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1. 下列各式中是分式的是 （）
A.$\frac{t}{3}$
B.$\frac{xy}{π}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{p+q}{15}$
A.$\frac{t}{3}$
B.$\frac{xy}{π}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{p+q}{15}$
答案
C
解析
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$，其中A、B是整式，且B中含有字母、B不为0的式子叫做分式。
选项A：$\frac{t}{3}$的分母是3，为常数，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{xy}{π}$的分母是$π$，$π$是常数，属于整式，不是分式；
选项C：$\frac{1}{a}$的分母是字母$a$，符合分式定义，是分式；
选项D：$\frac{p+q}{15}$的分母是15，为常数，属于整式，不是分式。
选项A：$\frac{t}{3}$的分母是3，为常数，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{xy}{π}$的分母是$π$，$π$是常数，属于整式，不是分式；
选项C：$\frac{1}{a}$的分母是字母$a$，符合分式定义，是分式；
选项D：$\frac{p+q}{15}$的分母是15，为常数，属于整式，不是分式。
2. 若分式$\frac{3a}{a-3}$无意义，则$a$的取值范围是 （）
A.$a≠0$
B.$a≠3$
C.$a=3$
D.$a＞3$
A.$a≠0$
B.$a≠3$
C.$a=3$
D.$a＞3$
答案
C
解析
根据分式无意义的判定规则：分式的分母为0时，分式无意义。令该分式的分母$a-3=0$，解得$a=3$，即当$a=3$时，分式$\frac{3a}{a-3}$无意义。
3. 若$a≠b$，则下列分式化简正确的是（）
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
答案
D
解析
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，逐一判断选项：
选项A：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项B：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项C：$\frac{a^2}{b^2}$是分子分母分别平方，不是同时乘同一个非零整式，等式不成立；
选项D：分子分母同时乘$\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}≠0$，符合分式基本性质，$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$成立。
选项A：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项B：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项C：$\frac{a^2}{b^2}$是分子分母分别平方，不是同时乘同一个非零整式，等式不成立；
选项D：分子分母同时乘$\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}≠0$，符合分式基本性质，$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$成立。
4. 将分式$\frac{x}{x+y}$中的$x$，$y$的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值 （）
A.缩小为原来一半
B.扩大为原来的2倍
C.保持不变
D.无法确定
A.缩小为原来一半
B.扩大为原来的2倍
C.保持不变
D.无法确定
答案
C
解析
将x、y同时替换为2x、2y，代入原分式可得新分式为$\frac{2x}{2x+2y}$，对分母提取公因式2，得到$\frac{2x}{2(x+y)}$，约去分子分母的公因式2后，结果为$\frac{x}{x+y}$，与原分式完全相等，因此分式的值保持不变。
5. 若$a≠0$，则下列运算正确的是（）
A.$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{3}=\dfrac{a}{5}$
B.$a^3· a^2=a^5$
C.$\dfrac{2}{a}· \dfrac{3}{a}=\dfrac{5}{a}$
D.$a^3÷ a^2=1$
A.$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{3}=\dfrac{a}{5}$
B.$a^3· a^2=a^5$
C.$\dfrac{2}{a}· \dfrac{3}{a}=\dfrac{5}{a}$
D.$a^3÷ a^2=1$
答案
B
解析
逐个验证选项：
1. 选项A：$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{3}=\dfrac{3a}{6}+\dfrac{2a}{6}=\dfrac{5a}{6}≠\dfrac{a}{5}$，运算错误。
2. 选项B：根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，运算正确。
3. 选项C：分式乘法运算，$\dfrac{2}{a}·\dfrac{3}{a}=\dfrac{6}{a^2}≠\dfrac{5}{a}$，运算错误。
4. 选项D：根据同底数幂除法法则，$a^3÷a^2=a^{3-2}=a≠1$，运算错误。
1. 选项A：$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{3}=\dfrac{3a}{6}+\dfrac{2a}{6}=\dfrac{5a}{6}≠\dfrac{a}{5}$，运算错误。
2. 选项B：根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，运算正确。
3. 选项C：分式乘法运算，$\dfrac{2}{a}·\dfrac{3}{a}=\dfrac{6}{a^2}≠\dfrac{5}{a}$，运算错误。
4. 选项D：根据同底数幂除法法则，$a^3÷a^2=a^{3-2}=a≠1$，运算错误。
6. 数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示。对于三个人的接力过程判断正确的是 （）
A.三个人都正确
B.甲有错误
C.乙有错误
D.丙有错误
A.三个人都正确
B.甲有错误
C.乙有错误
D.丙有错误
答案
C
解析
逐步验证三人的计算过程：
1. 甲的步骤：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得$\frac{x^2}{x-2} ÷ \frac{x^2-x}{2-x} = \frac{x^2}{x-2} · \frac{2-x}{x^2-x}$，甲计算正确。
2. 乙的步骤：对甲给出的式子变形，$2-x=-(x-2)$，因式分解得$x^2-x=x(x-1)$，正确变形应为$\frac{x^2}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-1)}$，乙将$2-x$替换为$x-2$时遗漏了负号，乙计算错误。
3. 丙的步骤：基于乙给出的式子$\frac{x^2}{x-2} · \frac{x-2}{x(x-1)}$约分，得到$\frac{x}{x-1}$，丙自身的计算步骤正确。
因此接力过程中乙有错误。
1. 甲的步骤：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得$\frac{x^2}{x-2} ÷ \frac{x^2-x}{2-x} = \frac{x^2}{x-2} · \frac{2-x}{x^2-x}$，甲计算正确。
2. 乙的步骤：对甲给出的式子变形，$2-x=-(x-2)$，因式分解得$x^2-x=x(x-1)$，正确变形应为$\frac{x^2}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-1)}$，乙将$2-x$替换为$x-2$时遗漏了负号，乙计算错误。
3. 丙的步骤：基于乙给出的式子$\frac{x^2}{x-2} · \frac{x-2}{x(x-1)}$约分，得到$\frac{x}{x-1}$，丙自身的计算步骤正确。
因此接力过程中乙有错误。
