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1. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$AB$上一点,且$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$,$E$,$F$是$AC$上的点,且$DE// BC$,$DF// BE$,$AF=9$.求$EC$的长.
答案
1. $\because DF// BE,\therefore \dfrac{AF}{FE}=\dfrac{AD}{DB}.$
$\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2},AF=9,\therefore FE=6.$
$\because DE// BC,\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}.$
$\because AE=AF+FE=15,\therefore EC=10.$
$\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2},AF=9,\therefore FE=6.$
$\because DE// BC,\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}.$
$\because AE=AF+FE=15,\therefore EC=10.$
解析
【分析】
解题时我们可以结合题目给出的平行线条件，利用平行线分线段成比例的性质逐步求解：首先，由DF//BE，可得AF与FE的比值等于AD与DB的比值，代入已知的AF长度和$\frac{AD}{DB}$的比值，即可求出FE的长度；接着先计算AE的总长度，再由DE//BC，可得AE与EC的比值等于AD与DB的比值，代入AE的长度和$\frac{AD}{DB}$的比值就能求出EC的长。
【解析】
∵ $DF//BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\dfrac{AF}{FE}=\dfrac{AD}{DB}$。
已知$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$，$AF=9$，代入得$\dfrac{9}{FE}=\dfrac{3}{2}$，解得$FE=6$。
∵ $DE//BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}$。
又$AE=AF+FE=9+6=15$，代入得$\dfrac{15}{EC}=\dfrac{3}{2}$，解得$EC=10$。
【答案】
$EC=10$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是找准平行线对应的成比例线段，分两步代入计算即可，注意比例的对应关系不要混淆即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以结合题目给出的平行线条件，利用平行线分线段成比例的性质逐步求解：首先，由DF//BE，可得AF与FE的比值等于AD与DB的比值，代入已知的AF长度和$\frac{AD}{DB}$的比值，即可求出FE的长度；接着先计算AE的总长度，再由DE//BC，可得AE与EC的比值等于AD与DB的比值，代入AE的长度和$\frac{AD}{DB}$的比值就能求出EC的长。
【解析】
∵ $DF//BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\dfrac{AF}{FE}=\dfrac{AD}{DB}$。
已知$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$，$AF=9$，代入得$\dfrac{9}{FE}=\dfrac{3}{2}$，解得$FE=6$。
∵ $DE//BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}$。
又$AE=AF+FE=9+6=15$，代入得$\dfrac{15}{EC}=\dfrac{3}{2}$，解得$EC=10$。
【答案】
$EC=10$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是找准平行线对应的成比例线段，分两步代入计算即可，注意比例的对应关系不要混淆即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 相似吗？为什么？
答案
2. $△ ABC$ 和$△ DEF$ 相似. 理由如下：
由勾股定理,得 $AC=2\sqrt{5},BC=2\sqrt{2},DE=\sqrt{2},DF=\sqrt{10}.$
又 $AB=2,EF=2,$
$\therefore \dfrac{AB}{DE}=\sqrt{2},\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2},\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},即\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF},$
$\therefore △ ABC∽△ DEF.$
由勾股定理,得 $AC=2\sqrt{5},BC=2\sqrt{2},DE=\sqrt{2},DF=\sqrt{10}.$
又 $AB=2,EF=2,$
$\therefore \dfrac{AB}{DE}=\sqrt{2},\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2},\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},即\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF},$
$\therefore △ ABC∽△ DEF.$
解析
【分析】
要判断两个格点三角形是否相似，可利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先需要用勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的所有边长，再逐一计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
1. 计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中：
AB为横向2个单位长度，故$AB=2$；
由勾股定理，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
在△DEF中：
EF为横向2个单位长度，故$EF=2$；
由勾股定理，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
3. 根据相似三角形判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，因此△ABC∽△DEF。
【答案】
$△ ABC$和$△ DEF$相似，理由见上述解析。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于格点背景下的相似三角形判定基础题，解题关键是准确运用勾股定理计算各边长度，再验证对应边的比例关系，能帮助学生巩固相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
要判断两个格点三角形是否相似，可利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先需要用勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的所有边长，再逐一计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
1. 计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中：
AB为横向2个单位长度，故$AB=2$；
由勾股定理，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
在△DEF中：
EF为横向2个单位长度，故$EF=2$；
由勾股定理，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
3. 根据相似三角形判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，因此△ABC∽△DEF。
【答案】
$△ ABC$和$△ DEF$相似，理由见上述解析。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于格点背景下的相似三角形判定基础题，解题关键是准确运用勾股定理计算各边长度，再验证对应边的比例关系，能帮助学生巩固相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$AB// CD// EF$，点$C$在$AE$上，点$G$在$EF$上，$AF$，$BG$交于点$D$，已知$CD=5$米，$EG=6$米，$GF=9$米，求$AB$的长.
