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10. 若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则下列四幅图中，能正确表示它们之间关系的是 （
A
）答案
10. A
解析
【分析】首先明确三类数的关系：实数分为有理数和无理数，二者是完全独立的并列关系，没有公共部分；而有理数包含整数和分数，说明分数属于有理数的范畴，和无理数没有交集。我们只要找到满足“A和B无重叠、C完全包含在A中”的选项即可。
【解析】
第一步：梳理数的分类逻辑：
1. 有理数（A）和无理数（B）是两类不同的实数，二者不存在公共的数，相互独立；
2. 分数（C）属于有理数的一种，所有分数都属于有理数，不属于无理数。
第二步：逐一分析选项：
选项A：A和B独立无重叠，C完全在A的范围内，符合数的分类关系，正确；
选项B：B中也包含C，代表分数属于无理数，不符合概念，错误；
选项C：三个集合存在交叉区域，代表存在数同时属于有理数和无理数，不符合概念，错误；
选项D：C和A、B并列，代表分数既不属于有理数也不属于无理数，不符合概念，错误。
【答案】A
【知识点】实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】本题是基础概念考查题，解题的核心是熟记数的分类规则，理清不同类别数之间的从属、并列关系即可快速作答。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：梳理数的分类逻辑：
1. 有理数（A）和无理数（B）是两类不同的实数，二者不存在公共的数，相互独立；
2. 分数（C）属于有理数的一种，所有分数都属于有理数，不属于无理数。
第二步：逐一分析选项：
选项A：A和B独立无重叠，C完全在A的范围内，符合数的分类关系，正确；
选项B：B中也包含C，代表分数属于无理数，不符合概念，错误；
选项C：三个集合存在交叉区域，代表存在数同时属于有理数和无理数，不符合概念，错误；
选项D：C和A、B并列，代表分数既不属于有理数也不属于无理数，不符合概念，错误。
【答案】A
【知识点】实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】本题是基础概念考查题，解题的核心是熟记数的分类规则，理清不同类别数之间的从属、并列关系即可快速作答。
【难度系数】0.8
11. (1) 若 $ k ＜ \sqrt{90} ＜ k + 1 $（k是整数），则 $ k = $
(2) 若 $ 2 ＜ \sqrt{x} ＜ 3 $，则满足条件的整数x有
9
。(2) 若 $ 2 ＜ \sqrt{x} ＜ 3 $，则满足条件的整数x有
4
个。答案
11. (1)9 (2)4
解析
【分析】
(1) 要确定整数k的值，需先估算$\sqrt{90}$的大小，找到90介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可得到$\sqrt{90}$的范围，对应得到k的取值。
(2) 要求满足条件的整数x的个数，可先对不等式$2＜\sqrt{x}＜3$两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变），得到x的取值范围，再数出范围内的整数个数即可。
【解析】
(1) 计算相邻整数的平方：$9^2=81$，$10^2=100$，
因为$81＜90＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{90}＜10$，
又因为$k＜\sqrt{90}＜k+1$且k是整数，所以$k=9$。
(2) 已知$2＜\sqrt{x}＜3$，不等式两边均为非负数，将三边同时平方得：
$2^2＜(\sqrt{x})^2＜3^2$，即$4＜x＜9$，
其中整数x为5、6、7、8，共4个。
【答案】
(1)9；(2)4
【知识点】
无理数大小估算；算术平方根性质；不等式性质
【点评】
本题是实数相关的基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练掌握常见整数的平方值，通过平方运算去掉根号确定取值范围，第二问需注意取值范围不包含端点，避免多数整数。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定整数k的值，需先估算$\sqrt{90}$的大小，找到90介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可得到$\sqrt{90}$的范围，对应得到k的取值。
(2) 要求满足条件的整数x的个数，可先对不等式$2＜\sqrt{x}＜3$两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变），得到x的取值范围，再数出范围内的整数个数即可。
【解析】
(1) 计算相邻整数的平方：$9^2=81$，$10^2=100$，
因为$81＜90＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{90}＜10$，
又因为$k＜\sqrt{90}＜k+1$且k是整数，所以$k=9$。
(2) 已知$2＜\sqrt{x}＜3$，不等式两边均为非负数，将三边同时平方得：
$2^2＜(\sqrt{x})^2＜3^2$，即$4＜x＜9$，
其中整数x为5、6、7、8，共4个。
【答案】
(1)9；(2)4
【知识点】
无理数大小估算；算术平方根性质；不等式性质
【点评】
本题是实数相关的基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练掌握常见整数的平方值，通过平方运算去掉根号确定取值范围，第二问需注意取值范围不包含端点，避免多数整数。
【难度系数】
0.8
12. 观察下图，若每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1。
(1)图中阴影部分的面积是
(2)阴影部分正方形边长的值在整数
(3)在数轴上作出阴影部分正方形边长的对应点。(要求保留作图痕迹)
(1)图中阴影部分的面积是
