1. 如图,以点 $P$ 为圆心,以下列线段的长为半径作圆,所得的圆与直线 $l$ 相切的是 （）

A.$PA$
B.$PB$
C.$PC$
D.$PD$

1. B

【分析】
要判断以点P为圆心的圆与直线l相切的半径，需依据直线与圆相切的定义：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。首先确定点P到直线l的距离，观察图形可知PB垂直于直线l，因此PB的长度就是点P到直线l的距离，所以半径应为PB的长度。
【解析】
根据直线与圆相切的判定规则：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与该圆相切。
由图可知，PB⊥直线l，即线段PB的长度是点P到直线l的距离。因此，以P为圆心，PB为半径作圆时，圆心P到直线l的距离等于半径，所得的圆与直线l相切。选项中只有PB符合条件，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆相切的判定；点到直线的距离
【点评】
本题考查直线与圆相切的基础判定，核心是理解“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，需准确识别点到直线的垂线段，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图,点$B$在$\odot A$上,点$C$在$\odot A$外,下列条件不能判定$BC$是$\odot A$切线的是（）

A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B-∠ C=∠ A$
C.$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
D.$\odot A$与$AC$的交点是$AC$的中点

2. D

【分析】要判定BC是⊙A的切线，已知点B在⊙A上，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）。接下来逐一分析各选项能否推出∠ABC=90°，从而判断是否能判定BC为切线。
【解析】
要判定BC是⊙A的切线，因B在⊙A上，故只需证明AB⊥BC（∠ABC=90°），结合各选项分析：
1. 选项A：△ABC中，∠A=50°，∠C=40°，由三角形内角和得∠ABC=180°−50°−40°=90°，故AB⊥BC，可判定BC是⊙A的切线；
2. 选项B：由∠ABC−∠C=∠A，得∠ABC=∠A+∠C，结合三角形内角和∠A+∠ABC+∠C=180°，代入得∠ABC + ∠ABC=180°，即∠ABC=90°，故AB⊥BC，可判定BC是⊙A的切线；
3. 选项C：AB²+BC²=AC²，根据勾股定理逆定理，△ABC中∠ABC=90°，故AB⊥BC，可判定BC是⊙A的切线；
4. 选项D：⊙A与AC的交点是AC中点，设该中点为D，则AD=AB（均为⊙A半径），即AB=½AC，仅说明AB是AC的一半，无法推出∠ABC=90°，因此不能判定BC是⊙A的切线。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】切线的判定、三角形内角和、勾股定理逆定理
【点评】本题考查圆的切线判定，核心是利用“过半径外端且垂直于半径的直线是切线”的定理，结合三角形内角和、勾股定理逆定理分析选项，需准确掌握切线判定的条件，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5

3. 如图，过$A$、$B$、$C$三点作一圆弧，点$B$与下列格点的连线能够与该弧所在的圆相切的是（）

A.点$(0,3)$
B.点$(1,3)$
C.点$(2,3)$
D.点$(4,3)$

3. B 解析:如图,
∵过格点A、B、C作一圆弧,
∴三点组成的圆的圆心为O'(2,0).
∵只有∠O'BD+∠EBF=90°或∠O'BA+∠ABF'=90°时,BF 或 BF' 与圆相切,
∴△BO'D≌△FBE 或△BO'D≌△BF'A,
∴EF=BD=AB=2或AF'=O'D=1,
∴点F的坐标为(5,1),点F'的坐标为(1,3),
∴点B与题中所给格点的连线能够与该圆弧相切的是(1,3).

【分析】
要解决本题，需先确定过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，再根据“圆的切线与过切点的半径垂直”这一性质，求出过点B的切线方程，最后判断各选项中的格点是否在该切线上，即可得到答案。具体步骤：①确定A、B、C三点的坐标；②通过弦的垂直平分线找到圆弧所在圆的圆心；③利用切线与半径垂直的关系求出过B点的切线方程；④代入各选项坐标验证是否满足切线方程。
【解析】
1. 确定三点坐标：由图可知，A(1,2)，B(3,2)，C(4,1)。
2. 求圆弧所在圆的圆心：
AB为水平线段，其中点为(2,2)，其垂直平分线为直线$x=2$；
BC的中点为$(\frac{3+4}{2},\frac{2+1}{2})=(3.5,1.5)$，BC的斜率为$\frac{1-2}{4-3}=-1$，故BC的垂直平分线斜率为1，方程为$y - 1.5 = x - 3.5$，即$y=x-2$；
联立$\begin{cases}x=2\\y=x-2\end{cases}$，解得圆心为$O'(2,0)$。
3. 求过B点的切线方程：
半径$BO'$的斜率为$\frac{2-0}{3-2}=2$，因切线与半径垂直，故切线斜率为$-\frac{1}{2}$；
过B(3,2)的切线方程为$y-2=-\frac{1}{2}(x-3)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$。
4. 验证选项：
A(0,3)：代入方程，右边$-\frac{1}{2}×0+\frac{7}{2}=3.5≠3$，不满足；
B(1,3)：代入方程，右边$-\frac{1}{2}×1+\frac{7}{2}=3$，等于左边，满足；
C(2,3)：代入方程，右边$-\frac{1}{2}×2+\frac{7}{2}=2.5≠3$，不满足；
D(4,3)：代入方程，右边$-\frac{1}{2}×4+\frac{7}{2}=1.5≠3$，不满足。
综上，点B与格点(1,3)的连线能与该弧所在的圆相切。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线性质；坐标与图形；垂直平分线
【点评】
本题考查圆的切线性质，核心是确定圆心后利用切线与半径垂直的关系求解，需掌握弦的垂直平分线找圆心的方法，属于中等难度的几何题，注重基础性质的应用。
【难度系数】
0.5

