{1}{2}k+b=-6,\\6k+b=-\frac{1}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=-\frac{13}{2},\end{cases}$ $\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$.
(2)$\frac{1}{2}＜x＜6$
(3)如图,连接$AF$,由$AB// DF$,可得$S_{△ ACF}=S_{△ ACD}=6$,
$\therefore \frac{1}{2}CF×6=6$,$\therefore CF=2$,$\therefore t=2$.