10
；阴影部分正方形的边长是$\sqrt{10}$
。(2)阴影部分正方形边长的值在整数
3
和4
之间。(3)在数轴上作出阴影部分正方形边长的对应点。(要求保留作图痕迹)
答案
12. 解：(1)阴影部分的面积为 $4×4-4×\frac{1}{2}×1×3=16-6=10$，
阴影部分正方形的边长为$\sqrt{10}$。
故答案为：$10$；$\sqrt{10}$。
(2)因为 $9＜10＜16$，
所以 $3＜\sqrt{10}＜4$，
即阴影部分正方形边长的值在整数3和4之间。
故答案为：$3$；$4$。
(3)如图，点 P 表示数$\sqrt{10}$。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1)求阴影面积可采用割补法：先算边长为4的大正方形总面积，再减去周围4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影正方形的面积；再根据正方形边长是其面积的算术平方根，就能求出阴影正方形的边长。
(2)估算无理数大小时，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质，就能确定该无理数介于哪两个整数之间。
(3)要在数轴上表示$\sqrt{10}$，根据勾股定理，直角边为3和1的直角三角形斜边长为$\sqrt{10}$，以原点为圆心、该斜边长为半径画弧，和数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点。
【解析】
(1) 边长为4的大正方形面积为$4×4=16$，周围4个直角三角形的面积之和为$4×\frac{1}{2}×1×3=6$，因此阴影部分的面积为$16-6=10$。
设阴影正方形的边长为$a$，可得$a^2=10$，结合边长为正数，因此$a=\sqrt{10}$。
(2) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，根据算术平方根的性质可得$3＜\sqrt{10}＜4$，即阴影正方形的边长在整数3和4之间。
(3) 构造直角边分别为3和1的直角三角形，以原点为圆心，该直角三角形的斜长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，该点即为$\sqrt{10}$的对应点。
【答案】
(1) $10$；$\sqrt{10}$
(2) $3$；$4$
(3) 如图，点P表示数$\sqrt{10}$：
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题将几何面积计算和代数无理数相关知识结合，考查数形结合的应用能力，解题核心是熟练掌握算术平方根的意义和勾股定理的简单应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1)求阴影面积可采用割补法：先算边长为4的大正方形总面积，再减去周围4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影正方形的面积；再根据正方形边长是其面积的算术平方根，就能求出阴影正方形的边长。
(2)估算无理数大小时，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质，就能确定该无理数介于哪两个整数之间。
(3)要在数轴上表示$\sqrt{10}$，根据勾股定理，直角边为3和1的直角三角形斜边长为$\sqrt{10}$，以原点为圆心、该斜边长为半径画弧，和数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点。
【解析】
(1) 边长为4的大正方形面积为$4×4=16$，周围4个直角三角形的面积之和为$4×\frac{1}{2}×1×3=6$，因此阴影部分的面积为$16-6=10$。
设阴影正方形的边长为$a$，可得$a^2=10$，结合边长为正数，因此$a=\sqrt{10}$。
(2) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，根据算术平方根的性质可得$3＜\sqrt{10}＜4$，即阴影正方形的边长在整数3和4之间。
(3) 构造直角边分别为3和1的直角三角形，以原点为圆心，该直角三角形的斜长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，该点即为$\sqrt{10}$的对应点。
【答案】
(1) $10$；$\sqrt{10}$
(2) $3$；$4$
(3) 如图，点P表示数$\sqrt{10}$：
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题将几何面积计算和代数无理数相关知识结合，考查数形结合的应用能力，解题核心是熟练掌握算术平方根的意义和勾股定理的简单应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图,这是一个数值转换机原理的示意图。
(1)当输入的x为16时,输出的y的值是
(2)若输入有效的x后,始终无法输出y,请写出满足要求的x的值。
(3)若输入的$x＜\sqrt{626}$,且输出的y是$\sqrt{5}$,请写出满足要求的x的值。
(1)当输入的x为16时,输出的y的值是
$\sqrt{2}$
。(2)若输入有效的x后,始终无法输出y,请写出满足要求的x的值。
(3)若输入的$x＜\sqrt{626}$,且输出的y是$\sqrt{5}$,请写出满足要求的x的值。
答案
13. 解：(1)16 的算术平方根是 4，4 是有理数，4 不能输出；
4 的算术平方根是 2，2 是有理数，2 不能输出；
2 的算术平方根是$\sqrt{2}$，是无理数，输出。
故答案为$\sqrt{2}$。
(2)因为 0 和 1 的算术平方根是它们本身，0 和 1 是有理数，所以当 x 的值是 0 和 1 时，始终无法输出 y 的值。
(3)$x＜\sqrt{626}$，625 的算术平方根是 25，25 的算术平方根是 5，5 的算术平方根是$\sqrt{5}$，所以满足要求的 x 的值为 5，25。
