7. (江苏无锡期中)如图,小李用7块长为5cm、宽为2cm的长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺($AB= BC$,$∠ABC= 90^{\circ}$),点$B在DE$上,点$A和点C$分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙$DE$之间的距离为()

A.21cm
B.23cm
C.24cm
D.28cm

B [解析]由题意可得,AD=3×5=15(cm),CE=4×2=8(cm).
∵∠ABC=90°,∠ABC+∠ABD+∠CBE=180°,
∴∠ABD+∠CBE=90°.
∵∠ABD+∠DAB=90°,
∴∠CBE=∠DAB.
在△ADB和△BEC中,{∠ADB=∠BEC,∠DAB=∠EBC,AB=BC,
∴△ADB≌△BEC(AAS),
∴DB=CE=8cm,BE=AD=15cm,
∴DE=DB+BE=23cm.

8. 练思维 推理能力 已知$CD是经过∠BCA的顶点C$的一条直线,$CA= CB$,$E$,$F分别是直线CD$上的两点,且$∠BEC= ∠CFA= ∠α$。若直线$CD经过∠BCA$的内部,且点$E$,$F在射线CD$上,请解答下面的两个问题：
(1)如图1,若$∠BCA= 90^{\circ}$,$∠α=90^{\circ}$,则$BE$$CF$,$EF$$|BE-AF|$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)；
(2)如图2,若$0＜∠BCA＜180^{\circ}$,请添加一个关于$∠α与∠BCA$关系的条件：,使(1)中的两个结论仍然成立,并给出证明。

解:(1)∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°,
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∴∠BCE=∠CAF.
在△BCE和△CAF中,{∠BEC=∠CFA,∠BCE=∠CAF,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=|CF−CE|=|BE−AF|.
故答案为=,=。
(2)∠BCA=180°−∠α
证明:∵∠DFA=180°−∠α=∠BCA,
∴∠ACF+∠CAF=∠BCE+∠ACF,
∴∠CAF=∠BCE.
在△BCE和△CAF中,{∠BEC=∠CFA,∠BCE=∠CAF,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=|CF−CE|=|BE−AF|.

9. (江苏南京)如图,点$D在AB$上,点$E在AC$上,$AB= AC$,$∠B= ∠C$,求证：$BD= CE$。
证明:在△ABE和△ACD中,{∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD(),
∴,
∴BD=AB−AD=AC−AE=CE.

证明:在△ABE和△ACD中,{∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴AE=AD,
∴BD=AB−AD=AC−AE=CE.

10. (江苏淮安)如图,$D为线段BC$上一点,$BD= AC$,$∠E= ∠ABC$,$DE// AC$。求证：$DE= BC$。

证明:∵DE//AC,
∴∠EDB=∠C.
在△BED和△ABC中,{∠E=∠ABC,∠EDB=∠C,BD=AC,
∴△BED≌△ABC(AAS),
∴DE=BC.