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1. 下列方程是一元二次方程的是(
A.$x^2 + \frac{1}{x^2}=1$
B.$ax^2 +bx +c=0(a,b,c均为常数)$
C.$x(3x+2)=5$
D.$(2x+1)^2=4x^2 -3$
C
).A.$x^2 + \frac{1}{x^2}=1$
B.$ax^2 +bx +c=0(a,b,c均为常数)$
C.$x(3x+2)=5$
D.$(2x+1)^2=4x^2 -3$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐一对照标准排查每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个条件：1. 为整式方程；2. 仅含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中含有$\frac{1}{x^2}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，排除；
选项B：未明确$a≠0$，若$a=0$，方程二次项消失，变为一元一次方程，不符合要求，排除；
选项C：先展开整理方程：左边展开得$3x^2+2x=5$，移项得$3x^2+2x-5=0$，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
选项D：展开整理方程：左边展开得$4x^2+4x+1=4x^2-3$，移项合并同类项后得$4x+4=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程识别；方程化简整理
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记判定一元二次方程的三个核心条件，尤其要注意先将方程整理为一般形式后再判断次数，不要忽略二次项系数不为0、方程为整式方程的隐含要求，避免误选B、D选项。
【难度系数】
0.7
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐一对照标准排查每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个条件：1. 为整式方程；2. 仅含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中含有$\frac{1}{x^2}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，排除；
选项B：未明确$a≠0$，若$a=0$，方程二次项消失，变为一元一次方程，不符合要求，排除；
选项C：先展开整理方程：左边展开得$3x^2+2x=5$，移项得$3x^2+2x-5=0$，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
选项D：展开整理方程：左边展开得$4x^2+4x+1=4x^2-3$，移项合并同类项后得$4x+4=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程识别；方程化简整理
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记判定一元二次方程的三个核心条件，尤其要注意先将方程整理为一般形式后再判断次数，不要忽略二次项系数不为0、方程为整式方程的隐含要求，避免误选B、D选项。
【难度系数】
0.7
2.将方程$2x(1-2x)=5x(2-x)-3$化为一般形式后为(
A.$x^2 -8x -3=0$
B.$x^2 +12x -3=0$
C.$x^2 -8x +3=0$
D.$x^2 -12x +3=0$
C
).A.$x^2 -8x -3=0$
B.$x^2 +12x -3=0$
C.$x^2 -8x +3=0$
D.$x^2 -12x +3=0$
答案
2. C
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题思路如下：先利用单项式乘多项式的法则去掉方程两边的括号，再将所有项移到方程的左侧，注意移项要变号，最后合并同类项，整理成二次项系数为正的最简形式即可。
【解析】
步骤1：去括号，展开方程左右两边
左边：$2x(1-2x)=2x - 4x^2$
右边：$5x(2-x)-3=10x - 5x^2 - 3$
原方程转化为：$2x - 4x^2 = 10x - 5x^2 - 3$
步骤2：移项，将右侧所有项移到左侧，移项变号
$2x - 4x^2 - 10x + 5x^2 + 3 = 0$
步骤3：合并同类项
分别合并二次项、一次项、常数项：
$(-4x^2 + 5x^2) + (2x - 10x) + 3 = 0$
计算可得：$x^2 - 8x + 3 = 0$
【答案】C
【知识点】
一元二次方程一般形式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础化简题，主要考察方程变形的基本规则，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，最终整理为二次项系数为正的最简形式即可。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题思路如下：先利用单项式乘多项式的法则去掉方程两边的括号，再将所有项移到方程的左侧，注意移项要变号，最后合并同类项，整理成二次项系数为正的最简形式即可。
【解析】
步骤1：去括号，展开方程左右两边
左边：$2x(1-2x)=2x - 4x^2$
右边：$5x(2-x)-3=10x - 5x^2 - 3$
原方程转化为：$2x - 4x^2 = 10x - 5x^2 - 3$
步骤2：移项，将右侧所有项移到左侧，移项变号
$2x - 4x^2 - 10x + 5x^2 + 3 = 0$
步骤3：合并同类项
分别合并二次项、一次项、常数项：
$(-4x^2 + 5x^2) + (2x - 10x) + 3 = 0$
计算可得：$x^2 - 8x + 3 = 0$
【答案】C
【知识点】
一元二次方程一般形式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础化简题，主要考察方程变形的基本规则，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，最终整理为二次项系数为正的最简形式即可。
【难度系数】
0.8
3.若方程$(m+2)x^{|m|}+3mx+1=0$是关于x的一元二次方程，则（
A.$m=\pm2$
B.$m=2$
C.$m=-2$
D.$m≠\pm2$
B
）.A.$m=\pm2$
B.$m=2$
C.$m=-2$
D.$m≠\pm2$
答案
3. B
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。我们先根据最高次数为2求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义，可列出两个限制条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
结合两个条件，最终得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选A选项。解题时要注意判定一元二次方程需同时满足次数和系数两个要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。我们先根据最高次数为2求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义，可列出两个限制条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