4. 如图,点$A$、$B$、$D$在$\odot O$上,$∠ A=25°$,$OD$的延长线交直线$BC$于点$C$,且$∠ OCB=40°$,则直线$BC$与$\odot O$的位置关系为.

4. 相切 解析:
∵∠A=25°,
∴∠BOD=2∠A=2×25°=50°.
∵∠BOD+∠OCB=50°+40°=90°,
∴∠OBC=180°-∠BOD-∠OCB=90°,
∴直线BC与⊙O相切.

【分析】要判断直线BC与⊙O的位置关系，需判断半径OB与直线BC是否垂直。根据圆周角定理可求出圆心角∠BOD的度数，再结合三角形内角和定理计算∠OBC的度数，若∠OBC=90°，则OB⊥BC，即可得出直线BC与⊙O相切。
【解析】
∵∠A=25°，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOD=2∠A=2×25°=50°。在△OBC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OBC=180°−∠BOD−∠OCB=180°−50°−40°=90°，即OB⊥BC。又
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BC与⊙O相切。
【答案】相切
【知识点】圆周角定理、切线的判定
【点评】本题结合圆周角定理与三角形内角和定理考查切线的判定，属于基础几何题，解题思路清晰，关键是利用圆周角定理求出圆心角，再通过角度计算证明半径与直线垂直，进而判断直线与圆的位置关系。
【难度系数】0.6

5. 如图,已知 $OA=OB=5\ \mathrm{cm},AB=8\ \mathrm{cm},\odot O$ 的直径为 $6\ \mathrm{cm}$,求证:直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.

5. 证明:过点O作OH⊥AB于点H.
∵OA=OB=5 cm,
∴AH=BH=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$(cm).在Rt△AHO中,$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$(cm).
∵⊙O的直径为6 cm,
∴r=3 cm,
∴OH=r,
∴直线AB与⊙O相切.

【分析】
要证明直线AB与⊙O相切，根据切线的判定定理：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。因此需先过圆心O作AB的垂线，计算圆心O到AB的距离，再与⊙O的半径比较，若二者相等即可得证。
【解析】
证明：过点O作OH⊥AB于点H。
∵OA=OB=5 cm，OH⊥AB，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AH=BH=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ cm。
在Rt△AHO中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$ cm。
∵⊙O的直径为6 cm，
∴⊙O的半径r=3 cm，
∴OH=r，即圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切。
【答案】
证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵OA=OB=5 cm,
∴AH=BH=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$(cm).在Rt△AHO中,$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$(cm).
∵⊙O的直径为6 cm,
∴r=3 cm,
∴OH=r,
∴直线AB与⊙O相切.
【知识点】
切线的判定，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心是利用“圆心到直线的距离等于半径则直线与圆相切”的判定方法，结合等腰三角形三线合一和勾股定理计算距离，需熟练掌握切线判定的基本思路。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,以$AB$为直径的$\odot O$与$AC$交于点$D$,过点$D$作$DF ⊥ BC$,交$AB$的延长线于点$E$,垂足为$F$,求证:直线$DE$是$\odot O$的切线.

6. 证明:如图,连接OD.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C.
∵OA=OD,
∴∠BAC=∠ODA,
∴∠ODA=∠C,
∴OD//BC.
∵DF⊥BC,
∴DE⊥OD.
∵OD为半径,
∴直线DE是⊙O的切线.

【分析】要证明直线DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明DE与⊙O的半径OD垂直。因此先连接OD，利用AB=BC和OA=OD的等腰三角形性质，推导出∠ODA=∠C，进而得到OD//BC，再结合已知DF⊥BC，推出DE⊥OD，即可完成证明。
【解析】证明：如图，连接OD。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C。
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ODA，
∴∠ODA=∠C，
∴OD//BC。
∵DF⊥BC，
∴DE⊥OD。
又
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线。
【答案】6. 证明:如图,连接OD.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C.
∵OA=OD,
∴∠BAC=∠ODA,
∴∠ODA=∠C,
∴OD//BC.
∵DF⊥BC,
∴DE⊥OD.
∵OD为半径,
∴直线DE是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定
【点评】本题是圆中切线证明的基础题型，核心是掌握切线判定的基本思路，通过连接半径构造等腰三角形，结合平行线性质推导垂直关系，辅助线的添加是解题关键。
【难度系数】0.5