7. (2026·苏州期末)某型号推拉式窗户如图①所示,当窗户关闭时点A与点B重合.窗户拉开时,如图②,$AB=15\ \mathrm{cm}$,此时,窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2 cm,则该窗户的高$OA$为（）


A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm

7. B 解析:根据题意,可得 $AB=15\ \mathrm{cm}$, $AC=2\ \mathrm{cm}$, $\therefore BC^2=AB^2-AC^2=221$, 令 $OB=x\ \mathrm{cm}$, 则 $OC=(x-2)\ \mathrm{cm}$, 由勾股定理得 $OB^2=BC^2+OC^2$, 即 $x^2=221+(x-2)^2$, 解得 $x=56.25$, $\therefore OA=OB=56.25\ \mathrm{cm}$.故选 B.

8. (2026·深圳期末)图①为八(10)班为美食节准备的一种火锅杯,图②是它从正面看的形状.它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成,两部分的形状均为圆台.上碗口的圆心处有一个吸管口,吸管口到杯底的距离为 22.4 cm.已知配套吸管的长度为 27.6 cm,且吸管从吸管口任意放入杯中时,吸管口外露长度的最小值为5 cm(不计吸管粗细),则杯子的下底面直径为（）


A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm

8. C 解析:如图所示, $AB$ 表示杯子的下底面直径, $AE$ 表示吸管,点 $C$ 表示上碗口的圆心,点 $D$ 表示杯子的下底面圆心,由题意得, $CD=22.4\ \mathrm{cm}$, $AE=27.6\ \mathrm{cm}$, $CD⊥ AB$, $\because CE≥ AE-AC$, $\therefore$ 当 $A,C,E$ 三点共线时, $CE$ 有最小值,即此时 $CE=5\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 此时 $AC=AE-CE=22.6\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, 由勾股定理得 $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=3\ \mathrm{cm}$, $\therefore AB=6\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 杯子的下底面直径为 $6\ \mathrm{cm}$, 故选 C.

9. (2025·盐城期中)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是寸.

9. 101 解析:如图,设 $DE⊥ AB$ 于点 $E$. 由题意,得 $OA=OB=AD=BC$. 设 $OA=OB=AD=BC=r$ 寸, 则 $AB=2r$ 寸, $DE=10$ 寸, $OE=\dfrac{1}{2}CD=1$ 寸, $AE=(r-1)$ 寸. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $AE^2+DE^2=AD^2$, 即 $(r-1)^2+10^2=r^2$, 解得 $r=50.5$, $\therefore 2r=101$, $\therefore AB=101$ 寸.

10. 如图,铁路$MN$和公路$PQ$在点$O$处交会,公路$PQ$上点$A$距离点$O$是270 m,与$MN$这条铁路的距离是200 m.如果火车行驶时,周围250 m以内会受到噪声的影响,那么火车在铁路$MN$上沿$ON$方向以20 m/s的速度行驶时,点$A$处受噪声影响的时间是.

10. $15\ \mathrm{s}$ 解析:如图,过点 $A$ 作 $AC⊥ ON$ 于点 $C$, 设火车行驶到点 $B$ 处时,点 $A$ 处开始受噪声影响,火车行驶到点 $D$ 处时,点 $A$ 处开始不受噪声影响, 则 $AB=AD=250\ \mathrm{m}$. $\because$ 公路 $PQ$ 上点 $A$ 距离点 $O$ 是 $270\ \mathrm{m}$, 与 $MN$ 这条铁路的距离是 $200\ \mathrm{m}$, $\therefore AC=200\ \mathrm{m}$. $\because AB=AD=250\ \mathrm{m}$, $\therefore$ 由勾股定理得 $BC^2=AB^2-AC^2=150^2$, $\therefore BC=150\ \mathrm{m}$. 又 $CD^2=AD^2-AC^2=150^2$, $\therefore CD=150\ \mathrm{m}$, $\therefore BD=BC+CD=300\ \mathrm{m}$, $\therefore$ 点 $A$ 处受噪声影响的时间为 $300÷ 20=15(\mathrm{s})$.

11. 教材 P100 例2 变式 如图所示,直角三角形
ABC 的两条直角边长为 a,b,斜边上的高 CD
的长为 h,斜边长为 c.求证:$\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}=\dfrac{1}{h^{2}}$.

11. $\because \dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}ch$, $\therefore h=\dfrac{ab}{c}$, $\therefore \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{c^2}{a^2b^2}=(\dfrac{c}{ab})^2=(\dfrac{1}{h})^2=\dfrac{1}{h^2}$.