结合两个条件，最终得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选A选项。解题时要注意判定一元二次方程需同时满足次数和系数两个要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
4.(教材P4习题T5变式)已知关于x的一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的一个根是2，则m的值是
14
。答案
4. 14
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知x=2是方程的根，因此将x=2代入原方程，可得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 + 5×2 - m = 0$
计算得：$4 + 10 - m = 0$
化简得：$14 - m = 0$
解得：$m = 14$
【答案】
14
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，代入计算即可得到结果，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知x=2是方程的根，因此将x=2代入原方程，可得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 + 5×2 - m = 0$
计算得：$4 + 10 - m = 0$
化简得：$14 - m = 0$
解得：$m = 14$
【答案】
14
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，代入计算即可得到结果，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
5.有$x$支球队参加某篮球赛，参赛的每两支球队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数$x$.根据问题，列出关于$x$的方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=30$，并将其化为一般形式：$x^2 - x - 60 = 0$.
答案
$\frac{1}{2}x(x-1)=30$ $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 30=0$（或$x^2 -x -60=0$）
解析
【分析】
解题时首先明确单循环比赛的场次计算逻辑：有x支球队时，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，若直接用x乘(x-1)会将每场比赛重复计算2次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题目给出的总场数30即可列出方程。化一元二次方程一般形式时，只需将所有项移到等号左侧，整理成$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式即可，也可根据需求化为整系数形式。
【解析】
1. 列方程：
x支球队参加单循环比赛，每支球队共比赛$(x-1)$场，由于每场比赛被两支球队各统计1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知总比赛场数为30，因此列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=30$。
2. 化为一般形式：
若保留分数系数，将方程左边展开后移项：
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = 30$
移项得：$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 30=0$。
若化为整系数形式，先给方程两边同时乘2消去分母，再展开、移项：
$x(x-1)=60$
$x^2 -x =60$
移项得：$x^2 -x -60=0$。
两种形式均符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=30$；$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 30=0$（或$x^2 -x -60=0$）
【知识点】
实际问题列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，重点考查对单循环赛制数量关系的理解，以及一元二次方程一般形式的化简能力，解题时要注意单循环场次计算的重复问题，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确单循环比赛的场次计算逻辑：有x支球队时，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，若直接用x乘(x-1)会将每场比赛重复计算2次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题目给出的总场数30即可列出方程。化一元二次方程一般形式时，只需将所有项移到等号左侧，整理成$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式即可，也可根据需求化为整系数形式。
【解析】
1. 列方程：
x支球队参加单循环比赛，每支球队共比赛$(x-1)$场，由于每场比赛被两支球队各统计1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知总比赛场数为30，因此列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=30$。
2. 化为一般形式：
若保留分数系数，将方程左边展开后移项：
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = 30$
移项得：$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 30=0$。
若化为整系数形式，先给方程两边同时乘2消去分母，再展开、移项：
$x(x-1)=60$
$x^2 -x =60$
移项得：$x^2 -x -60=0$。
两种形式均符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=30$；$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 30=0$（或$x^2 -x -60=0$）
【知识点】
实际问题列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，重点考查对单循环赛制数量关系的理解，以及一元二次方程一般形式的化简能力，解题时要注意单循环场次计算的重复问题，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2 + 3x + k^2 -4=0$的一个根为0，则$k$的值为(
A.0
B.2
C.$-2$
D.2或$-2$
C
).A.0
B.2
C.$-2$
