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1. 下列说法:①圆是轴对称图形;②圆有无数条对称轴;③圆的任意一条直径都是圆的对称轴;④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. C 解析：③圆的任意一条直径都是圆的对称轴错误,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要明确对称轴的定义：对称轴是沿其对折后能使图形两旁部分完全重合的直线，而非线段；再结合圆的轴对称性质，逐一判断4个说法的正误，重点注意区分直径（线段）和直径所在直线的差异，这是本题的易错点。
【解析】
我们逐个分析4种说法：
1. 说法①：将圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形，①正确；
2. 说法②：平面内过圆心的直线有无数条，对应圆就有无数条对称轴，②正确；
3. 说法③：对称轴是直线，而直径是两端都在圆上、且经过圆心的线段，不符合对称轴是直线的要求，因此该说法错误；
4. 说法④：根据圆的轴对称性质，圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，④正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆的轴对称性和对称轴概念的准确理解，易错点是忽略对称轴为直线的要求，误将线段形式的直径当作对称轴，做题时要注意辨析相近概念的差异。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确对称轴的定义：对称轴是沿其对折后能使图形两旁部分完全重合的直线，而非线段；再结合圆的轴对称性质，逐一判断4个说法的正误，重点注意区分直径（线段）和直径所在直线的差异，这是本题的易错点。
【解析】
我们逐个分析4种说法：
1. 说法①：将圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形，①正确；
2. 说法②：平面内过圆心的直线有无数条，对应圆就有无数条对称轴，②正确；
3. 说法③：对称轴是直线，而直径是两端都在圆上、且经过圆心的线段，不符合对称轴是直线的要求，因此该说法错误；
4. 说法④：根据圆的轴对称性质，圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，④正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆的轴对称性和对称轴概念的准确理解，易错点是忽略对称轴为直线的要求，误将线段形式的直径当作对称轴，做题时要注意辨析相近概念的差异。
【难度系数】
0.7
2. 如图，CD是$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$于点$E$，则下列结论不一定成立的是（
A.$AE=BE$
B.$OE=DE$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
（第2题）
B
）A.$AE=BE$
B.$OE=DE$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
（第2题）答案
2. B 解析:
∵ AB⊥CD,CD过圆心O,
∴ AE=BE,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,不能推出 OE=DE.故选 B.
∵ AB⊥CD,CD过圆心O,
∴ AE=BE,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,不能推出 OE=DE.故选 B.
解析
【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。再结合题目的已知条件（CD是过圆心的直径，AB⊥CD），逐一判断每个选项的结论是否是定理的必然推导结果，即可找到不一定成立的选项。
【解析】
∵ CD是$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$于点E，根据垂径定理可得：
1. 直径CD平分弦AB，因此$AE=BE$，A选项结论成立；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，C、D选项结论成立；
对于B选项，题干没有给出E为OD中点的相关条件，$OE=DE$仅在特殊情况下成立，不是必然结论，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础考查题，解题关键是熟记垂径定理的内容，能区分定理对应的必然结论和仅特殊情况成立的结论，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。再结合题目的已知条件（CD是过圆心的直径，AB⊥CD），逐一判断每个选项的结论是否是定理的必然推导结果，即可找到不一定成立的选项。
【解析】
∵ CD是$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$于点E，根据垂径定理可得：
1. 直径CD平分弦AB，因此$AE=BE$，A选项结论成立；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，C、D选项结论成立；
对于B选项，题干没有给出E为OD中点的相关条件，$OE=DE$仅在特殊情况下成立，不是必然结论，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础考查题，解题关键是熟记垂径定理的内容，能区分定理对应的必然结论和仅特殊情况成立的结论，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. ★★（宜昌中考）如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，AC，OB交于点D. 若$AD=CD=8$，$OD=6$，则BD的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
3. B 解析:
∵ AD=CD=8,
∴ OB⊥AC.在 Rt△AOD 中,$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
∴ OB=10,
∴ BD=10-6=4.故选 B.
∵ AD=CD=8,
∴ OB⊥AC.在 Rt△AOD 中,$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
∴ OB=10,
∴ BD=10-6=4.故选 B.