4 的算术平方根是 2，2 是有理数，2 不能输出；
2 的算术平方根是$\sqrt{2}$，是无理数，输出。
故答案为$\sqrt{2}$。
(2)因为 0 和 1 的算术平方根是它们本身，0 和 1 是有理数，所以当 x 的值是 0 和 1 时，始终无法输出 y 的值。
(3)$x＜\sqrt{626}$，625 的算术平方根是 25，25 的算术平方根是 5，5 的算术平方根是$\sqrt{5}$，所以满足要求的 x 的值为 5，25。
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算它的算术平方根，若结果是无理数则直接输出y；若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次计算算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数输出。
解题思路：
(1) 输入x=16时，按规则逐步计算算术平方根，判断每一步结果的属性，直到得到无理数即为输出值；
(2) 始终无法输出y说明每次计算算术平方根的结果都是有理数且进入循环，结合算术平方根的性质，0和1的算术平方根是自身，均为有理数，符合要求；
(3) 已知输出y=√5，逆向推导：第一次计算就得到√5则x=5；第一次算得有理数5，第二次算得√5则x=25；再往上推导得到的x=625，不符合x＜√626的要求，舍去即可。
【解析】
(1) 当输入x=16时：
第一步：计算16的算术平方根，$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新计算；
第二步：计算4的算术平方根，$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新计算；
第三步：计算2的算术平方根，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt{2}$。
(2) 算术平方根等于自身的数是0和1，且0和1都是有理数，每次对0或1计算算术平方根，结果都是本身，始终为有理数，永远无法输出y，因此满足要求的x为0、1。
(3) 已知输出$y=\sqrt{5}$，逆向推导：
① 若仅一次计算就输出$\sqrt{5}$，则$\sqrt{x}=\sqrt{5}$，解得$x=5$，$5＜\sqrt{626}$（$\sqrt{626}\approx25.02$），符合要求；
② 若经过两次计算输出$\sqrt{5}$，则第一次计算得到的算术平方根为5（有理数，返回计算），即$\sqrt{x}=5$，解得$x=25$，$25＜\sqrt{626}$，符合要求；
③ 若经过三次计算输出$\sqrt{5}$，则$\sqrt{x}=25$，解得$x=625$，$625＞\sqrt{626}$，不符合要求，舍去。
因此满足要求的x的值为5、25。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $0$、$1$；(3) $5$、$25$
【知识点】
算术平方根计算，无理数判别，实数大小比较
【点评】
本题结合流程图考查实数相关基础知识点，解题关键是读懂转换机的运算规则，需要正向计算和逆向推导结合，同时注意0和1这两个特殊值的算术平方根性质，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换机的运算规则：输入x后，先计算它的算术平方根，若结果是无理数则直接输出y；若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次计算算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数输出。
解题思路：
(1) 输入x=16时，按规则逐步计算算术平方根，判断每一步结果的属性，直到得到无理数即为输出值；
(2) 始终无法输出y说明每次计算算术平方根的结果都是有理数且进入循环，结合算术平方根的性质，0和1的算术平方根是自身，均为有理数，符合要求；
(3) 已知输出y=√5，逆向推导：第一次计算就得到√5则x=5；第一次算得有理数5，第二次算得√5则x=25；再往上推导得到的x=625，不符合x＜√626的要求，舍去即可。
【解析】
(1) 当输入x=16时：
第一步：计算16的算术平方根，$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新计算；
第二步：计算4的算术平方根，$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新计算；
第三步：计算2的算术平方根，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt{2}$。
(2) 算术平方根等于自身的数是0和1，且0和1都是有理数，每次对0或1计算算术平方根，结果都是本身，始终为有理数，永远无法输出y，因此满足要求的x为0、1。
(3) 已知输出$y=\sqrt{5}$，逆向推导：
① 若仅一次计算就输出$\sqrt{5}$，则$\sqrt{x}=\sqrt{5}$，解得$x=5$，$5＜\sqrt{626}$（$\sqrt{626}\approx25.02$），符合要求；
② 若经过两次计算输出$\sqrt{5}$，则第一次计算得到的算术平方根为5（有理数，返回计算），即$\sqrt{x}=5$，解得$x=25$，$25＜\sqrt{626}$，符合要求；
③ 若经过三次计算输出$\sqrt{5}$，则$\sqrt{x}=25$，解得$x=625$，$625＞\sqrt{626}$，不符合要求，舍去。
因此满足要求的x的值为5、25。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $0$、$1$；(3) $5$、$25$
【知识点】
算术平方根计算，无理数判别，实数大小比较
【点评】
本题结合流程图考查实数相关基础知识点，解题关键是读懂转换机的运算规则，需要正向计算和逆向推导结合，同时注意0和1这两个特殊值的算术平方根性质，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
