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1. |新定义 用“$\otimes$”定义新运算:对于任意有理数$m,n$,都有$m\otimes n=-2m^2+3m+n$.
例如:$1\otimes 2=-2×1^2+3×1+2=3$.则下列结论:①$2\otimes 3=-1$;②$m\otimes m=-2m^2+4m$;③对于任意有理数$m,n,m\otimes n=n\otimes m$恒成立;④$(m\otimes n)+2n$的值恒小于$m\otimes(n\otimes10)$的值.
正确的是________(填序号).
例如:$1\otimes 2=-2×1^2+3×1+2=3$.则下列结论:①$2\otimes 3=-1$;②$m\otimes m=-2m^2+4m$;③对于任意有理数$m,n,m\otimes n=n\otimes m$恒成立;④$(m\otimes n)+2n$的值恒小于$m\otimes(n\otimes10)$的值.
正确的是________(填序号).
答案
【解析】$2\otimes 3=-2×2^2+3×2+3=-8+6+3=1$,则①错误; $m\otimes m= - 2m^2 + 3m + m = - 2m^2 + 4m$,则 ② 正确;
$m\otimes n=-2m^2+3m+n,n\otimes m=-2n^2+3n+m$,两式不一定相等,则③错误;$m\otimes (n\otimes 10) = m\otimes ( - 2n^2 + 3n + 10) = - 2m^2 + 3m-2n^2+3n+10$, $(m\otimes n)+2n=-2m^2+3m+n+2n=-2m^2+3m+3n$,所以$(m\otimes n)+2n-m\otimes(n\otimes10)= -2m^2+3m+3n-(-2m^2+3m-2n^2+3n+10)= -2m^2+3m+3n+2m^2-3m+2n^2-3n-10=2n^2-10$,不一定小于0,所以$(m\otimes n)+2n$的值不一定小于$m\otimes(n\otimes10)$的值,则④错误.综上,正确的是②.
$m\otimes n=-2m^2+3m+n,n\otimes m=-2n^2+3n+m$,两式不一定相等,则③错误;$m\otimes (n\otimes 10) = m\otimes ( - 2n^2 + 3n + 10) = - 2m^2 + 3m-2n^2+3n+10$, $(m\otimes n)+2n=-2m^2+3m+n+2n=-2m^2+3m+3n$,所以$(m\otimes n)+2n-m\otimes(n\otimes10)= -2m^2+3m+3n-(-2m^2+3m-2n^2+3n+10)= -2m^2+3m+3n+2m^2-3m+2n^2-3n-10=2n^2-10$,不一定小于0,所以$(m\otimes n)+2n$的值不一定小于$m\otimes(n\otimes10)$的值,则④错误.综上,正确的是②.
2. |新定义（2025·盐城校级期中）定义:若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍,则称这个多项式为“卓越多项式”.
例如:多项式$20x+8y$的系数和为$20+8=28=7×4$,所以多项式$20x+8y$是“卓越多项式”.
请根据这个定义解答下列问题:
(1)在下列多项式中,属于“卓越多项式”的是________.(在横线上填写序号)
①$3x^2 -10x$；②$2ab+3b$；③$26x^2 -7y+2x$.
(2)若多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”(其中$m,n$均为整数),则多项式$2mx+3ny$也是关于$x,y$的“卓越多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
例如:多项式$20x+8y$的系数和为$20+8=28=7×4$,所以多项式$20x+8y$是“卓越多项式”.
请根据这个定义解答下列问题:
(1)在下列多项式中,属于“卓越多项式”的是________.(在横线上填写序号)
①$3x^2 -10x$；②$2ab+3b$；③$26x^2 -7y+2x$.
(2)若多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”(其中$m,n$均为整数),则多项式$2mx+3ny$也是关于$x,y$的“卓越多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
答案
(1)【解析】①多项式$3x^2-10x$的系数和为$3+(-10)=-7=-1×7$,所以该多项式是“卓越多项式”;②多项式$2ab+3b$的系数和为$2+3=5$,所以该多项式不是“卓越多项式”;③多项式$26x^2-7y+2x$的系数和为$26+(-7)+2=21=3×7$,所以该多项式是“卓越多项式”.