解析
【分析】
首先观察已知条件，AD=CD说明OB平分弦AC，OB是过圆心的半径，根据垂径定理的推论可推出OB⊥AC，得到直角三角形AOD；接下来利用勾股定理，结合已知AD、OD的长度求出半径OA的长度；最后由于OB和OA都是圆的半径，长度相等，用OB减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
∵ AD=CD，OB是$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理推论可得OB⊥AC，即$∠ ADO=90°$。
在$Rt△ AOD$中，AD=8，OD=6，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
∵OB是$\odot O$的半径，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理推论、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题核心是通过垂径定理得到垂直关系，构造直角三角形后结合勾股定理求出半径，再通过线段和差计算结果，是垂径定理应用的典型常规题。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AD=CD说明OB平分弦AC，OB是过圆心的半径，根据垂径定理的推论可推出OB⊥AC，得到直角三角形AOD；接下来利用勾股定理，结合已知AD、OD的长度求出半径OA的长度；最后由于OB和OA都是圆的半径，长度相等，用OB减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
∵ AD=CD，OB是$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理推论可得OB⊥AC，即$∠ ADO=90°$。
在$Rt△ AOD$中，AD=8，OD=6，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
∵OB是$\odot O$的半径，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理推论、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题核心是通过垂径定理得到垂直关系，构造直角三角形后结合勾股定理求出半径，再通过线段和差计算结果，是垂径定理应用的典型常规题。
【难度系数】
0.7
4. ★★ (2026·合肥期末)如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，垂足为$P$，$PA=8$，$PB=2$，则$CD$的长为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
B
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
4. B 解析:连接 OC,如图所示.
∵ PA=8,PB=2,
∴ AB=10,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}AB=5$,
∴ OP=8-5=3,在Rt△CPO 中, $CP=\sqrt{CO^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∵ AB 是$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$,
∴ CD=2CP=2×4=8.故选 B.
解析
【分析】
遇到直径垂直弦的问题，首先联想到垂径定理，可知垂直于弦的直径平分弦，因此CD=2CP，只需求出CP的长度即可得到CD的长。我们可以连接半径OC构造直角三角形CPO，先通过PA、PB的长度求出圆的直径，进而得到半径OC、OA的长度，再计算出OP的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出CP，即可得到CD的长度。
【解析】
连接OC，如图所示。
∵ PA=8，PB=2，
∴ AB=PA+PB=8+2=10，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴ OP=PA-OA=8-5=3，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CPO=90°，
在Rt△CPO中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{CO^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得AB平分CD，
∴ CD=2CP=2×4=8。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是连接半径构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
遇到直径垂直弦的问题，首先联想到垂径定理，可知垂直于弦的直径平分弦，因此CD=2CP，只需求出CP的长度即可得到CD的长。我们可以连接半径OC构造直角三角形CPO，先通过PA、PB的长度求出圆的直径，进而得到半径OC、OA的长度，再计算出OP的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出CP，即可得到CD的长度。
【解析】
连接OC，如图所示。
∵ PA=8，PB=2，
∴ AB=PA+PB=8+2=10，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴ OP=PA-OA=8-5=3，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CPO=90°，
在Rt△CPO中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{CO^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得AB平分CD，
∴ CD=2CP=2×4=8。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是连接半径构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图,点A,B,C在圆O上,弦AC与半径OB互相平分,那么∠AOC度数为
120
°.答案
5. 120 解析:
∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分,
∴ OA=AB.
∵ OA=OB,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ ∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=120°.
∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分,
∴ OA=AB.
∵ OA=OB,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ ∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=120°.