D.2或$-2$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时要同时满足两个条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的根，将x=0代入方程等式成立。我们可以先根据根的定义代入x=0求出k的可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的k值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$k-2≠0$，解得$k≠2$。
第二步：将$x=0$代入原方程，得：
$(k-2)×0^2 + 3×0 + k^2 -4 = 0$
化简得：$k^2 -4 = 0$
解得：$k=2$或$k=-2$。
第三步：结合第一步$k≠2$的限制，舍去$k=2$，因此$k=-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出k=2或-2的错误结论，解题时要先关注参数的限制条件再计算。
【难度系数】
0.6
解题时要同时满足两个条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的根，将x=0代入方程等式成立。我们可以先根据根的定义代入x=0求出k的可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的k值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$k-2≠0$，解得$k≠2$。
第二步：将$x=0$代入原方程，得：
$(k-2)×0^2 + 3×0 + k^2 -4 = 0$
化简得：$k^2 -4 = 0$
解得：$k=2$或$k=-2$。
第三步：结合第一步$k≠2$的限制，舍去$k=2$，因此$k=-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出k=2或-2的错误结论，解题时要先关注参数的限制条件再计算。
【难度系数】
0.6
7.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$4a+2b+c=0$和$9a-3b+c=0$，则该方程的两个根分别为(
A.$2,3$
B.$2,-3$
C.$-2,3$
D.$-2,-3$
B
).A.$2,3$
B.$2,-3$
C.$-2,3$
D.$-2,-3$
答案
7. B
解析
【分析】
我们可以利用一元二次方程根的定义来解题：如果某个x的值代入方程$ax^2+bx+c=0$后等式成立，那这个x就是方程的根。观察题目给出的两个等式$4a+2b+c=0$、$9a-3b+c=0$，我们可以把这两个等式和代入x后的$ax^2+bx+c$的结果做对比，找到对应的x值，就是方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若$x=m$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，则$am^2+bm+c=0$。
1. 当$x=2$时，代入方程左边得：$a×2^2 + b×2 + c = 4a + 2b + c$，已知$4a+2b+c=0$，因此$x=2$是方程的根。
2. 当$x=-3$时，代入方程左边得：$a×(-3)^2 + b×(-3) + c = 9a - 3b + c$，已知$9a-3b+c=0$，因此$x=-3$是方程的根。
综上，该方程的两个根为2和-3。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，通过观察给出的等式结构，直接对应找到方程的根，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
我们可以利用一元二次方程根的定义来解题：如果某个x的值代入方程$ax^2+bx+c=0$后等式成立，那这个x就是方程的根。观察题目给出的两个等式$4a+2b+c=0$、$9a-3b+c=0$，我们可以把这两个等式和代入x后的$ax^2+bx+c$的结果做对比，找到对应的x值，就是方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若$x=m$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，则$am^2+bm+c=0$。
1. 当$x=2$时，代入方程左边得：$a×2^2 + b×2 + c = 4a + 2b + c$，已知$4a+2b+c=0$，因此$x=2$是方程的根。
2. 当$x=-3$时，代入方程左边得：$a×(-3)^2 + b×(-3) + c = 9a - 3b + c$，已知$9a-3b+c=0$，因此$x=-3$是方程的根。
综上，该方程的两个根为2和-3。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，通过观察给出的等式结构，直接对应找到方程的根，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
8.已知$x=a$是方程$x^2 -4x -30=0$的一个根，则代数式$2a^2 -8a -2$的值为
58
。答案
8. 58
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，整理得到a²-4a的值；再观察所求代数式2a²-8a-2的结构，发现其前两项可以提取公因数2，变形为含a²-4a的形式，最后将a²-4a的值整体代入计算即可，无需解出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵x=a是方程$x^2 -4x -30=0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 4a - 30 = 0$
移项可得：$a^2 - 4a = 30$
对代数式$2a^2 -8a -2$变形得：
$2a^2 -8a -2 = 2(a^2 -4a) -2$
将$a^2 -4a=30$代入上式：
原式=$2×30 -2 = 60 -2 = 58$
【答案】
58
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是利用方程根的定义得到相关代数式的值，采用整体代入的方法计算，避免了求解一元二次方程的繁琐运算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，整理得到a²-4a的值；再观察所求代数式2a²-8a-2的结构，发现其前两项可以提取公因数2，变形为含a²-4a的形式，最后将a²-4a的值整体代入计算即可，无需解出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵x=a是方程$x^2 -4x -30=0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 4a - 30 = 0$
移项可得：$a^2 - 4a = 30$
对代数式$2a^2 -8a -2$变形得：
$2a^2 -8a -2 = 2(a^2 -4a) -2$
将$a^2 -4a=30$代入上式：
原式=$2×30 -2 = 60 -2 = 58$
【答案】
58
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是利用方程根的定义得到相关代数式的值，采用整体代入的方法计算，避免了求解一元二次方程的繁琐运算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，这种记法叫作二阶行列式。那么$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式。
