12. 新素养 几何直观 如图，$\odot O$ 的半径为 2，扇形 $ABC$ 的圆心角为 $60°$. 若将扇形 $ABC$ 剪下围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为.

12. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 解析:过点 $O$ 作 $OD⊥ AB$ 于点 $D$,连接 $OA$,则$∠ ODA=90°$,$AD=\dfrac{1}{2}AB$. 因为 $∠ BAC=60°$,且由对称性可知$∠ OAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC=30°$,所以 $OD=\dfrac{1}{2}OA$. 因为$\odot O$ 的半径为 2,所以 $OA=2$,所以 $OD=1$,所以 $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3}$,所以 $AB=2AD=2\sqrt{3}$,所以 $S_{\mathrm{扇形}ABC}=\dfrac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=2π$. 设该圆锥的底面圆半径为 $r$,则 $π× r×2\sqrt{3}=2π$,解得 $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. 故该圆锥的底面圆半径为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

13. 如图,扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图.若该圆锥的底面圆半径为2,母线长为6,则阴影部分的面积为.

13. $12π-9\sqrt{3}$ 解析:设 $∠ AOB=n°$. 由题意,得 $π×2×6=\dfrac{nπ×6^2}{360}$,解得 $n=120$,即 $∠ AOB=120°$. 过点 $O$ 作$OC⊥ AB$ 于点 $C$,则 $∠ OCA=90°$,$AC=\dfrac{1}{2}AB$. 因为$OA=OB=6$,所以 $∠ OAB=∠ OBA=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AOB)=30°$,所以 $OC=\dfrac{1}{2}OA=3$,所以 $AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=3\sqrt{3}$,所以 $AB=2AC=6\sqrt{3}$,所以 $S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}AB· OC=9\sqrt{3}$. 因为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}=π×2×6=12π$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}=12π-9\sqrt{3}$. 故阴影部分的面积为 $12π-9\sqrt{3}$.

14. (2026·江苏无锡期末)如图,AB 是$\odot O$的直径,弦 DE 垂直平分半径 OA,垂足为 C,弦 DF 与半径 OB 相交于点 P,连接 OE,OF.已知$DE=4\sqrt {3},∠ DPA=45^{\circ }.$
(1) 求$\odot O$的半径;
(2) 若用扇形 OEF 围成一个圆锥的侧面,求该圆锥的底面圆半径.

14. (1) 设$\odot O$的半径为$R$,则$OA=OE=R$. 因为 $DE$ 垂直平分 $OA$,$DE=4\sqrt{3}$,所以 $CE=\dfrac{1}{2}DE=2\sqrt{3}$,$∠ OCE=90°$,$OC=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}R$,所以 $CE=\sqrt{OE^2-OC^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$,所以 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R=2\sqrt{3}$,解得 $R=4$. 故$\odot O$ 的半径为 4.
(2) 因为 $∠ OCE=90°$,$∠ DPA=45°$,所以 $∠ D=∠ OCE-∠ DPA=45°$,所以 $∠ EOF=2∠ D=90°$. 设该圆锥的底面圆半径为 $r$. 由题意,得 $π× r×4=\dfrac{90π×4^2}{360}$,解得 $r=1$. 故该圆锥的底面圆半径为 1.

15. 已知两个圆锥的母线长相等,且它们的侧面展开图恰好能拼成一个圆.若它们的全面积(圆锥的侧面积与底面积之和)之比为$1:6$,则它们的底面圆半径之比为（）

A.$2:3$
B.$1:2$
C.$1:4$
D.$1:3$

15. C 解析:设圆锥的母线长为 $x$,则拼成的圆的周长为 $2π x$. 设全面积较大的圆锥的底面圆半径为 $R$,则它的底面圆周长为 $C_{\mathrm{大}}=2π R$,侧面积为 $π Rx$,底面积为 $π R^2$,所以它的全面积为 $π Rx+π R^2$. 设全面积较小的圆锥的底面圆半径为 $r$,则它的底面圆周长$C_{\mathrm{小}}=2π x-2π R=2π(x-R)=2π r$,即 $r=x-R$,所以侧面积为 $π(x-R)x$,底面积为 $π(x-R)^2$,所以它的全面积为 $π(x-R)x+π(x-R)^2$. 由题意,得$π Rx+π R^2=6[π(x-R)x+π(x-R)^2]$,解得 $R_1=\dfrac{4}{5}x$,$R_2=3x$(不合题意,舍去),所以 $r=x-R=\dfrac{1}{5}x$,所以 $r:R=1:4$,即它们的底面圆半径之比为 $1:4$.

16. 如图，O 为正六边形

ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点 O 为圆心，OM 为半径画弧得到扇形OMN，点 N 在 BC 上，以点 E 为圆心，DE 为半径画弧得到扇形 EDF. 把扇形OMN 的两条半径 OM，ON 重合，围成一个无底的圆锥，将此圆锥的底面圆半径记为$r_1$；将扇形 EDF 以同样方法围成的无底圆锥的底面圆半径记为$r_2$，则$r_1:r_2=$.

16. $\sqrt{3}:2$ 解析:连接 $AO,BO$. 因为 $O$ 为正六边形ABCDEF 的中心,$M$ 为 $AF$ 的中点,所以 $OM⊥ AF$,$∠ AOB=60°$,$∠ BON=∠ AOM=30°$,所以 $∠ MON=∠ AOB+∠ BON+∠ AOM=120°$. 设 $AM=a$,则$AB=AO=2AM=2a$,所以 $OM=\sqrt{AO^2-AM^2}=\sqrt{3}a$,所以 $π r_1·\sqrt{3}a=\dfrac{120π·(\sqrt{3}a)^2}{360}$,所以 $r_1=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$. 因为 $∠ E=120°$,所以 $π r_2·2a=\dfrac{120π·(2a)^2}{360}$,所以 $r_2=\dfrac{2}{3}a$,所以 $r_1:r_2=\sqrt{3}:2$.

17. 亮点原创·经过一个带盖的圆锥形容器的轴的剖面是一个等腰三角形，它的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面圆直径，其尺寸(单位：cm)如图①所示.
(1) 求该圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角的度数；
(2) 图②是一块直径等于30 cm的半圆形铁皮，如何把它裁剪，可以做成该圆锥形容器？(在图②中画出裁剪示意图，并注明必要的角度、线段长；画图工具不限，不写画法)

17. (1) 由题意,得 $S_{\mathrm{侧}}=π×(\dfrac{1}{2}×10)×15=75π(\mathrm{cm}^2)$. 设侧面展开图的圆心角的度数为 $n°$. 由题意,得$\dfrac{nπ×15^2}{360}=75π$,解得 $n=120$. 故该圆锥形容器的侧面积为 $75π\ \mathrm{cm}^2$,它的侧面展开图的圆心角的度数为 $120°$.
(2) 裁剪方法如图所示：