(2)是,理由如下:因为多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”,所以$4m-n$为7的整数倍.设$4m-n=7z$($z$为整数,$z≠0$),则$n=4m-7z$.多项式$2mx+3ny$的系数和为$2m+3n$,所以$2m+3n=2m+3(4m-7z)=14m-21z=7(2m-3z)$,所以$2m+3n$是7的整数倍,故当多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”(其中$m,n$均为整数)时,多项式$2mx+3ny$也是关于$x,y$的“卓越多项式”.
(2)是,理由如下:因为多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”,所以$4m-n$为7的整数倍.设$4m-n=7z$($z$为整数,$z≠0$),则$n=4m-7z$.多项式$2mx+3ny$的系数和为$2m+3n$,所以$2m+3n=2m+3(4m-7z)=14m-21z=7(2m-3z)$,所以$2m+3n$是7的整数倍,故当多项式$4mx-ny$是关于$x,y$的“卓越多项式”(其中$m,n$均为整数)时,多项式$2mx+3ny$也是关于$x,y$的“卓越多项式”.
3. |新定义（2025·常州月考）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”.例如：$a^2b^3$与$3a^3b^2$是“准同类项”.
(1) 下列单项式：①$3a^3b^4$；②$-5a^3b^3$；③$2ab^4$.
其中与$a^3b^4$是“准同类项”的是________（填序号）.
(2) 已知$A,B,C$均为关于$a,b$的多项式，$A=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2$，$B=-2ab^2+3ab^n-a^3b^4$，$C=A+B$.若$C$的任意两项都是“准同类项”，求正整数$n$的值.
(1) 下列单项式：①$3a^3b^4$；②$-5a^3b^3$；③$2ab^4$.
其中与$a^3b^4$是“准同类项”的是________（填序号）.
(2) 已知$A,B,C$均为关于$a,b$的多项式，$A=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2$，$B=-2ab^2+3ab^n-a^3b^4$，$C=A+B$.若$C$的任意两项都是“准同类项”，求正整数$n$的值.
答案
(1)【解析】根据“准同类项”定义可知,与$a^3b^4$是“准同类项”的是$3a^3b^4,-5a^3b^3$;对于$2ab^4$,字母$a$指数之差的绝对值$|3-1|=2$,不符合“准同类项”定义.
(2)$A=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2$,$B=-2ab^2+3ab^n-a^3b^4$,则$C=A+B=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2+(-2ab^2+3ab^n-a^3b^4)=3a^2b^3+(n-4)ab^2+3ab^n$.当$n=4$时,$C=3a^2b^3+3ab^4$,其中$3a^2b^3$和$3ab^4$是“准同类项”,满足条件;当$n≠4$时,由“准同类项”定义可知,$3a^2b^3$与$(n-4)ab^2$是“准同类项”;若$3a^2b^3$与$3ab^n$是“准同类项”,则$|n-3|$小于或等于1;若$(n-4)ab^2$与$3ab^n$是“准同类项”,则$|n-2|$小于或等于1,所以正整数$n$的值为2或3或4.
(2)$A=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2$,$B=-2ab^2+3ab^n-a^3b^4$,则$C=A+B=a^3b^4+3a^2b^3+(n-2)ab^2+(-2ab^2+3ab^n-a^3b^4)=3a^2b^3+(n-4)ab^2+3ab^n$.当$n=4$时,$C=3a^2b^3+3ab^4$,其中$3a^2b^3$和$3ab^4$是“准同类项”,满足条件;当$n≠4$时,由“准同类项”定义可知,$3a^2b^3$与$(n-4)ab^2$是“准同类项”;若$3a^2b^3$与$3ab^n$是“准同类项”,则$|n-3|$小于或等于1;若$(n-4)ab^2$与$3ab^n$是“准同类项”,则$|n-2|$小于或等于1,所以正整数$n$的值为2或3或4.