答案
3. $\because CD// EF,$
$\therefore △ ACD∽△ AEF,$
$\therefore \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{EF},即\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{5}{6+9}=\dfrac{1}{3},\therefore \dfrac{AD}{DF}=\dfrac{1}{2}.$
$\because AB// EF,$
$\therefore △ ADB∽△ FDG,$
$\therefore \dfrac{AB}{FG}=\dfrac{AD}{FD},即\dfrac{AB}{9}=\dfrac{1}{2},$
解得 $AB=4.5.$
故 $AB$ 的长为 4.5 米.
$\therefore △ ACD∽△ AEF,$
$\therefore \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{EF},即\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{5}{6+9}=\dfrac{1}{3},\therefore \dfrac{AD}{DF}=\dfrac{1}{2}.$
$\because AB// EF,$
$\therefore △ ADB∽△ FDG,$
$\therefore \dfrac{AB}{FG}=\dfrac{AD}{FD},即\dfrac{AB}{9}=\dfrac{1}{2},$
解得 $AB=4.5.$
故 $AB$ 的长为 4.5 米.
解析
【分析】
解题时结合图中的平行线条件，利用相似三角形的相关知识逐步推导：首先由CD//EF可得△ACD和△AEF相似，通过对应边成比例先求出AD与DF的比值；再由AB//EF可得△ADB和△FDG相似，将已得的线段比代入对应比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
$\because CD// EF,$
$\therefore △ ACD∽ △ AEF,$
$\therefore \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{EF}$，其中$EF=EG+GF=6+9=15$米，代入$CD=5$得：
$\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$，由此可得$\dfrac{AD}{DF}=\dfrac{1}{2}$。
$\because AB// EF,$
$\therefore △ ADB∽ △ FDG,$
$\therefore \dfrac{AB}{FG}=\dfrac{AD}{FD}$，将$FG=9$，$\dfrac{AD}{FD}=\dfrac{1}{2}$代入得：
$\dfrac{AB}{9}=\dfrac{1}{2}$，
解得 $AB=4.5$（米）。
【答案】
4.5米
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行线准确找到对应的相似三角形，理清相似三角形的对应边比例关系，代入数值求解即可，属于常规的相似应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时结合图中的平行线条件，利用相似三角形的相关知识逐步推导：首先由CD//EF可得△ACD和△AEF相似，通过对应边成比例先求出AD与DF的比值；再由AB//EF可得△ADB和△FDG相似，将已得的线段比代入对应比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
$\because CD// EF,$
$\therefore △ ACD∽ △ AEF,$
$\therefore \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{EF}$，其中$EF=EG+GF=6+9=15$米，代入$CD=5$得：
$\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$，由此可得$\dfrac{AD}{DF}=\dfrac{1}{2}$。
$\because AB// EF,$
$\therefore △ ADB∽ △ FDG,$
$\therefore \dfrac{AB}{FG}=\dfrac{AD}{FD}$，将$FG=9$，$\dfrac{AD}{FD}=\dfrac{1}{2}$代入得：
$\dfrac{AB}{9}=\dfrac{1}{2}$，
解得 $AB=4.5$（米）。
【答案】
4.5米
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行线准确找到对应的相似三角形，理清相似三角形的对应边比例关系，代入数值求解即可，属于常规的相似应用题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知矩形 ABCD 与矩形$AB'C'D'$是位似图形,A 为位似中心.已知矩形 ABCD 的周长为24,$BB'=4,DD'=2$,求 AB 与 AD 的长.
