10. （12 分）（2025·宿豫期末）先化简，再求值：$\frac{a - 2}{a - 1}÷(a + 1 - \frac{3}{a - 1})$，其中$a = \sqrt{2} - 2$.

10. 解:原式$=\frac{a - 2}{a - 1}÷\frac{a^{2}-4}{a - 1}=\frac{a - 2}{a - 1}·\frac{a - 1}{(a + 2)(a - 2)}=\frac{1}{a + 2}$.当$a=\sqrt{2}-2$时,原式$=\frac{1}{\sqrt{2}-2 + 2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. (24 分)阅读理解：对于任意正实数$a$，$b$，$\because(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥0$，$\therefore a - 2\sqrt{ab} + b≥0$，$\therefore a + b≥2\sqrt{ab}$，只有当$a = b$时，等号成立.结论：在$a + b≥2\sqrt{ab}$($a$，$b$均为正实数)中，若$ab$为定值$m$，则$a + b≥2\sqrt{m}$，只有当$a = b$时，$a + b$有最小值$2\sqrt{m}$.根据上述内容，回答下列问题：
(1)若$a＞0$，只有当$a =$时，$a + \frac{4}{a}$有最小值；
(2)若$a＞0$，只有当$a =$时，$2a + \frac{6}{a}$有最小值；
(3)若$a＜0$，平面内有$A(a,\frac{a}{2}-4)$，$B(a,-\frac{8}{a})$两点，当$a$为何值时，线段$AB$最短？最短是多少？

11. (1)2 4 (2)$\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$
(3)解:$\because a＜0,A(a,\frac{a}{2}-4),B(a,-\frac{8}{a})$,
$\therefore AB=-\frac{8}{a}-(\frac{a}{2}-4)=-\frac{8}{a}-\frac{a}{2}+4$,
$AB - 4=-\frac{8}{a}-\frac{a}{2}$,
$\therefore$ 当$-\frac{8}{a}=-\frac{a}{2}$,即$a=-4$时,$-\frac{8}{a}-\frac{a}{2}≥2\sqrt{(-\frac{8}{a})·(-\frac{a}{2})}$,即$-\frac{8}{a}-\frac{a}{2}≥4$,
故$a$为$-4$时,线段$AB$最短,最短是$8$.