解析
【分析】
解题时先抓住关键条件“弦AC与半径OB互相平分”，首先回忆对角线互相平分的四边形是平行四边形，可推出四边形OABC是平行四边形；再结合圆的半径都相等的性质，可得平行四边形OABC的邻边相等，即它是菱形，因此OA=AB=OB，可判断△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，同理可得∠COB=60°，两者相加即可得到∠AOC的度数。
【解析】
设AC与OB交于点M，
∵弦AC与半径OB互相平分，
∴AM=MC，OM=MB，
∴四边形OABC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AB=OC。
又
∵OA、OC、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OC=OB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
同理可得∠COB=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+60°=120°。
【答案】
120
【知识点】
圆的基本性质；平行四边形的判定；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形、三角形结合的基础综合题，解题的突破口是利用“对角线互相平分”的性质判定平行四边形，再结合圆半径相等的特征推导等边三角形，进而求出角度，能有效考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先抓住关键条件“弦AC与半径OB互相平分”，首先回忆对角线互相平分的四边形是平行四边形，可推出四边形OABC是平行四边形；再结合圆的半径都相等的性质，可得平行四边形OABC的邻边相等，即它是菱形，因此OA=AB=OB，可判断△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，同理可得∠COB=60°，两者相加即可得到∠AOC的度数。
【解析】
设AC与OB交于点M，
∵弦AC与半径OB互相平分，
∴AM=MC，OM=MB，
∴四边形OABC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AB=OC。
又
∵OA、OC、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OC=OB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
同理可得∠COB=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+60°=120°。
【答案】
120
【知识点】
圆的基本性质；平行四边形的判定；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形、三角形结合的基础综合题，解题的突破口是利用“对角线互相平分”的性质判定平行四边形，再结合圆半径相等的特征推导等边三角形，进而求出角度，能有效考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. |教材P17练习T2变式 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若AB=10 cm,CD=6 cm.
(1)求AC的长;
(2)若大圆半径为13 cm,求小圆的半径.
(1)求AC的长;
(2)若大圆半径为13 cm,求小圆的半径.
答案
6. (1)作 OE ⊥ AB,垂足为 E,由垂径定理知,点 E 是 CD 的中点,也是 AB 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=5$ cm, $CE=\frac{1}{2}CD=3$ cm,
∴ AC=AE-CE=5-3=2(cm).
(2)连接 OA,OC,
∵ 在 Rt△AOE 中,AE=5 cm,OA=13 cm,
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$(cm).
在 Rt△OCE 中,
∵ CE = 3 cm, OE = 12 cm,
∴ $OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{12^2+3^2}=3\sqrt{17}$(cm).
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=5$ cm, $CE=\frac{1}{2}CD=3$ cm,
∴ AC=AE-CE=5-3=2(cm).
(2)连接 OA,OC,
∵ 在 Rt△AOE 中,AE=5 cm,OA=13 cm,
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$(cm).
在 Rt△OCE 中,
∵ CE = 3 cm, OE = 12 cm,
∴ $OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{12^2+3^2}=3\sqrt{17}$(cm).
解析
【分析】
这道题考查圆中弦长相关计算，解题核心是利用垂径定理。遇到圆的弦长问题时，常规辅助线是过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足会是弦的中点，从而可以将已知的弦长折半。第(1)问求AC的长，只需要用AB长度的一半减去CD长度的一半即可；第(2)问求小圆半径，可先在大圆对应的直角三角形中利用勾股定理求出弦心距OE的长度，再在小圆对应的直角三角形中用勾股定理求出小圆半径OC。
【解析】
(1) 过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
根据垂径定理可得：点E是AB的中点，同时也是CD的中点。
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$ cm，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$ cm，
∴ $AC=AE-CE=5-3=2$ cm。
(2) 连接OA、OC，其中OA为大圆半径，OC为小圆半径。
在$Rt△ AOE$中，$AE=5$ cm，$OA=13$ cm，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm。
在$Rt△ OCE$中，$CE=3$ cm，$OE=12$ cm，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$ cm。
【答案】
(1) AC的长为2 cm；(2) 小圆的半径为$3\sqrt{17}$ cm。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，通过作弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度是圆中弦长相关计算的常用方法，需熟练掌握该辅助线的作法。
【难度系数】
0.75
这道题考查圆中弦长相关计算，解题核心是利用垂径定理。遇到圆的弦长问题时，常规辅助线是过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足会是弦的中点，从而可以将已知的弦长折半。第(1)问求AC的长，只需要用AB长度的一半减去CD长度的一半即可；第(2)问求小圆半径，可先在大圆对应的直角三角形中利用勾股定理求出弦心距OE的长度，再在小圆对应的直角三角形中用勾股定理求出小圆半径OC。
【解析】
(1) 过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
根据垂径定理可得：点E是AB的中点，同时也是CD的中点。
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$ cm，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$ cm，
∴ $AC=AE-CE=5-3=2$ cm。
(2) 连接OA、OC，其中OA为大圆半径，OC为小圆半径。
在$Rt△ AOE$中，$AE=5$ cm，$OA=13$ cm，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm。
在$Rt△ OCE$中，$CE=3$ cm，$OE=12$ cm，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$ cm。
【答案】
(1) AC的长为2 cm；(2) 小圆的半径为$3\sqrt{17}$ cm。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，通过作弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度是圆中弦长相关计算的常用方法，需熟练掌握该辅助线的作法。
【难度系数】
0.75
7. |教材P16例3变式 如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面宽AB=8 m,净高CD=8 m,则此圆的半径OA为
5
m.答案
7. 5 解析:设此圆的半径为r m,则OA=r m,OD=(8-r) m,
∵ AB=8 m,CD ⊥ AB,
∴ $AD=\frac{1}{2}×AB=\frac{1}{2}×8=4$(m).在Rt△AOD中,$OA^2=OD^2+AD^2$,即$r^2=(8-r)^2+4^2$,解得r=5.故答案为5.
