1[2026湖北武汉质检,中]在平面直角坐标系中，A(2,m),B(n,4)两点的位置如图所示，则点(3−n,m−5)在 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1.D 【解析】
∵$n＜2$,$m＜4$,
∴$3-n＞0$,$m-5＜0$,
∴点$(3-n,m-5)$在第四象限.故选D.

2[中]坐标平面内有一点A(x,y)，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍.若xy＜0,则点A的坐标为 ()

A.(6,-3)
B.(-6,3)
C.(3,-6)或(-3,6)
D.(6,-3)或(-6,3)

2.D 【解析】
∵$xy＜0$,
∴x,y异号.
∵点A到x轴的距离为3,到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍,
∴点A的坐标为$(6,-3)$或$(-6,3)$,故选D.

3[中]若m是任意实数,则点$P(m-3,m+2)$一定不在 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3.D 【解析】
∵$(m+2)-(m-3)=m+2-m+3=5＞0$,
∴点P的纵坐标一定大于横坐标.
∵第四象限的点的横坐标是正数,纵坐标是负数,
∴第四象限的点的纵坐标一定小于横坐标,
∴点P一定不在第四象限.故选D.

4[中]已知点$P(2a-4,a+1)$，若点$P$在坐标轴上，则点$P$的坐标为。

4.$(-6,0)$或$(0,3)$ 【解析】分两种情况:当点P在x轴上时,$a+1=0$,
∴$a=-1$.当$a=-1$时,$2a-4=-6$,
∴点P的坐标为$(-6,0)$;当点P在y轴上时,$2a-4=0$,
∴$a=2$.当$a=2$时,$a+1=3$,
∴点P的坐标为$(0,3)$.故答案为$(-6,0)$或$(0,3)$.

5[2026江苏南通质检,中]如图,在平面直角坐标系中,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,且AC=BC,点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-5,5),则点B的坐标为.

(第5题图)
(第6题图)

5.$(0,8)$ 【解析】如图,
作$CF⊥ x$轴于点F,
$CE⊥ y$轴于点E,则
$∠ AFC = ∠ BEC = ∠ OEC = ∠ EOF = 90°$,
∴ $∠ ECF = 90°$.
∵$∠ ACB=90°$,
∴$∠ ACF = ∠ BCE = 90° - ∠ ACE$.
∵$C(-5,5)$,$A(-2,0)$,
∴$F(-5,0)$,$E(0,5)$,
∴$AF = -2 - (-5) = 3$,$OE = 5$. 在$△ ACF$和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases}∠ AFC=∠ BEC,\\∠ ACF=∠ BCE,\\AC=BC,\end{cases}$
∴ $△ ACF ≌ △ BCE(\mathrm{AAS})$,
∴$BE=AF=3$,
∴$OB=OE+BE=5+3=8$,
∴$B(0,8)$,故答案为$(0,8)$.

6[2025江苏常州期中，较难]如图，平面中两条直线$l_1$和$l_2$相交于点$O$，对于平面上任意一点$M$，若点$M$到直线$l_1$，$l_2$的距离分别是$p$ cm，$q$ cm，则称有序实数对$(p,q)$是点$M$的“距离坐标”.特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0.下列说法：
①“距离坐标”是$(0,0)$的点只有点$O$；
②“距离坐标”是$(0,1)$的点只有1个；
③“距离坐标”是$(2,2)$的点共有4个.
其中正确的有(填序号).

6.①③ 【解析】当$p=0$,$q=0$时,“距离坐标”是$(0,0)$,则“距离坐标”为$(0,0)$的点有且仅有1个,为点O,故①正确;当$p=0$,$q=1$时,$l_1$和到$l_2$的距离为1的两条直线共有2个交点,则“距离坐标”为$(0,1)$的点有2个,故②错误;当$p=2$,$q=2$时,与$l_1$距离是2的两条直线和与$l_2$距离是2的两条直线共有4个交点,则“距离坐标”为$(2,2)$的点共有4个,故③正确.故答案为①③.

7[较难]在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a级关联点”(其中a为常数,且a≠0),例如:点P(1,4)的“2级关联点”为Q(2×1+4,1+2×4),即Q(6,9).
(1)若点P的坐标为(-1,5),则它的“3级关联点”的坐标为.
(2)若点P的“5级关联点”的坐标为(9,-3),求点P的坐标.
(3)若点P(m-1,2m)的“-3级关联点”P'位于坐标轴上,求点P'的坐标.

7.【解】(1)$3×(-1)+5=2$,$-1+3×5=14$,
∴点P的“3级关联点”的坐标为$(2,14)$.故答案为$(2,14)$.
(2)设点P的坐标为$(n,b)$. 由题意可知
$\begin{cases}5n+b=9,\\n+5b=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=2,\\b=-1,\end{cases}$
∴点P的坐标为$(2,-1)$.
(3)由题意得点$P(m-1,2m)$的“-3级关联点”为$P'(-3(m-1)+2m,m-1+(-3)×2m)$.
①当$P'$位于x轴上时,$m-1+(-3)×2m=0$,解得$m=-\dfrac{1}{5}$,
∴$-3(m-1)+2m=\dfrac{16}{5}$,
∴$P'(\dfrac{16}{5},0)$.
②当$P'$位于y轴上时,$-3(m-1)+2m=0$,解得$m=3$,
∴$m-1+(-3)×2m=-16$,
∴$P'(0,-16)$.
综上所述,点$P'$的坐标为$(\dfrac{16}{5},0)$或$(0,-16)$.

8 核心素养应用意识[难]先阅读下列文字,再回答相应问题:
在平面内有$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$两点,则两点间的距离可表示为$P_1P_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$,$P_1P_2$的中点$M$的坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$.
(1)已知$A(-2,1),B(1,5)$,试求$A,B$两点间的距离.
(2)已知$A,B$在平行于$x$轴的直线上,$A$点的横坐标为$-5,B$点的横坐标为$3$,试求$A,B$两点间的距离.
(3)若$△ ABC$各顶点的坐标为$A(-2,0),B(2,0),C(0,1)$,试判断$△ ABC$的形状.
(4)已知点$A(3,-2),B(0,1),C(-3,4)$,试探究$A,B,C$三点的位置关系.

8.【解】(1)A,B两点间的距离为$AB=\sqrt{(1+2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
(2)由题意可设$A(-5,y_0)$,$B(3,y_0)$,则A,B两点间的距离为$AB=\sqrt{(3+5)^2+(y_0-y_0)^2}=\sqrt{64}=8$.
(3)$△ ABC$为等腰三角形. 理由:
$AB=\sqrt{(2+2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{16}=4$,
$AC=\sqrt{(0+2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$,
$BC=\sqrt{(0-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$,
∴$AC=BC≠ AB$,
∴$△ ABC$是等腰三角形.
(4)A,B,C三点在同一条直线上,且B为AC中点.
∵$A(3,-2)$,$C(-3,4)$,
∴令AC的中点为D点,则$D(\dfrac{3+(-3)}{2},\dfrac{-2+4}{2})$,即$D(0,1)$.
又
∵$B(0,1)$,
∴点D与点B重合,
∴A,B,C三点在同一条直线上,且B为AC中点.