14. 阅读材料：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
规定：实数$m$的整数部分记为$[m]$，小数部分记为$\{m\}$，则$[\sqrt{7}]=2$，$\{\sqrt{7}\}=\sqrt{7}-2$。
解答下列问题：
(1)$[\sqrt{11}]=$
(2)求$\{\sqrt{13}\}+\{13-\sqrt{13}\}$的值。
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
规定：实数$m$的整数部分记为$[m]$，小数部分记为$\{m\}$，则$[\sqrt{7}]=2$，$\{\sqrt{7}\}=\sqrt{7}-2$。
解答下列问题：
(1)$[\sqrt{11}]=$
3
，$\{\sqrt{19}\}=$$\sqrt{19}-4$
。(2)求$\{\sqrt{13}\}+\{13-\sqrt{13}\}$的值。
答案
14. 解：(1)因为$9＜11＜16$，$16＜19＜25$，
所以$3＜\sqrt{11}＜4$，$4＜\sqrt{19}＜5$，
所以$[\sqrt{11}]=3$，$\{\sqrt{19}\}=\sqrt{19}-4$。
故答案为：$3$；$\sqrt{19}-4$。
(2)因为$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\{\sqrt{13}\}=\sqrt{13}-3$，
所以$\{13-\sqrt{13}\}=4-\sqrt{13}$，
所以原式$=\sqrt{13}-3+4-\sqrt{13}=1$。
所以$3＜\sqrt{11}＜4$，$4＜\sqrt{19}＜5$，
所以$[\sqrt{11}]=3$，$\{\sqrt{19}\}=\sqrt{19}-4$。
故答案为：$3$；$\sqrt{19}-4$。
(2)因为$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\{\sqrt{13}\}=\sqrt{13}-3$，
所以$\{13-\sqrt{13}\}=4-\sqrt{13}$，
所以原式$=\sqrt{13}-3+4-\sqrt{13}=1$。
解析
【分析】
本题考查新定义下无理数整数部分与小数部分的求解，解题思路如下：1. 求无理数的整数部分和小数部分时，先用“夹逼法”找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的取值范围，即可得到整数部分[m]，再用原数减去整数部分得到小数部分{m}；2. 第二问先分别求出√13和13-√13的小数部分，再代入相加化简即可。
【解析】
(1) 因为$9＜11＜16$，$16＜19＜25$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，$4＜\sqrt{19}＜5$，
根据定义可得$[\sqrt{11}]=3$，$\{\sqrt{19}\}=\sqrt{19}-4$。
(2) 因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\{\sqrt{13}\}=\sqrt{13}-3$，
因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$13-4＜13-\sqrt{13}＜13-3$，即$9＜13-\sqrt{13}＜10$，
所以$\{13-\sqrt{13}\}=13-\sqrt{13}-9=4-\sqrt{13}$，
则原式$=\sqrt{13}-3+4-\sqrt{13}=1$。
【答案】
(1) $3$；$\sqrt{19}-4$ (2) $1$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数的加减运算 3. 新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查无理数相关计算，核心是掌握用夹逼法确定无理数取值范围的方法，明确小数部分为原数减去其整数部分的规则，计算时同类项抵消即可得到结果，侧重基础方法的应用。
【难度系数】
0.7
本题考查新定义下无理数整数部分与小数部分的求解，解题思路如下：1. 求无理数的整数部分和小数部分时，先用“夹逼法”找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的取值范围，即可得到整数部分[m]，再用原数减去整数部分得到小数部分{m}；2. 第二问先分别求出√13和13-√13的小数部分，再代入相加化简即可。
【解析】
(1) 因为$9＜11＜16$，$16＜19＜25$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，$4＜\sqrt{19}＜5$，
根据定义可得$[\sqrt{11}]=3$，$\{\sqrt{19}\}=\sqrt{19}-4$。
(2) 因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
所以$\{\sqrt{13}\}=\sqrt{13}-3$，
因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$13-4＜13-\sqrt{13}＜13-3$，即$9＜13-\sqrt{13}＜10$，
所以$\{13-\sqrt{13}\}=13-\sqrt{13}-9=4-\sqrt{13}$，
则原式$=\sqrt{13}-3+4-\sqrt{13}=1$。
【答案】
(1) $3$；$\sqrt{19}-4$ (2) $1$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数的加减运算 3. 新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查无理数相关计算，核心是掌握用夹逼法确定无理数取值范围的方法，明确小数部分为原数减去其整数部分的规则，计算时同类项抵消即可得到结果，侧重基础方法的应用。
【难度系数】
0.7