∵ AB=8 m,CD ⊥ AB,
∴ $AD=\frac{1}{2}×AB=\frac{1}{2}×8=4$(m).在Rt△AOD中,$OA^2=OD^2+AD^2$,即$r^2=(8-r)^2+4^2$,解得r=5.故答案为5.
解析
【分析】
遇到圆中涉及弦长、弦到弧上点的距离求半径的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此先求出弦AB的一半AD的长度。再设半径为r，将Rt△AOD的三边都用含r的式子表示，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设此圆的半径为r m，则OA=r m，OC=r m。
∵ CD=8 m，
∴ OD=CD-OC=(8-r) m。
∵ CD⊥AB，AB是圆O的弦，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ m。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开计算：$r^2=16+64-16r+r^2$，
化简得：$16r=80$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是圆部分的基础常考题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆中涉及弦长、弦到弧上点的距离求半径的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此先求出弦AB的一半AD的长度。再设半径为r，将Rt△AOD的三边都用含r的式子表示，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设此圆的半径为r m，则OA=r m，OC=r m。
∵ CD=8 m，
∴ OD=CD-OC=(8-r) m。
∵ CD⊥AB，AB是圆O的弦，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ m。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开计算：$r^2=16+64-16r+r^2$，
化简得：$16r=80$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是圆部分的基础常考题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
8. |新趋势·数学文化（2025·淮北期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$，垂足为$E$，$CE=1$寸，$AB=6$寸，求直径$CD$的长。”
答案
8. 设直径 CD 的长为 2x 寸,则半径 OC=x 寸,
∵ CD 为$\odot O$的直径,弦 AB ⊥ CD 于 E,AB=6 寸,
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$(寸).连接 OA,则 OA=x 寸,OE=(x-1)寸,根据勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$,
∴ $x^2=3^2+(x-1)^2$,解得 x=5,
∴ CD=2x=2×5=10(寸).
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知弦AB与直径CD垂直，优先考虑使用垂径定理得到AE的长度；要求直径CD的长度，我们可以设半径长为未知数，连接OA构造直角三角形，再结合勾股定理列出方程求解，最终即可得到直径的长度。
【解析】
设直径 CD 的长为 2x 寸，则半径 OC=x 寸，
∵ CD 为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$于 E，$AB=6$寸，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$(寸)。
连接 OA，则 OA=x 寸，$OE=OC-CE=(x-1)$寸，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$，
∴ $x^2=3^2+(x-1)^2$，
解得 x=5，
∴ $CD=2x=2×5=10$(寸)。
【答案】
10寸
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合古代数学文化命题，考查垂径定理与勾股定理的综合运用，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，利用方程思想求解，是圆相关知识的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：已知弦AB与直径CD垂直，优先考虑使用垂径定理得到AE的长度；要求直径CD的长度，我们可以设半径长为未知数，连接OA构造直角三角形，再结合勾股定理列出方程求解，最终即可得到直径的长度。
【解析】
设直径 CD 的长为 2x 寸，则半径 OC=x 寸，
∵ CD 为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$于 E，$AB=6$寸，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$(寸)。
连接 OA，则 OA=x 寸，$OE=OC-CE=(x-1)$寸，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$，
∴ $x^2=3^2+(x-1)^2$，
解得 x=5，
∴ $CD=2x=2×5=10$(寸)。
【答案】
10寸
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合古代数学文化命题，考查垂径定理与勾股定理的综合运用，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，利用方程思想求解，是圆相关知识的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
