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1. 如图，小明的爸爸用一段长20 m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12 m）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1 m的门（由其他材料制成）。已知矩形的宽DC为x米，当矩形面积S最大时，矩形的长BC为（
A.9.5 m
B.10 m
C.10.5 m
D.11 m
C
）A.9.5 m
B.10 m
C.10.5 m
D.11 m
答案
1. C 解析:设矩形鸭舍垂直于墙一边长为x m,
S=x(20-2x+1)=-2x²+21x==-2(x-5.25)²+55.125,
∵ -2＜0,
∴ 抛物线开口向下,
∴ 当x=5.25时,S最大,
此时BC=20-2×5.25+1=10.5 m.
S=x(20-2x+1)=-2x²+21x==-2(x-5.25)²+55.125,
∵ -2＜0,
∴ 抛物线开口向下,
∴ 当x=5.25时,S最大,
此时BC=20-2×5.25+1=10.5 m.
2. 建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为S平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则S的最大值为（
A.418
B.484
C.516
D.648
B
）A.418
B.484
C.516
D.648
答案
2. B
3. (天津北辰区一模)
如图,要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不超过36 m,E,F分别为边AD,BC上的一点,EF与AB平行,在EF,FC上各留出一个1 m宽的小门.若图中虚线部分使用篱笆,且使用篱笆的长度是58 m.有下列结论:
①AB的长可以是8 m;
②当矩形菜园ABCD的面积为252 m²时,AB的长为6 m或14 m;
③若规定AB≥12 m,则矩形菜园ABCD的最大面积是288 m².
其中,正确结论的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
如图,要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不超过36 m,E,F分别为边AD,BC上的一点,EF与AB平行,在EF,FC上各留出一个1 m宽的小门.若图中虚线部分使用篱笆,且使用篱笆的长度是58 m.有下列结论:
①AB的长可以是8 m;
②当矩形菜园ABCD的面积为252 m²时,AB的长为6 m或14 m;
③若规定AB≥12 m,则矩形菜园ABCD的最大面积是288 m².
其中,正确结论的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3. C 解析:设AB=x m,AD=y m(0＜y≤36),
由篱笆总长为58 m(含两个1 m小门),得3x+y-2=58,
整理得y=60-3x.
由墙长限制y≤36,解得x≥8;
由y＞0,得60-3x＞0,解得x＜20,
因此x的取值范围为8≤x＜20,
①当x=8时,y=60-3×8=36 m,
满足y≤36且x∈[8,20),故①正确;
②矩形面积S=xy=x(60-3x),
令S=252,则x(60-3x)=252,
整理得x²-20x+84=0,
解得x₁=6,x₂=14,
x=6不满足x≥8,舍去;
仅x=14符合条件,故②错误;
③面积函数为S=x(60-3x)=-3x²+60x=-3(x-10)²+300,
该函数开口向下,对称轴为直线x=10,
当x≥12时,S随x增大而减小,因此当x=12时,S取得最大值,S_max=-3×(12-10)²+300=288 m²,
此时y=60-3×12=24 m≤36 m,符合条件,故③正确;
综上,正确结论为①,③,共2个.
由篱笆总长为58 m(含两个1 m小门),得3x+y-2=58,
整理得y=60-3x.
由墙长限制y≤36,解得x≥8;
由y＞0,得60-3x＞0,解得x＜20,
因此x的取值范围为8≤x＜20,
①当x=8时,y=60-3×8=36 m,
满足y≤36且x∈[8,20),故①正确;
②矩形面积S=xy=x(60-3x),
令S=252,则x(60-3x)=252,
整理得x²-20x+84=0,
解得x₁=6,x₂=14,
x=6不满足x≥8,舍去;
仅x=14符合条件,故②错误;
③面积函数为S=x(60-3x)=-3x²+60x=-3(x-10)²+300,
该函数开口向下,对称轴为直线x=10,
当x≥12时,S随x增大而减小,因此当x=12时,S取得最大值,S_max=-3×(12-10)²+300=288 m²,
此时y=60-3×12=24 m≤36 m,符合条件,故③正确;
综上,正确结论为①,③,共2个.
4. 某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示. 最佳方案是（
A.方案1
B.方案2
C.方案1或方案2
D.方案3
D
）A.方案1
B.方案2
C.方案1或方案2
D.方案3
答案
4. D
5. 如图,某学校计划在一块足够大的场地上,利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃,已知墙$AE=6\ \mathrm{m},AF=10\ \mathrm{m}$.
(1)如图1,若矩形花圃使用的篱笆总长为12 m,花圃两边靠墙,其余两边用篱笆围成,围成的花圃面积为$35\ \mathrm{m}^2$,求这个花圃较短边的长度;
(2)如图2,若矩形花圃使用的篱笆总长为36 m,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成,另一边AB由墙AE和篱笆BE构成,其余两边BC,CD由剩下的篱笆围成.设篱笆BC的长为m米,围成的花圃面积为S平方米.当m为多少米时,围成的花圃面积最大,最大面积为多少平方米?
(1)如图1,若矩形花圃使用的篱笆总长为12 m,花圃两边靠墙,其余两边用篱笆围成,围成的花圃面积为$35\ \mathrm{m}^2$,求这个花圃较短边的长度;
(2)如图2,若矩形花圃使用的篱笆总长为36 m,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成,另一边AB由墙AE和篱笆BE构成,其余两边BC,CD由剩下的篱笆围成.设篱笆BC的长为m米,围成的花圃面积为S平方米.当m为多少米时,围成的花圃面积最大,最大面积为多少平方米?
答案
5. 解:(1)设这个花圃较短边的长度为x m,
由题意得x(12-x)=35,
整理,得x²-12x+35=0,
解得x₁=5,x₂=7,
当x=5时,较长的边为12-5=7,符合题意;
当x=7时,另一边长为12-7=5＜7,不合题意;
故这个花圃较短边的长度为5 m;
(2)由题意得矩形花圃的周长为36+AE+AF=36+6+10=52(m),
∴ AB+AD=52/2=26(m),
设篱笆BE的长为x m,则AD=26-AE-BE=26-6-x=(20-x) m,
∴ 花圃面积S=AB · AD = (6+x)(20-x) = -x² + 14x + 120=-(x-7)²+169,
∴ 当x=7时,S取最大值,最大值为169,
∴ 此时m=20-7=13(m),
即当m=13 m时,围成的花圃面积最大,最大值为169 m².
由题意得x(12-x)=35,
整理,得x²-12x+35=0,
解得x₁=5,x₂=7,
当x=5时,较长的边为12-5=7,符合题意;
当x=7时,另一边长为12-7=5＜7,不合题意;
故这个花圃较短边的长度为5 m;
(2)由题意得矩形花圃的周长为36+AE+AF=36+6+10=52(m),
∴ AB+AD=52/2=26(m),
设篱笆BE的长为x m,则AD=26-AE-BE=26-6-x=(20-x) m,
∴ 花圃面积S=AB · AD = (6+x)(20-x) = -x² + 14x + 120=-(x-7)²+169,
∴ 当x=7时,S取最大值,最大值为169,
∴ 此时m=20-7=13(m),
即当m=13 m时,围成的花圃面积最大,最大值为169 m².