答案
4. $\because$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 24,
$\therefore$ 设 $AD=x$,则 $AB=12-x.$
$\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 是位似图形,
$\therefore \dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{AB}{AB'},即\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{12-x}{12-x+4},$
解得 $x=4.$ 经检验,$x=4$ 是原方程的解,
$\therefore AD=4,AB=8.$
$\therefore$ 设 $AD=x$,则 $AB=12-x.$
$\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB'C'D'$ 是位似图形,
$\therefore \dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{AB}{AB'},即\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{12-x}{12-x+4},$
解得 $x=4.$ 经检验,$x=4$ 是原方程的解,
$\therefore AD=4,AB=8.$
解析
【分析】
解题时首先结合矩形周长公式得到矩形ABCD长与宽的和，即可设其中一边为未知数，用含未知数的式子表示另一边长；再根据位似图形的性质，位似图形对应边成比例，找到两个矩形的对应边，分别表示出两组对应边的长度，代入比例关系列方程，最后解方程并检验得到边长即可。
【解析】
已知矩形ABCD的周长为24，由矩形周长公式可得一组邻边的和为$24÷2=12$。
设$AD=x$，则$AB=12-x$。
$\because$ 矩形$ABCD$与矩形$AB'C'D'$是以A为位似中心的位似图形，
$\therefore$ 对应边成比例，即$\dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{AB}{AB'}$，
其中$AD'=AD+DD'=x+2$，$AB'=AB+BB'=12-x+4=16-x$，
代入比例式得：$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{12-x}{16-x}$，
交叉相乘解方程：$x(16-x)=(12-x)(x+2)$，
展开得：$16x-x^2=12x+24-x^2-2x$，
化简得：$6x=24$，解得$x=4$。
经检验，$x=4$是原方程的解且符合题意，
$\therefore AD=4$，$AB=12-4=8$。
【答案】
$AB=8$，$AD=4$
【知识点】
1.位似图形的性质
2.矩形周长计算
3.分式方程求解
【点评】
本题结合位似性质和矩形周长公式考查方程的应用，解题核心是准确找到位似图形的对应边，正确建立比例关系列方程，求解后要注意检验分式方程的解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形周长公式得到矩形ABCD长与宽的和，即可设其中一边为未知数，用含未知数的式子表示另一边长；再根据位似图形的性质，位似图形对应边成比例，找到两个矩形的对应边，分别表示出两组对应边的长度，代入比例关系列方程，最后解方程并检验得到边长即可。
【解析】
已知矩形ABCD的周长为24，由矩形周长公式可得一组邻边的和为$24÷2=12$。
设$AD=x$，则$AB=12-x$。
$\because$ 矩形$ABCD$与矩形$AB'C'D'$是以A为位似中心的位似图形，
$\therefore$ 对应边成比例，即$\dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{AB}{AB'}$，
其中$AD'=AD+DD'=x+2$，$AB'=AB+BB'=12-x+4=16-x$，
代入比例式得：$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{12-x}{16-x}$，
交叉相乘解方程：$x(16-x)=(12-x)(x+2)$，
展开得：$16x-x^2=12x+24-x^2-2x$，
化简得：$6x=24$，解得$x=4$。
经检验，$x=4$是原方程的解且符合题意，
$\therefore AD=4$，$AB=12-4=8$。
【答案】
$AB=8$，$AD=4$
【知识点】
1.位似图形的性质
2.矩形周长计算
3.分式方程求解
【点评】
本题结合位似性质和矩形周长公式考查方程的应用，解题核心是准确找到位似图形的对应边，正确建立比例关系列方程，求解后要注意检验分式方程的解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