答案
9. 是.它的一般形式为$x^2+2x-18=0$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：二阶行列式的值等于左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。第一步按照该规则将给定行列式展开得到等式，第二步对等式左边的整式进行化简运算，第三步将等式整理为整式方程形式，再根据一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程）判断是否为一元二次方程，最后整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)·2x - (x+2)(x-2) = 22$
分别展开计算各项：
左边第一项：$2x(x+1)=2x^2+2x$
左边第二项用平方差公式计算：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入原式得：
$2x^2+2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2+2x - x^2 +4 = 22$
合并同类项：
$x^2+2x +4 = 22$
移项整理为一般形式：
$x^2+2x -18 = 0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，因此属于一元二次方程。
【答案】
是，它的一般形式为$x^2+2x-18=0$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的识别、整式的混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是正确理解新运算的规则，再结合整式运算法则化简求解，重点考查学生的信息提取能力和基础运算能力，计算时要注意去括号的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：二阶行列式的值等于左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。第一步按照该规则将给定行列式展开得到等式，第二步对等式左边的整式进行化简运算，第三步将等式整理为整式方程形式，再根据一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程）判断是否为一元二次方程，最后整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)·2x - (x+2)(x-2) = 22$
分别展开计算各项：
左边第一项：$2x(x+1)=2x^2+2x$
左边第二项用平方差公式计算：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入原式得：
$2x^2+2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2+2x - x^2 +4 = 22$
合并同类项：
$x^2+2x +4 = 22$
移项整理为一般形式：
$x^2+2x -18 = 0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，因此属于一元二次方程。
【答案】
是，它的一般形式为$x^2+2x-18=0$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的识别、整式的混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是正确理解新运算的规则，再结合整式运算法则化简求解，重点考查学生的信息提取能力和基础运算能力，计算时要注意去括号的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
10.若$m$是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，求$m^2 - 2026m + \frac{2027}{m^2 + 1}$的值。
答案
10. 2 026
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义，先将m代入原方程得到相关等式，再对所求代数式进行降次、整体代入化简。首先，因为m是方程的根，代入得$m^2 - 2027m +1=0$，由此可变形得到$m^2=2027m-1$、$m^2+1=2027m$，且m≠0，两边除以m还能得到$m+\frac{1}{m}=2027$，将这些式子整体代入所求代数式，就能避免直接求m的复杂运算，快速得出结果。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2027m + 1 = 0$，且m≠0（若m=0，方程左边为1≠0，矛盾）。
对等式变形可得：
① $m^2 = 2027m - 1$，
② $m^2 + 1 = 2027m$，
③ 等式两边同时除以m，得$m - 2027 + \frac{1}{m} = 0$，即$m + \frac{1}{m} = 2027$。
将①②代入所求代数式：
$\begin{aligned}m^2 - 2026m + \frac{2027}{m^2 + 1}&=(2027m - 1) - 2026m + \frac{2027}{2027m}\\&=m - 1 + \frac{1}{m}\\&=(m + \frac{1}{m}) - 1\end{aligned}$
再将③代入上式，得$2027 - 1 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义得到等量关系，通过降次、整体代入的方法简化运算，无需直接求解方程的根，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.65
解题的核心是利用一元二次方程根的定义，先将m代入原方程得到相关等式，再对所求代数式进行降次、整体代入化简。首先，因为m是方程的根，代入得$m^2 - 2027m +1=0$，由此可变形得到$m^2=2027m-1$、$m^2+1=2027m$，且m≠0，两边除以m还能得到$m+\frac{1}{m}=2027$，将这些式子整体代入所求代数式，就能避免直接求m的复杂运算，快速得出结果。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2027m + 1 = 0$，且m≠0（若m=0，方程左边为1≠0，矛盾）。
对等式变形可得：
① $m^2 = 2027m - 1$，
② $m^2 + 1 = 2027m$，
③ 等式两边同时除以m，得$m - 2027 + \frac{1}{m} = 0$，即$m + \frac{1}{m} = 2027$。
将①②代入所求代数式：
$\begin{aligned}m^2 - 2026m + \frac{2027}{m^2 + 1}&=(2027m - 1) - 2026m + \frac{2027}{2027m}\\&=m - 1 + \frac{1}{m}\\&=(m + \frac{1}{m}) - 1\end{aligned}$
再将③代入上式，得$2027 - 1 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义得到等量关系，通过降次、整体代入的方法简化运算，无需直接求解方程的根，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.65
