【典例1】我国宋代数学家杨辉发现了$(a+b)^n(n=0,1,2,3,···)$展开式系数的规律：
$(a+b)^0=1$ 1 展开式系数和为1
$(a+b)^1=a+b$ 1 1 展开式系数和为$1+1$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 1 2 1 展开式系数和为$1+2+1$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 1 3 3 1 展开式系数和为$1+3+3+1$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ 1 4 6 4 1 展开式系数和为$1+4+6+4+1$
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，$(a+b)^7$展开式的系数和是（）

A.$64$
B.$128$
C.$256$
D.$512$

解:当 n=0 时,展开式中所有项的系数和为$1=2^0$,
当 n=1 时,展开式中所有项的系数和为$2=2^1$,
当 n=2 时,展开式中所有项的系数和为$4=2^2$,
...
当 n=7 时,展开式的项系数和为$2^7=128$.

变式1.$(x+1)^6$中，$x^4$的系数为.

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变式 2.多项式 $x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$.当 $x=3$ 时,该式值为.

解:$(x-2)^6=1$.

变式3.$(x+1)^{2019}$展开式中含$x^{2018}$的系数是（）

A.2016
B.2017
C.2018
D.2019

D

变式4.(2026·青山)依上规律，那么$(a - \dfrac{1}{a})^8$展开式中$a^6$的系数是()

A.8
B.－8
C.28
D.－28

解:$(a-\dfrac{1}{a})^8$中$a^6$系数即第2项,
$8a^7×(-\dfrac{1}{a})=-8a^6$,故系数为$-8$.

【典例2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和。若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作$a_1,a_2,a_3,···,a_n$，由图可知$a_1=1,a_2=3,a_3=6,···$若$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+···+\frac{1}{a_n}=\frac{21}{11}$，则$n=(\quad)$

A.21
B.20
C.11
D.10

解:$a_1=1,a_2=1+2,a_3=1+2+3$,
$a_n=1+2+3+\dots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}$,
$\therefore\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$
$=2[\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)n}]=\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{21}{11}$,
$\therefore n=21$.